Algorithmes de recherche du PGCD et des coefficients de la relation

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Soient a et b deux entiers non nuls et d = PGCD (a;b)
La relation de BEZOUT est : il existe deux entiers u et v tels que au + bv = d
Voici un rappel de l’algorithme d’Euclide permettant de trouver le PGCD de deux nombres et de la
démarche associée pour trouver les valeurs des coefficients de BEZOUT u et v correspondants.
Divisions euclidiennes successives Ecriture des restes
En fonction de a et b
Etape 0 : Division euclidienne de a par b: a = b q
0
+ r
0
r
0
= a – b q
0
= au
0
+ b v
0
Etape 1 : Division euclidienne de b par r
0
: b = r
0
q
1
+ r
1
r
1
= b – r
0
q
1
= au
1
+ b v
1
Etape 2 : Division euclidienne de r
0
par r
1
: r
0
= r
1
q
2
+ r
2
r
2
= r
0
– r
1
q
1
= au
2
+ b v
2
------
Etape k : Division euclidienne de r
k-2
par r
k-1
: r
k-2
= r
k-1
q
k
+ r
k
r
k
= r
k-2
– r
k-1
q
k
= au
k
+ bv
k
-----
Etape n : Division euclidienne de r
n-2
par r
n-1
: r
n-2
= r
n-1
q
n
+ d d = r
n-2
– r
n-1
q
n
= au
n
+ b v
n
Cet algorithme s’arrête lorsque le reste de la division euclidienne suivante est nul, ici lorsque le reste de la
division euclidienne de r
n-1
par d est 0 .
1) Etablir une relation de récurrence qui permet de déterminer u
k
et v
k
à l’étape k en fonction des deux
étapes précédentes (k-1) et (k-2).
2) En déduire un algorithme permettant de déterminer d, u et v pour deux entiers donnés.
3) Ecrire le programme correspondant sur la calculatrice.
1) Dans l’étape k nous allons exprimer r
k
: r
k
= r
k-2
– r
k-1
q
k
On sait que r
k-2
= au
k-2
+ bv
k-2
et que r
k-1
= au
k-1
+ bv
k-1
D’où r
k
= (au
k-2
+ bv
k-2
) − (au
k-1
+ bv
k-1
) q
k
D’où r
k
= a ( u
k-2
−u
k-1
q
k
) + b (v
k-2
− v
k-1
q
k
)
On en déduit les relations de récurrence suivantes :
u
k
= u
k-2
−u
k-1
q
k
et v
k
= v
k-2
−v
k-1
q
k
Où q
k
est le quotient de r
k-2
par r
k-1
.
On a donc pour le triplet (u,v,r) la même relation de récurrence
(u,v,r) au rang k = (u,v,r) au rang k-2 – (u,v,r) au rang k-1 x q
k
Niveau scolaire : Terminale S,
spécialité mathématiques
Notions : Algorithme /
Programmation
Algorithmes de recherche du PGCD
et des coefficients de la relation de BEZOUT
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