Chapitre I : Divisibilité dans ℤ, division euclidienne, Congruences

Terminale S
(Spécialité)
Chapitre I : Divisibilité dans ℤ, division
euclidienne, Congruences
2015/2016
I) Divisibilité dans ℤ :
La notion de diviseur d'un entier a déjà été rencontrée au collège (classe de troisième : pour le
calcul du pgcd de deux entiers naturels)
La méthode consistant à donner les listes des diviseurs de deux entiers naturels pour calculer leur
pgcd fonctionne bien quand les nombres sont petits, sinon elle est rapidement fastidieuse.
On lui préférera l'algorithme des différences successives ou celui d'Euclide avec les divisions
successives.
Cependant, on peut bien sûr écrire un algorithme de recherche de la liste des diviseurs d'un entier
donné et ensuite le programmer sur un ordinateur ou une calculatrice :
Sous Algobox :
Cet algorithme demande l'entier N à l'utilisateur , affiche le nombre de diviseurs de N (grâce à la
variable D qui compte les passages dans la condition Si et donc le nombre de diviseurs de N
puisqu'on teste si la partie entière de N/I est égale à N/I ) et enfin, affiche tous les diviseurs séparés
par un point-virgule.
Remarque :
Dans cet algorithme, il y a des affectations, des initialisations, une boucle Tant que avec une
condition Si et une boucle Pour. Cela permet de réviser les « ingrédients » de base des algorithmes
vus les deux années précédentes.
Exemple pour N = 24 , l'affichage obtenu est :
Programme version calculatrice CASIO GRAPH 35+
Remarque :
- La fonction MOD(a,b) renvoie le reste dans la division euclidienne de a par b
- La liste des diviseurs de N est affichée dans la liste 1 du menu STATS
1) Définition et vocabulaire :
Soient a et b, deux entiers relatifs (c'est-à-dire a ∈ℤ et b∈ℤ)
On dit que b divise a (notation : b|a) si il existe un entier k tel que a = k×b.
On dit que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b.
Remarques :
* Utilisation de la notation ∃ qui signifie « Il existe ». Par exemple : ∃ k ∈ℤ
* Il y a même équivalence :
b|a ⇔ ∃ k ∈ℤ, a = b×k
* 1 et -1 divisent tout entier
* 0 ne divise que 0
Pour démontrer ce dernier résultat, on peut mettre en place un raisonnement par l'absurde :
Supposons que 0 | a avec a ≠ 0
Alors : ∃ k ∈ℤ, a = 0×k = 0 . Ce qui contradictoire avec l'hypothèse a ≠ 0
Par conséquent : 0 ne divise que 0
(Pour l'utilisation d'un raisonnement par l'absurde pour démontrer un résultat « classique », voir la
preuve de l’irrationalité de √ 2 )
2) Propriétés :
Soient a,b et c trois entiers :
a) Si a est un multiple de b et si a ≠ 0, alors |a| ≥ |b|
b) a | b ⇔ - a | b ⇔ a | - b ⇔ - a | - b
c) Si a | b et b | c , alors a | c (Transitivité de la relation de divisibilité)
d) Si a | b et b | a, alors a = b ou a = - b (avec a et b ≠ 0)
e) Si a | b et a | c, alors a | λb + μ c, où (λ , μ ) ∈ ℤ2
Remarque : on dit que λb + μ c est une combinaison linéaire de b et c à coefficients entiers
On peut donc reformuler la propriété e) : « Si a divise b et c , alors il divise toute combinaison
linéaire à coefficients entiers de b et c »
Cette propriété va permettre la résolution de bon nombre de questions de divisibilité.
Démonstrations :
a) a est un multiple de b ⇔ ∃ k ∈ℤ, a = b×k
D'où : | a | = | b×k | = | k | × | b | . Or, comme a ≠ 0, alors | k | ≥ 1 et donc |a| ≥ |b|
b) a|b ⇔ ∃ k ∈ℤ, b = a×k ⇔ ∃ k ∈ℤ, -b = -ak ⇔ -a|-b ∃ k'=-k ∈ℤ, -b = ak'⇔ a|-b
c) a|b ⇔ ∃ k1 ∈ℤ, b = a×k1 et b | c  ∃ k2 ∈ℤ, c = b×k2
 ∃ k1 ∈ℤ,∃ k2 ∈ℤ, c = a×k1×k2  ∃ K=k1× k2 ∈ℤ, c = a × K ⇔ a|c (la divisibilité est donc
transitive)
e) a|b ⇔ ∃ k1 ∈ℤ, b = a×k1 et a|c ⇔ ∃ k2 ∈ℤ, c = a×k2
Soient (λ , μ ) ∈ ℤ2 , λb + μc = λa×k1 + μa×k2 = a× (λk1 + μk2)
Or, λk1 + μk2 ∈ℤ. Posons K = λk1 + μk2
D'où : ∃ K= λk1 + μk2 ∈ℤ, λb + μc = a × K ⇔ a| λb + μc
3) Exemples d'applications des propriétés et de la définition :
a) Déterminer les entiers relatifs n tels que 5|n+3 :
5|n+3 ⇔ ∃ k ∈ℤ, n+3 = 5k
⇔ ∃ k ∈ℤ, n = 5k – 3
Il y a une infinité de solutions {5k – 3 , k ∈ℤ} Exemples : -3, 2, -8, etc...
