Introduction 1. Référentiels non galiléens

Leçon 3
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Leçon n°3 : Caractère non galiléen du référentiel terrestre. Conséquences.
(PCSI ou 1er CU)
Introduction
1. Référentiels non galiléens
1.1. Théorème de la résultante cinétique dans un référentiel non galiléen
1.2. Différents référentiels
2. Rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique supposé
galiléen
2.1. Variation du champ de gravitation terrestre avec la latitude
2.2. Déviation à l’est
2.3. Pendule de Foucault
2.4. Autres exemples
3. Mouvement du référentiel géocentrique par rapport au référentiel héliocentrique
supposé galiléen
3.1. Terme de marée
3.2. Expression du terme de marée, ordre de grandeur
Conclusion
Introduction
Dans cette leçon nous appliquerons le théorème de la résultante cinétique (TRC) dans un référentiel
galiléen, puis par un changement de référentiel nous déduirons son écriture dans un référentiel non
galiléen.
Ce résultat nous permettra d’étudier le mouvement d’un corps dans le référentiel terrestre non galiléen
et d’observer les phénomènes liés à la rotation de la terre et à son mouvement autour du soleil.
Inversement, ce sont ces phénomènes qui ont permis historiquement, de mettre en évidence le
caractère non galiléen du référentiel terrestre.
1. Référentiels non galiléens
1.1. Théorème de la résultante cinétique dans un référentiel non galiléen
Considérons un référentiel non galiléen R′ en mouvement par
rapport à un référentiel galiléen R et un point M de masse m
mobile dans R′ et R. Dans R le TRC s’écrit :
m aM
R
=R.
D’après
la
loi
de
composition
des
accélérations
aM R = aM R ' + aE + aC , le TRC s’applique dans R′ en ajoutant
à la résultante des forces R la force d’inertie d’entraînement
− m aE et la force d’inertie de Coriolis − m aC , et :
m aM
R'
R’
O’
M
R
O
= R − m aE − m aC .
!"L’accélération d’entraînement aE est l’accélération par rapport à R, du point coïncidant avec M à
l’instant considéré, fixe dans R′ :
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leçon 3
 d2 OM 
 d2 OO′ 
 d2 O′M 
aE = 
=
+




 .
2 
2 
 dt 2 



 R  dt
 R  dt
R
On appelle Ω le vecteur vitesse instantané de rotation du référentiel R′ par rapport à R. En utilisant la
relation de dérivation d’un vecteur dans un référentiel mobile, le deuxième terme de aE s’écrit :
 d  d O′M 

 d2 O′M 
 
′M  .
=
+
∧
Ω
O



2 
  R
 dt
 R  dt  dt  R′
Comme M est fixe dans R′ , (d O′M dt )R′ = 0 et il vient :
 d2 OO′ 
 dΩ 
aE = 
+ Ω ∧ (Ω ∧ O′M) + 
 ∧ O′M .
 dt 2 
 dt  R′

R
!"L’accélération de Coriolis aC est donnée par :
aC = 2 Ω ∧ vM
R′
1.2. Différents référentiels
!"Le référentiel de Copernic ou référentiel héliocentrique noté R ! à son origine au centre du soleil S
et des axes dirigés vers trois étoiles fixes. Il sera toujours considéré comme galiléen.
!"Le référentiel géocentrique noté RG est en translation par rapport à R! et a pour origine le centre
de la terre T.
!"Le référentiel terrestre noté RT est lié à la terre et a
aussi pour origine le centre de la terre T. Ce référentiel
est en rotation à la vitesse Ω par rapport à RG et R! .
En une année de 365,25 jours solaires de durée
Tj = 24h = 86400 s la terre fait 366,25 tours sur ellemême. Le temps qu’il lui faut pour tourner de 360° est la
durée du jour sidéral :
T = 86400
Tj
T
S
365,25
= 86164 s .
366,25
On en déduit sa vitesse de rotation :
Ω=
2π
= 7,292 ⋅ 10 −5 rad ⋅ s−1 .
T
2. Rotation du référentiel terrestre par rapport au référentiel
géocentrique supposé galiléen
Dans ce paragraphe le référentiel géocentrique RG est supposé galiléen et le référentiel terrestre RT
non galiléen est en rotation à la vitesse Ω constante, par rapport à RG .
2.1. Variation du champ de gravitation terrestre avec la latitude
Leçon 3
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Pour un point M de masse m, fixe dans RT , vM
TRC s’écrit dans le référentiel non galiléen RT :
m aM
RT
RT
= 0 et la force d’inertie de Coriolis est nulle. Le
= R − m Ω ∧ (Ω ∧ TM) .
Le point M est uniquement soumis à son poids m g0 = R et on note g = aM
à la latitude λ . En développant le double produit vectoriel on obtient :
le champ de gravitation
RT
g = g0 + Ω2 HM .
La variation du champ de gravitation terrestre est due à
un terme d’inertie Ω2 HM provenant de la rotation de la
terre. La projection sur les axes Ty et Tz donne :
Ω
y
gy = −rT Ω 2 cos λ sin λ
gz = − g0 + rT Ω2 cos2 λ
.
H
z
x
M
Ω2 HM
g0
On remarque que rT Ω2 ≈ 3,4 ⋅10 −2 m ⋅ s −2 " g0 . En ne
conservant que les termes du premier ordre dans le
calcul de g = g2y + g2z on obtient :
g
λ
T
rT
 r Ω2 cos2 λ 
g ≈ g0  1 − T
 .

