Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

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Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Chercheur au Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
Espérance conditionnelle, par Jean–Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Novembre 2012
Vol. 4 – Num. 003
Copyright © Laréq 2012
Espérance et Variance conditionnelles en Analyse économétrique
Une application implicite de la version continue des moindres carrés linéaires
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu1
Introduction
Ce papier présente la complicité des interactions qu’entretiennent l’espérance mathématique
conditionnelle, la variance conditionnelle, le coefficient de corrélation de Bravais – Galton – Pearson
(BGP) et les estimateurs définis par les moindres carrés linéaires. Son champ d’application se situe à mi
– parcours entre les analyses statistique et économétrique. Ainsi, les variables considérées sont
supposées étagées. La définition claire du lien évoqué précédemment permettra de dériver le modèle de
régression linéaire simple, ainsi que les estimateurs y associés, en mobilisant une version continue de la
méthode des moindres carrés. Remarquez déjà que la structure du papier sera biaisée vers l’explicitation
de la mesure des moments de variable et vecteur aléatoires. En vu d’assurer la fluidité dans le
développement de l’analyse, nous considérons le cadre continu dans les différentes démonstrations, et le
cadre discret dans les illustrations. Le passage d’un cas vers un autre semble naturellement quasi –
trivial.
Trois sections caractérisent le corps de notre présentation. Nous définissons dans la première section,
dans un cadre plus général, l’intégrale d’une variable aléatoire (ou espérance mathématique d’une
variable aléatoire), ensuite, il sera question dans les deux sections restant, de dériver l’espérance
conditionnelle (section 2), avant de définir le coefficient de corrélation associée au vecteur aléatoire et
d’établir les interactions évoquées précédemment (section 3). In fine, nous attirons l’attention du lecteur
à la distinction des caractères minuscules et majuscules tout au long du développement des formules.
Notez qu’elle est de rigueur !
Intégrale d’une variable aléatoire
Considérons un espace mesurable  Une variable aléatoire est une application (fonction)  de
l’espace fondamental  dans l’espace E. Pour , partie de E, l’indicatrice de  est définie par :
telle que la fonction  précise ou « indique » si l’élément  fait partie de A2.
La variable aléatoire , ainsi mobilisée, est réelle et étagée ou simple car prenant un nombre fini de
valeurs, soit :
1 Ph.D. Candidate, Université de Montréal et Chercheur au Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie
Quantitative [LAREQ]. Envoyez – nous vos commentaires et observations à [e-mail].
2 Lire Tsasa (2012, vol. 4, num. 001), pour plus de détails sur l’espace fondamental, l’espace de probabilité et l’espace
mesurable. Le papier est téléchargeable sur http://www.lareq.com.

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Dès lors, notant l’espace de probabilité par le triplet  la mesure de probabilité sur l’espace 
tel que  correspond à la loi  de X pouvant être définie de quatre manières équivalentes :
Puisque X est une variable aléatoire réelle, la loi  est une probabilité sur l’ensemble  caractérisée par
la fonction  dite fonction de répartition.
L’intégration de la variable  par rapport à la mesure de probabilité détermine ce qu’on appelle
couramment « Espérance mathématique ». Simplement, l’espérance mathématique est le moment
d’ordre 1 de la variable aléatoire.
Soit  la fonction génératrice des moments telle que  en dérivant
une fois la fonction  et en posant , on obtient l’espérance mathématique. De même, en dérivant
deux fois, et en posant t=0, on définit le moment d’ordre 2 (variance) de la variable aléatoire X.
L’intégrale et la variance de la variable aléatoire sont ainsi liées. Plus spécifiquement, le moment d’ordre
1 s’obtient comme suit : 
  ; parallèlement, le moment d’ordre 2 :    Et
plus généralement, le moment d’ordre  :
Remarquons que : (i) l’espérance mathématique est linéaire sur l’espace vectoriel des variables
aléatoires étagées, c’est – à – dire  ; (ii) la variable  n’est intégrable que si son
espérance mathématique est finie et donc, 
 ; (iii)  et le discriminant associé à ce polynôme de
degré 2 en  est donné par : 
visiblement, puisque le terme  est non négatif, on vérifie toujours  et par conséquent, on
obtient : 
 (inégalité de Cauchy). Dans un papier ultérieur,
nous montrerons que cette inégalité n’est qu’une forme particulière de l’inégalité de Hölder, et
détecterons sa complicité avec les inégalités de Markov et de Chebyshev dans la dérivation de la loi forte
et de la loi faible de grands nombres.
Par ailleurs, dans la définition de l’espérance mathématique, on peut s’intéresser à une fonction de ,
plutôt qu’à X, soit :  dans ce cas, l’espérance mathématique devient :
La fonction de densité  est également Lebesgue – intégrable.