Remarque : Si n ∈ℕ, alors k ∈ℕ* (ce qui va restreindre le nombre de solutions dans certains cas)
b) Déterminer les entiers n tels que 2n + 3 | 5 :
2n + 3 | 5 ⇔ ∃ k ∈ℤ, 5 = (2n + 3)×k
Or, les seuls diviseurs de 5 sont : {-1;1;5;-5}
On raisonne ensuite par disjonction des cas :
1) 2n + 3 = - 1
⇔n=-2
2) 2n + 3 = 1
⇔n=-1
3) 2n + 3 = 5
⇔n=1
4) 2n + 3 = - 5
⇔n=-4
Pour l'instant, nous avons raisonné par implication.
On vérifie l'autre sens :
-2×2 + 3 = -1|5
-1×2 + 3 = 1|5
1×2 + 3 = 5|5
-4×2 + 3 = -5|5
Par conséquent : Il n'y a que quatre solutions S = {-2;-1;1;-4}
c) Déterminer les entiers n tels que 2n + 1 | n – 3 :
2n+1|2n+1 (de manière évidente)
et 2n + 1 | n – 3 , d'où , d'après la propriété e) précédente, 2n+1 divise toute combinaison linéaire
à coefficients entiers de 2n+1 et n – 3.
En particulier, 2n+1 | 1×(2n + 1) – 2×(n – 3) = 7
Or, les diviseurs de 7 sont {-1;1;-7;7}
D'où , par disjonction des cas :
1) 2n+1 = -1
2) 2n + 1 = 1
3) 2n + 1 = - 7
4) 2n + 1 = 7
⇔ n=-1
⇔ n=0
⇔ n=-4
⇔ n=3
Vérification :
2×(-1) + 1 = - 1|7
2×(0) + 1 = 1|7
2×(-4) + 1 = - 7|7
2×(3) + 1 = 7|7
Donc les solutions sont S = {-1 ; 0 ; -4 ; 3 }
d) Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x;y) tels que x2 – y2 = 9
Remarque :
Ce type d'équation où les inconnues sont des entiers est appelée Equation diophantienne
x2 – y2 = 9 ⇔ (x + y)(x – y) = 9
Remarque importante :
x ∈ ℕ et y ∈ ℕ, d'où : x + y ≥ x – y (ce qui va permettre de limiter le nombre de cas à
étudier)
Liste des diviseurs de 9 : {-1;1;3;-3;9;-9} (ATTENTION : il faut considérer les diviseurs
dans ℤ, car si x ∈ ℕ et y ∈ ℕ, alors x – y peut être un entier négatif)
Par disjonction des cas, il n'y a que 4 cas à considérer :
x+y=9
x+y=3
x+y=– 3
x+y=– 1
1)
2)
3)
4)
x – y=1
x – y=3
x – y=– 3
x – y=– 9
2 x=10
2 x=6
x=– 3
x=– 5
⇔
⇔
⇔
⇔
x – y= 1
x – y=3
y= 0
y= 4
x=5
x=3
Or, x ∈ ℕ
Or, x ∈ ℕ
⇔ y=4
⇔ y =0
D'où S =∅
D'où S =∅
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
Vérification : (5;4) et (3;0) sont bien solutions de l'équation
Par conséquent : S = { (5;4) ; (3;0) }
II) Division euclidienne :
1) Dans ℕ :
Soient (a;b) ∈ℕ×ℕ*, alors : il existe un unique couple d'entiers naturels (q;r) tel que :
a = bq + r et 0 ≤ r < b
- a : dividende
- b : diviseur
- q : quotient - r : reste
Remarques :
a) Il y a existence et unicité du couple (q;r)
b) b|a ⇔ r = 0
Démonstration :
Pour effectuer cette démonstration, nous avons besoin de la fonction partie entière.
