TD 9 : Réf. non-galiléen - MP

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~
a son poids, à la réaction du support et à une force de rappel ~F = −k.AM
où A est le projeté orthogonale de O sur les rail. On notera AM = x.
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TD 9 : Réf. non-galiléen
x’
z
Exercice 1
z
x’
M
D’après ICNA 05, Oral CCP 05
O
Une perle P de masse m, considérée ponctuelle, soumise à la pesanteur et susceptible de se déplacer sur une tige de longueur 2` tournant
à une vitesse angulaire ω
~ autour d’un axe contenant son centre O. L’accélération de la pesanteur ~g est constante et dirigée vers le bas. On note
~ le rayon vecteur de la position de P à l’instant t. Les grandeurs
~r = OP
r0 et v0 caractérisent la position et la vitesse de la particule à l’instant
t = 0 suivant l’axe Or. La tige est dans le plan horizontal (Ox, Oy) et
tourne autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire ω . Les mouvements ont
M
ω
d
O
A
x
x
1 - Appliquer le PFD et décrire toutes les forces (norme,direction,sens).
2 - Exprimer l’accélération du point M dans le référentiel du plateau
puis avec la composition des accélérations calculer l’accélération de M
dans R.
3 - Établir l’équation différentielle vérifiée par x et discuter des solutions possibles.
z
w
l
eq
y
O
Exercice 3
er
On considère un pendule simple constitué d’une masse M suspendue
par un fil de longueur L. Le point de suspension O, attaché au sol, est
soumis, par rapport au référentiel RG , galiléen fixe, à un déplacement
horizontal d’origine sismique xO (t). on note RS le référentiel lié au sol.
x
Figure 1 – Notations.
lieu sans frottement.
1 - Établir l’équation différentielle en r du mouvement.
2 - Résoudre cette équation pour les conditions initiales r0 et v0 .
3 - Établir l’expression du temps τ que mettra la bille B pour sortir de
la tige, on prendra v0 = 0 m.s−1 .
4 - Application numérique : Calculer τ pour ` = 0,10 m, r0 = 0,010 m ;
v0 = 0 m.s−1 et ω = 2,0 rad.s−1 .
Exercice 2
D’après Oral CCP 11
Un plateau horizontal est en rotation autour de l’axe Oz à la vitesse
angulaire constante ω dans un référentiel R supposé galiléen.
Un point matériel M peut se déplacer sans frottement sur un rail xx0
infini fixé sur le plateau à une distance d de l’axe Oz. Ce point est soumis
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D’après X 05, Centrale 08
y
x
z
(t)
O
O
L
q
M
eq
e
r
Figure 2 – Pendule.
1 - Écrire l’équation du mouvement angulaire du pendule dans RS .
La linéariser dans l’hypothèse des petits mouvements angulaires. En
déduire l’équation différentielle reliant le déplacement θ(t) de la masse
M à celui x0 (t) du sol.
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2 - Si x0 (t) = X0 cos ωt, déterminer l’amplitude des oscillations Θ(ω), où Le déplacement mesuré à Bologne par Guglielmini était de 1,9 cm pour
θ(t) = Θ(ω) cos(ωt + φ).
une hauteur de 78,3 m. Ce résultat vous parait-il cohérent ?
Exercice 4
D’après "La physique par la pratique"
Dès 1791, Guglielmini réalisa des expériences de chute libre à Bologne pour tester le caractère (non) galiléen du référentiel terrestre.
Une balle de masse m était lancée sans vitesse initiale d’une hauteur
~ = h0 ~ez à la latitude λ = 44,5°. On rappelle que l’attraction terrestre
OM
sur une masse m exerce une force ~F = −GMT m/r2 ~ez où r est la distance au centre de la Terre. On donne le rayon terrestre : RT = 6400 km,
la masse de la Terre : M = 6.1024 kg et la constante de gravitation
G = 6,67.10−11 N.m2 .kg−2 .
w
ey
O
l
ex
ez
Figure 3 – Notations.
1 - Dans le référentiel terrestre tournant à la vitesse angulaire ω et
muni du repère (O, ~ex , ~ey , ~ez ), déterminer l’équation différentielle régissant la trajectoire de la balle. On supposera que le référentiel géocentrique est galiléen.
2 - En étudiant l’importance des différents termes justifier que
(
ẍ ≈ −2ω cos λż
2
z̈ ≈ −GM/RT
2 = 9,8 m.s−2 , en déduire que
3 - En posant g = GM/RT
√
3/2
2 2ω cos λh0
x=
3g 1/2
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