g0


Dans cette expression le second terme de la parenthèse est de l’ordre de 10−3 . La variation de g en
fonction de la latitude est faible. Calculons les valeurs numériques de g dans trois cas :
A l’équateur λ = 0° ; g = 9,78 m ⋅ s−2 .
A Paris λ = 48°51' ; g = 9,81 m ⋅ s −2 .
Aux pôles λ = ± 90° ; g = 9,83 m ⋅ s−2 .
2.2. Déviation à l’Est
Nous allons voir ici l’effet de la force de Coriolis sur un objet de masse m en chute libre à la surface de
la terre. Cet objet est uniquement soumis à son poids m g = m(g0 − aE ) qui dépend de la latitude
comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent. Nous supposons néanmoins que le vecteur g
est dirigé vers le centre de la terre T. Dans le référentiel terrestre non galiléen le TRC s’écrit :
m aM
RT
= m g − 2m Ω ∧ vM
RT
.
Supposons aussi que la force de Coriolis fasse peu
dévier l’objet dans la direction Tx, soit ;
v zM RT # v x M RT et vM RT = z$ e z . En projection sur
les axes Tx et Tz :
$$
x = −2 Ω z$ cos λ
.
$$
z = −g
nord
y
Ω
M
vM
RT
est
x
ouest
A l’instant initial t = 0 , on lâche l’objet sans vitesse
initiale d’une hauteur h. On a alors :
z$ = − g t
et
z
z = − (1 2) gt 2 + rT + h .
D’autre part à t = 0 , x = x$ = 0 . L’intégration de $$
x = 2 Ω gcos λ t donne :
g
T
sud
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leçon 3
x$ = Ω gcos λ t 2
et
x = Ω gcos λ (t 3 3) .
Le temps que met l’objet pour atteindre le sol ( z = rT ) est t = 2h g et la déviation à l’est, suivant
l’axe Tx :
Ω cos λ
x=
(2h)3 2 .
3 g
Si on lâche une bille du haut de la tour Montparnasse à une hauteur h = 209m , elle est déviée de
x 0 = 4,36 cm et met un temps t 0 = 6,53 s pour arriver jusqu’au sol. On vérifie l’approximation sur la
vitesse relative : h t 0 # x 0 t 0 donc v zM RT # v x M RT .
L’ordre de grandeur de l’accélération de Coriolis s’obtient en calculant : 2 Ω vM RT g0 ≈ 4,76 ⋅ 10−4 . Sa
contribution est plus faible que celle de l’accélération d’entraînement.
2.3. Pendule de Foucault
z
Ce pendule simple installé au Panthéon a permis à Foucault de
mettre en évidence la rotation de la terre. Au point M, une masse
m = 30kg est attachée à un fil de longueur l = 67m relié par son
autre extrémité à un point P fixe dans RT .
Nous allons étudier le mouvement du point M dans le référentiel
terrestre non galiléen RT . En M, la masse m est soumise à son
poids m g = m(g0 − aE ) et à la tension du fil T. Le TRC s’écrit :
m aM
RT
= T + m g − 2m Ω ∧ vM
RT
T
=−
l
x
0
y
+m 0
z−l
θ
l
Ω
0
− 2m Ω cos λ
−g
T
λ
.
x
Dans le référentiel Txyz les coordonnées du point M sont ; (x, y,z)
et celles du vecteur MP ; ( − x, − y,l − z) . Puisque MP = l , les
coordonnées du vecteur T sont ; T l ( − x, − y,l − z) . Donc :
$$
x
m $$
y
$$
z
P
sin λ
O
M
y
mg
x$
∧ y$
z$
T
x − 2m Ω (z$ cos λ − y$ sin λ )
l
T
m $$
y = − y − 2m Ω x$ sin λ
.
l
T
m $$
z = − (z − l) − m g + 2m Ω x$ cos λ
l
m $$
x=−
et
Pour de faibles amplitudes :
z = l(1 − cos θ) ≈ l(1 − (1 − θ2 2)) = l θ2 2
x ∝ lsin θ ≈ l θ
.
y ∝ lsin θ ≈ l θ
La coordonnée z est d’ordre deux en θ alors que x et y sont d’ordre un. En première approximation le
mouvement du point M se fait dans le plan Oxy, donc z = z$ = $$
z = 0 et puisque le terme mg est d’ordre
zéro en θ , la troisième équation du TRC s’écrit T = m g .
Leçon 3
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En posant :
Ω0 = Ω sin λ
ω02 =
et
g
,
l
les équations du mouvement dans le plan Oxy s’écrivent :
$$
x + ω02 x − 2 Ω0 y$ = 0
$$
y + ω02 y + 2 Ω0 x$ = 0
.
Pour résoudre ces équations on utilise les nombres complexes. En posant u = x + i y le système
précédent devient :
$$ + 2 Ω0 i u$ + ω02 u = 0 .
u
Le discriminant réduit de l’équation caractéristique est ∆ ′ = − (Ω02 + ω02 ) . Mais ω0 = 0,38rad ⋅ s−1 et
Ω0 = 5,49 ⋅ 10 −5 rad ⋅ s−1 . L’approximation au premier ordre en Ω0 ω0 conduit à ∆ ′ = − ω02 . Les
racines sont r± = i( ±ω0 − Ω0 ) et :
u = e − i Ω0 t (A ei ω0 t + B e − i ω0 t ) .
A et B sont deux constantes d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales. A t = 0 , si
u = u0 et u$ = 0 on obtient :
A=
u0
2