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Espérance conditionnelle
Supposons à présent un vecteur aléatoire avec deux variables aléatoires (l’extension au cas multivarié
est naturelle), noté  tel que  est la transposée de  L’espérance mathématique de la fonction
, telle que dérivée précédemment, est redéfinie comme suit :
Les fonction  et  sont respectivement la densité de probabilité jointe (ou conjointe)
et la fonction de répartition de répartition jointe.
De même, l’espérance mathématique peut être extraite à partir de la fonction génératrice des moments
associée au vecteur aléatoire 
Pour rentre plus limpide les développements qui suivent. Considérons l’exemple suivant qui autorise
l’entrée de deux nouvelles fonctions : densité de probabilité marginale et fonction de répartition
marginale.
Tableau 1 : Dérivation des probabilités marginales des variables du vecteur aléatoire 
X1
X2
(i, j)
0
1
. . .
n
Pi.
0
P00
P01
P0n
P0.
1
P10
P11
P1n
P1.
.
.
.
.
.
.
m
Pm0
Pm1
Pmn
Pm.
P.j
P.0
P.1
. . .
P.n
Où Pij = P(X1 = i et X2 = j).
Le tableau montre la procédure de calcul des probabilités marginales dans le cas où le vecteur aléatoire
comprend les variables discrètes. Partant de cette illustration matricielle, la définition de la fonction de
densité marginale d’une variable aléatoire continue, ainsi que sa fonction de répartition marginale
apparaît plus évidente. Soit  respectivement les fonctions de densité et de répartition
marginales, on note :
L’analyse des vecteurs aléatoires soulève de questionnement pertinent dans la profession de
l’économiste, tel que la définition de distribution conditionnelle ou la dérivation des espérances
conditionnelles.

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Soient deux variables aléatoires, pour lesquelles on associe une fonction de densité jointe et des
fonctions de densité marginales. La probabilité de réalisation de  sachant que  notée :
Puisque 
   est donc une fonction de densité conditionnelle, définie non
négative.
Et par conséquent, l’espérance conditionnelle de la fonction  sachant  s’obtient par :
Parallèlement, la variance conditionnelle de  sachant que  est donnée par :
Remarquez qu’en posant 
, on obtient facilement l’égalité . Cela signifie donc que
les variables aléatoires  et  sont identiques en moyenne. Ainsi, pour les économistes, face aux
variables  et  tel que  est fixé à  il revient au même d’observer 
 plutôt que  car :
Cette philosophie intrinsèque de la régression linéaire est fortement contestée par les partisans de
l’approche d’analyse par calibration.
Régression linéaire : Détection de la complicité Espérance – Variance – Corrélation
La régression linéaire peut être analysée en considérant soit la droite d’ajustement (approche
essentiellement graphique), soit l’équation de la première droite (modèle paramétrique). Cette approche
impose une restriction forte à la spécification de la forme fonctionnelle à modéliser3. Par ailleurs, notons
au passage, qu’on attribue au mathématicien croate, Roger J. Boscovic, le premier calcul des coefficients
de régression linéaire (1755 – 1757).
A la place de la notation indicée, nous utilisons, à la suite de ce papier, la notation X et Y pour distinguer
deux variables aléatoires. Soit :
-  la fonction de densité jointe associée à  et  ;
-  et  les fonctions de densité marginales de X et Y respectives ;
-  une fonction de  et  ;
-  l’espérance mathématique de X et Y tel que  ;
-  et  les moyennes respectives de X et Y obtenues en considérant la fonction  ;
-  et  les écarts – types s respectifs de X et Y obtenus en considérant la fonction  ;
la covariance entre  et  noté  est donnée par :
3 Pour les hypothèses fortes associées à cette philosophie de modélisation, voir Tombola (2012, juin) téléchargeable
sur http://www.lareq.com.

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et le coefficient de corrélation, noté , dont on doit l’introduction en économie à George U. Yule
en 1909, est définie par :
En réaménageant (17) en fonction de (16), on obtient :
Le coefficient  de corrélation BGP varie entre –1 et +1. En servant de l’inégalité de Cauchy4, Makambo
et Tsasa (2012) ont procédé à la dérivation explicite du domaine de définition de  Nous dériverons ce
même domaine mais, cette fois – ci, en mobilisant la variance conditionnelle.
En vertu de la restriction fonctionnelle imposée par la régression linéaire, on note que :
Et, il s’ensuit que pour tout  le coefficient BGP mesure la probabilité de l’intensité de la
concentration de  et  autour d’une droite dans le plan 
Soit  
 l’espérance mathématique de  conditionnellement à , telle que :
Puisqu’il s’agit d’un modèle linéaire, l’opérateur  
  est donc linéaire en  soit :
De (19) et (20), on obtient :
L’égalité en (21) ne change pas si l’on écrivait :
De (21a), on a : 
4 Ou inégalité de Bunyakovski – Cauchy – Schwartz.