Notation : E(x) (plus tellement utilisée) , on lui préfère [x]
Avec la propriété suivante : Pour tout x ∈ℝ, [x] ≤ x < [x] + 1
- Existence :
a
a
a
]≤
<[ ]+1
b
b
b
En multipliant les inégalités précédentes par b, on obtient :
a
a
b[ ] ≤ a < b([ ] + 1)
b
b
a
On pose q = [ ] ∈ℕ , d'où : bq ≤ a < b(q + 1) c'est-à-dire : 0 ≤ a-bq < b
b
En posant r = a-bq , on a bien l'existence d'au moins un couple (q;r)∈ℕ×ℕ, tel que :
a = bq + r avec 0 ≤ r < b
Soient (a;b) ∈ℕ×ℕ*, on a [
- Unicité :
On va utiliser un raisonnement par l'absurde (fréquent en arithmétique)
On va supposer qu'il existe deux couples distincts (q1;r1) et (q2;r2) d'entiers vérifiant les conditions
de l'énoncé :
a = bq1 + r1 avec 0 ≤ r1 < b et a = bq2 + r2 avec 0 ≤ r2 < b
On a : bq1 + r1 = bq2 + r2
⇔ b(q1-q2) = r2 – r1
D'où : r2 – r1 est un multiple de b
Or, 0 ≤ r1 < b
d'où : - b < - r1 ≤ 0
et 0 ≤ r2 < b
D'où : - b <r2 – r1 < b
Or, le seul multiple de b strictement compris entre -b et b est 0
D'où : r2 – r1 = 0 c'est-à-dire r2 = r1
D'où : b(q1-q2) = 0 c'est-à-dire q1 – q2 = 0 (car b ≠ 0) ⇔ q1 = q2
Donc (q1;r1) = (q2;r2) CONTRADICTION avec l'hypothèse initiale.
Par conséquent : il y a unicité du couple (q;r)
2) Dans ℤ :
On peut étendre le résultat précédent dans ℤ :
Théorème :
Soient (a;b) ∈ℤ×ℤ*, alors il existe un unique couple (q;r) avec q ∈ℤ
et r ∈ℕ tel que :
a = bq + r
avec 0 ≤ r < |b|
Exemples : a) Division euclidienne de -13 par -3
- 13 = 5×(-3) + 2 avec
0 ≤ 2 < |-3|
Le couple (5;2) est le seul vérifiant les conditions précédentes
b) Changement de base :
On considère le nombre 3259 en base 10.
Ecrire ce nombre en base 8.
On cherche les entiers naturels (ai) contenus dans [0;8[ tels que :
3259 = a3×83 + a2×82 + a1×81 + a0×80
On va effectuer les divisions eulidiennes successives par 8 :
3259 = 8×407 + 3
= 8×(8×50 + 7) + 3
= 8×(8×(8×6 + 2) + 7) + 3
= 83×6 + 82×2 + 81×7 + 80×3
Donc en base 8, 3259 vaut 6273
Conséquence importante :
Soit b ∈ ℕ*, si on considère la division euclidienne d'un entier par b, les seuls restes possibles
sont :
0;1;2 ;....;b-1
Explicitement : Soient a ∈ℤ, b ∈ ℕ*, alors il existe q ∈ℤ, tel que :
a = bq ou a = bq + 1 ou a = bq + 2 ou … ou a = bq + (b – 1)
Exemple :
Tout entier relatif s'écrit 3k ou 3k + 1 ou 3k +2 (car 0 ;1;2 sont les seuls restes possibles dans la
division euclidienne par 3)
Remarque : Cette conséquence sera très utile pour mener des raisonnements par disjonction des cas
(voir les exercices)
Application : Montrer que si n ∈ℕ, alors n(n+5)(n+7) est toujours un multiple de 3
On va raisonner par disjonction des cas : n = 3k ou 3k + 1 ou 3k + 2 (avec k∈ℕ)
* n = 3k :
Alors : n(n+5)(n+7) = 3k(3k+5)(3k+7) = 3 × (k(3k+5)(3k+7)) avec k(3k+5)(3k+7)∈ℕ
D'où n(n+5)(n+7) est bien un multiple de 3
* n = 3k + 1 :
Alors :
n(n+5)(n+7) = (3k + 1)(3k + 6)(3k + 8) = 3(k + 2)(3k + 1)(3k + 8) = 3× (k + 2)(3k + 1)(3k + 8)
avec (k+2)(3k+1)(3k+8)∈ℕ
D'où n(n+5)(n+7) est bien un multiple de 3
* n = 3k + 2 :
Alors :
n(n+5)(n+7) = (3k + 2)(3k + 7)(3k + 9) = 3(k + 3)(3k + 2)(3k + 7) = 3×(k + 3)(3k + 2)(3k + 7)
avec (k + 3)(3k + 2)(3k + 7)∈ℕ
D'où n(n+5)(n+7) est bien un multiple de 3
Par conséquent : Pour tout n ∈ℕ, (n+5)(n+7) est bien un multiple de 3
III) Congruences :
1) Définition :
Soient a,b deux entiers naturels, n un entier naturel non nul.