Ω0
1+
ω0


,

u0 
Ω0 
1 −

2 
ω0 
B=
et la solution complexe :
u = u0 e − i Ω0 t (cos ω0 t + i
Ω0
sin ω0 t) .
ω0
En supposant u0 = x 0 réel, La solution réelle s’écrit :
x = x 0 (cos Ω0 t cos ω0 t +
Ω0
sin Ω0 t sin ω0 t)
ω0
y = x 0 ( − sin Ω0 t cos ω0 t +
Ω0
co s Ω0 t sin ω0 t)
ω0
Le
pendule
oscille
avec
une
période
τ = 2 π ω0 = 16,4 s et effectue en même temps un
mouvement
de
rotation
avec
une
période
T = 2 π Ω0 = 31h 47min .
Pour plus de clarté, la représentation graphique de la
solution dans le plan Oxy, a été tracée pour une valeur
de Ω0 = 0,02 rad ⋅ s −1 , la pulsation ω0 restant
inchangée. Dans ce cas, on vérifie toujours ω02 # Ω02 .
Le pendule effectue alors T τ = 19 oscillations au lieu
de 5211 dans une rotation complète.
.
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leçon 3
2.4. Autres exemples
On peut illustrer l’effet de la force de Coriolis sur de nombreux exemples. Citons :
!"La déviation des fusées vers l’est.
!"Le sens de rotation des cyclones et des alizés (hémisphères Nord et Sud inversés).
!"Le sens de rotation de l’eau dans les lavabos.
!"L’usure dissymétrique des rails de train et des lits de fleuves.
3. Mouvement du référentiel géocentrique par rapport au référentiel
héliocentrique supposé galiléen
Dans ce paragraphe nous prenons en compte le mouvement du référentiel géocentrique RG qui n’est
plus galiléen. Nous étudions le mouvement d’un point M de masse m par rapport au référentiel
terrestre non galiléen RT , en supposant cette fois que le référentiel galiléen est le référentiel
héliocentrique R! .
3.1. Terme de marée
A la surface de la terre, le point M est soumis au champ de gravitation terrestre g0 et aux champs de
gravitation des autres astres, gi (M) pour l’astre n°i. La résultante des forces est :
R = m g0 + ∑ m gi (M) .
i
L’accélération d’entraînement est :
 d2 SM 
 d2 ST 
 d2 TM 
=
+
aE = 




