module: approximation de courbe integrale par la methode d`euler

MODULE: APPROXIMATION DE COURBE INTEGRALE
PAR LA METHODE D’EULER
Objectif : Construire une approximation de la courbe C de f dans le voisinage du point d’abscisse a,
connaissant f (a) et le nombre f’ (x) pour tout réel x.
EXEMPLE : On considère la fonction f telle que f (- 2 ) = - 1, et pour out réel x, on a f’ (x) = - x
2 + 1.
On souhaite approcher sa représentation graphique : pour cela on va utiliser le fait qu’au voisinage d’un point
la courbe reste proche de sa tangente en ce point.
PARTIE A
n Soit M le point de C d’abscisse – 2. On décide d’approcher la courbe C par sa tangente d1 en M
a) Déterminer les coordonnées de M :………………………………………………
b) Déterminer une équation de d1 :…………………………………………………………………….
c) Quelles sont les coordonnées de M1 de d1 ayant – 1 pour abscisse ? ……………………………………………………….
d) Construire le segment [MM1] : on a ainsi approché la courbe sur l’intervalle [- 2 ; - 1]
o Soit N le point de C d’abscisse – 1. On ne s ait pas calculer ses coordonnées (puisqu’on ne connaît pas f (x) )
on peut cependant penser qu’il est voisin de M1 d’après le principe de l’approximation affine. On décide alors
d’approcher la courbe sur l’intervalle [-1 ; 0 ] par la droite d2 de coefficient f ’ (- 1) et passant par M1
a) Déterminer une équation de d2 :…………………………………………………………………….
b) Quelles sont les coordonnées de M2 de d2 ayant pour abscisse 0 ? ……………………………………………………….
c) Construire le segment [M1M2] La courbe inconnue est ainsi approchée sur [ -2 ; 0 ]par la ligne
brisée MM1M2
p Soit P le point de la courbe qui a pour abscisse 0 . Comme précédemment, on ne peut calculer ses
coordonnées, mais on peut penser qu’il est voisin de M2
On décide d’approcher le courbe C sur [0 ; 1] par la droite d3 de coefficient directeur f ‘ (0) et passant par
M2
a) Déterminer une équation de d3 :……………………………………………………. ;
b) Quelles sont les coordonnées de M3 de d3 et qui a pour abscisse 1 ?
c) Tracer le segment [M2M3]
PARTIE B
On donne la fonction f : x ↦ -1
4 x² + x + 2
n Vérifier que f vérifie les conditions initiales
o Représenter f sur le graphique précédemment obtenu.
PARTIE C
Une des méthodes pour améliorer l’approximation de la courbe est de diminuer la largeur des intervalles en
augmentant leur nombre. En suivant le même procédé que précédemment mais avec des intervalles de largeur
0,5, puis de largeur 0,2, puis de largeur 0,1. (on pourra s’aider du logiciel excell).