On dit que a est congru à b modulo n si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Notations : a≡b[n]
ou
a≡b(n)
ou
a≡b mod n
Exemples : 37 = 9×4 + 1
64 = 9×7 + 1
Donc : 64 ≡ 37 [9]
2) Congruences et restes :
Propriété :
Soient a ∈ℤ et n ∈ℕ*. Si on note r = reste de la division euclidienne de a par n, alors :
a≡r[n]
Démonstration :
Il existe un unique couple (q;r) d'entiers tels que a = nq + r avec 0 ≤ r < n
et r = n×0 + r avec 0 ≤ r < n
Donc a et r ont le même reste dans la division euclidienne par n , c'est-à-dire a≡r[n]
Plus précisément : Soit a ∈ℤ et n ∈ℕ*, alors a est congru modulo n à un unique r tel que :
0≤r<n
Exemples : 45≡29[4] car 45 = 4×11 + 1 et 29 = 4×7 + 1
Mais également : 45≡1[4]
et 29≡1[4]
avec 0 ≤ 1 < 4
Cas particuliers :
* Soit n un nombre entier naturel pair , alors n ≡ 0[2]
* Soit n un nombre entier naturel impair, alors n ≡ 1[2]
Preuve : a) n entier naturel pair ⇔ il existe k ∈ℕ, n = 2k + 0 ⇔ n ≡ 0[2]
b) n entier naturel impair ⇔ il existe k ∈ℕ, n = 2k + 1 ⇔ n ≡ 1[2]
3) Théorème :
Soient a et b deux entiers relatifs et n ∈ℕ*, a ≡ b [n] ⇔ n | a – b
Cas particulier : a ≡ 0 [n] ⇔ n | a
Démonstration :
⇒ Supposons que a ≡ b [n] :
- Il existe un unique couple (q;r) d'entiers tels que : a = nq + r avec 0 ≤ r < n
- Il existe un unique couple (q';r) d'entiers tels que : b = nq' + r avec 0 ≤ r < n
D'où : a – b = nq + r – (nq' + r) = n(q – q') avec q – q' ∈ℤ
Donc n | a – b
⇐ Supposons que n | a – b :
- Effectuons la division euclidienne de a par n :
Il existe un unique couple (q;r) d'entiers tels que : a = nq + r avec 0 ≤ r < n
- Effectuons la division euclidienne de b par n :
Il existe un unique couple (q';r') d'entiers tels que : b = nq' + r' avec 0 ≤ r'< n
On a : a – b = nq + r – (nq' + r') = n(q – q') + r – r'
Or, n | a – b , d'où : n | r – r' (car n | n(q – q') ) c'est-à-dire r – r' est un multiple de n
On sait que :
0≤r<n
et
0 ≤ r'< n
D'où : -n < - r' ≤ 0
d'où :
- n < r – r' < n
Or, le seul multiple de n strictement compris entre -n et n est 0
Donc : r – r' = 0 ⇔ r = r'
Par conséquent : a ≡ b [n]
Exemple :
x≡11[5] ⇔ ∃ k ∈ℤ, x = 5k + 11
4) Propriétés :
Soient x,y,z,t des entiers, n et m, deux entiers naturels non-nuls :
a) x ≡ x[n] (La relation de congruence est réflexive)
b) Si x ≡ y[n], alors y ≡ x[n] (La relation de congruence est symétrique)
c) Si x ≡ y[n] et y ≡ z[n], alors x ≡ z[n] (La relation de congruence est transitive)
Compatibilité avec les opérations :
d) Si x ≡ y [n] et z ≡ t [n], alors x + z ≡ y + t [n]
e) Si x ≡ y [n] et z ≡ t [n], alors xz ≡ yt [n]
f) Si x ≡ y [n] et p ∈ ℕ, alors xp ≡ yp [n]
Remarque importante : La congruence n'est pas compatible avec la division
En effet , par exemple : 18 ≡ 6 [12] car 12 | 18 – 6 = 12
C'est-à-dire 6×3 ≡ 6 × 1 [12], mais 3 n'est pas congru à 1 modulo 12
Démonstration des propriétés :
a) 0 = n×0 + 0 ⇔ n|x – x , pour tout x ∈ℤ ⇔ x ≡ x [n]
b) x ≡ y[n] ⇔ n | x – y ⇔ ∃ k ∈ℤ, x – y = nk