 .
2 
2 
2 


 dt  R!  dt  R!  dt  R!
Le dernier terme est identique à l’accélération d’entraînement calculée dans RG au paragraphe II. Le
champ de gravitation mesuré dans RT est donc :
 d2 TM 
g = g0 − 
 ,
2 

 dt  R!
et le TRC dans le référentiel terrestre :
m aM
RT
 d2 ST 
= m g − m aC + ∑ m gi (M) − m 
 .
2 

i
 dt R!
Appliquons le TRC à la terre de masse mT, dans le référentiel héliocentrique :
 d2 ST 
mT 
= ∑ mT gi (T) .
 dt 2 

R! i
Finalement, dans le référentiel terrestre le TRC appliqué au point M s’écrit :
m aM
RT
= m g − m aC + ∑ m[ gi (M) − gi (T)] .
i
Leçon 3
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Le dernier terme est la somme des termes de marée gi (M) − gi (T) relatif à chaque astre.
3.2. Expression du terme de marée, ordre de grandeur
Considérons l’astre n°i de centre A de masse m A , à une
distance d de la terre. La constante gravitationnelle est
G. Le terme de marée s’écrit :
M
λ
TA 
 MA
gi (M) − gi (T) = Gm A 
−
.
3
 MA
TA 3 
u
A
T
Notons rT le rayon de la terre. Exprimons les distances
MA et TA en fonction de d et rT et décomposons le
vecteur MA en MT+TA. On obtient alors l’expression :
d



Gm A 
MT
1
gi (M) − gi (T) =
.
− 1 TA +

3
3
3
d   rT cos λ 

 rT cos λ 
 1 −

1 −
d 
d 





Mais rT d " 1 et au premier ordre en rT d il vient :
gi (M) − gi (T) =
Gm A  3rT cos λ

MA + MT  .

3
d


d
Pour avoir l’ordre de grandeur de ce terme de marée, plaçons-nous à l’équateur. λ = 0 et au premier
ordre en rT d :
gi (M) − gi (T) =
2rT Gm A
d3
u .
Or G = g0 rT2 mT et :
gi (M) − gi (T) = 2 g0
rT3  m A

d3  mT

u .

Voyons quelle est l’influence de la lune et du soleil sur la terre.
!"Pour la lune : mL mT = 1 81 et d = 60rT . On obtient : gL (M) − gL (T) = 1,1⋅ 10−7 g0 .
!"Pour le soleil : mS mT = 332000 et d = 23400rT . On obtient : gS (M) − gS (T) = 5,2 ⋅ 10−8 g0 .
Ces termes sont très faibles par rapport à l’accélération d’entraînement Ω2 rT = 3,4 ⋅ 10 −3 g0 . On voit
aussi que la lune à plus d’influence sur la terre que le soleil.
A la pleine lune et à la nouvelle lune, lorsque la terre est dans l’alignement de la lune et du soleil les
termes de marée des deux astres s’ajoutent, ce sont les marées de vives-eaux. Par contre aux
premier et deuxième quartiers les termes s’opposent, ce sont alors les marées de mortes-eaux.
Aux équinoxes de printemps et automne la distance terre-soleil est à son minimum, l’influence du soleil
est importante ; ce sont les marées d’équinoxes.
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La lune tourne autour de la terre en 27,3 jours, sa vitesse de
rotation est donc ωL = 2,67 ⋅ 10−6 rad ⋅ s−1 . La position
particulière de la terre par rapport à la lune à l’instant t = 0 se
reproduit à l’instant t lorsque la lune s’est déplacée d’un angle
ϕ = ωL t et que la terre a tournée sur elle-même d’un angle
ϕ + 2 π = Ω t . On en déduit t = 2 π (Ω − ωL ) ≈ 24h 51min .
Chaque jour les marées sont décalées de 51 min.
leçon 3
L
ωL
ϕ
T
L
Ω
Conclusion
Pour écrire le TRC dans un référentiel non galiléen on doit ajouter à la résultante des forces, les forces
d’inertie d’entraînement et de Coriolis.
Mais attention, ces forces sont particulières ; elles ne vérifient pas le principe d’action et de réaction.
D’autre part elles font intervenir des masses inertes que l’on identifie aux masses graves qui
apparaissent dans les forces de gravitation : c’est le principe d’équivalence. Il est alors impossible de
savoir si l’on se trouve dans un référentiel accéléré non galiléen ou si l’on est soumis à des forces
gravitationnelles dans un référentiel galiléen.
Bibliographie
J.P. Pérez, Mécanique, Masson, 1997.
M. Bertin, J.P. Faroux, J. Renault, Mécanique 1 et 2, Dunod, 1994.