⇔ ∃ k ∈ℤ, -x + y = n(-k)
⇔n|y–x
⇔ y ≡ x [n]
c) x ≡ y[n] ⇔ n | x – y
et
y ≡ z[n] ⇔ n | y – z
D'après les propriétés de la divisibilité, n divise toute combinaison linéaire à coefficients entiers
de x – y et de y – z
En particulier, n | x – y + y – z = x – z ⇔ x ≡ z [n]
d) x ≡ y [n] ⇔ n | x – y
et z ≡ t [n] ⇔ n | z – t
En particulier, n | x – y + z – t = (x + z) – (y + t) ⇔ x + z ≡ y + t [n]
e) x ≡ y [n] ⇔ n | x – y
et z ≡ t [n] ⇔ n | z – t
En particulier, n | z × (x – y) + y × (z – t) = xz – yt ⇔ xz ≡ yt [n]
f) On raisonne par récurrence :
- Initialisation : x1 ≡ y1 [n] d'où la propriété est initialisée
- Hérédité : On suppose la propriété vraie jusqu'à un certain rang p ∈ ℕ
On a : xp+1 = x×xp ≡ y × yp [n]
≡ yp+1 [n] d'où la propriété est héréditaire
Par conséquent, par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout p∈ℕ
C'est-à-dire : xp ≡ yp [n], pour tout p∈ℕ
Applications :
1) Critères de divisibilité (voir exercices)
2) Exercice : Déterminer les entiers naturels n tels que n3 + 2n2 – 1 soit divisible par 5
Rappel : x ∈ ℕ est divisible par 5 ⇔ x ≡ 0[5]
On peut dresser un tableau de congruences modulo 5 : (on reconstitue progressivement l'expression)
Quand on raisonne modulo 5, il n'y a que 5 restes possibles dans la division euclidienne : 0 ou 1 ou
2 ou 3 ou 4.
Ensuite, on remplit le tableau en utilisant les propriétés des congruences.
n≡
0
1
2
3
4
n2 ≡
0
1
4
4
1
n3 ≡
0
1
3
2
4
n3 + 2n2 ≡
0
3
1
0
1
n3 + 2n2 – 1
4
2
0
4
0
Dans la dernière ligne du tableau, il n'y a que deux 0.
Les solutions sont donc les n ≡ 2 [5] et les n ≡ 4 [5]
C'est-à-dire : n = 5k + 2, avec k ∈ℤ ou n = 5k + 4 avec k ∈ℤ
S = { 5k + 2 ; 5k + 4 , k∈ℤ}
IV) Quelques brefs rappels sur les nombres premiers :
1) Définition :
Soit n ∈ℕ*\{1} est dit premier s'il n'admet comme diviseur que 1 et lui-même.
Exemples : 2 est le seul nombre premier pair. Les suivants sont : 3,5,7,11,etc...
(Les tests de primalité seront vus dans le prochain chapitre d'arithmétique)
2) PGCD de deux entiers naturels :
Soient a et b, deux entiers naturels. On note D(a;b) : ensemble des diviseurs communs à a et à b
PGCD(a;b) = le plus grand élément de D(a;b)
Pour le calculer, on peut mettre en œuvre des algorithmes : algorithme des différences, et surtout
algorithme d'Euclide.
Dans ce dernier, on utilise le fait que PGCD(a;b) = PGCD(b;r) où r est le reste dans la division
euclidienne de a par b. PGCD(a;b) = dernier reste non-nul des divisions successives.
(preuve : dans le prochain chapitre d'arithmétique)
Programmes du la calculatrice (vus en TD)
3) Nombres premiers entre eux :
Soient a et b, deux entiers naturels :
a et b sont premiers entre eux ⇔ a et b n'ont que 1 comme diviseur commun
⇔ PGCD(a;b) = 1
Exemple : 21 et 10 ne sont pas des nombres premiers. En effet, par exemple 3|21 et 5|10
MAIS, PGCD(21;10) = 1 : ils sont donc premiers entre eux.
POUR LES AUTRES ELEMENTS D'ARITHMETIQUE , VOIR LE CHAPITRE 3