Cinématique du point Vecteur vitesse – Vecteur accélération

Complément leçon n°6 : Vecteur vitesse – Vecteur accélération PHR 101
Cinématique du point
Vecteur vitesse – Vecteur accélération
1. Vecteur vitesse
1.1.
Vecteur vitesse moyenne
Soit un mobile M se déplaçant sur une trajectoire (C). Le même déplacement de M entre deux
positions peut se faire pendant des durées différentes. Pour caractériser un mouvement, il peut
être intéressant de connaître la distance parcourue par unité de temps, c'est-à-dire la vitesse
moyenne. Si la position du point M à l’instant t1 correspond au point M(t1) = M1 et à l’instant
t2 au point M(t2) = M2, le vecteur vitesse moyenne se définit par :
JJJJJJG JJJJJG JJJJJG
JJJG M M
OM 2 − OM1
Vm = 1 2 =
Δt
Δt
[3.1]
Exemple :
Un cycliste conduit son vélo sur 200 m, puis revient sur son chemin sur
40 m. S’il a mis 60 s pour effectuer son parcours, trouvez sa vitesse
moyenne Vm.
Solution
La distance totale parcourue Δd = 200 + 40 = 240 m
Le temps de parcours : Δt = 60 s
La vitesse moyenne : Vm =
1
Δ d 240
=
= 4 m.s −1
Δt
60
N. FOURATI_ENNOURI
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1.2.
Vecteur vitesse instantané
Lorsqu’on considère une durée Δt infiniment petite, le mobile passe d’un point M à un point
M’ infiniment proche.
La vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée lorsque Δt tend vers zéro.
JJJJG JJJJG
Le vecteur position OM = OM ( t ) est une fonction du temps et la vitesse instantanée
correspond alors à la dérivée par rapport au temps du vecteur position :
JJJJG
JJJJG
JJJJG
JG
OM ( t + Δt ) − OM ( t ) d OM
V ( t ) = lim
=
Δt → 0
Δt
dt
[3.2]
Lorsque le point M tend vers le point M’, la corde MM’ tend vers la tangente à la trajectoire
au point M. Le vecteur vitesse est donc un vecteur tangent à la trajectoire au point considéré
(Figure. 1)
z'
M s(t)
dM
s(t+dt)=s(t)+ds
M(t)
k
T
M(t+dt)
O
v
y'
j
i
x'
Figure. 1
Nous désignerons par :
G G
G
T = T(t) ; T = 1
G
G
V
le vecteur unitaire tangent à la trajectoire à chaque instant : T = G
V
2
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1.3.
Expression en coordonnées cartésiennes
G
A partir de l’expression du vecteur position r [2.1] et de la définition du vecteur vitesse [3.2],
on obtient :
G
G
G
G
dr
G
= v = x i + y j + z k
dt
[3.3]
La valeur V de la vitesse correspond à la norme de ce vecteur :
G
V= v =
x 2 + y 2 + z 2
[3.4]
1.4. Expression en coordonnées polaires
G
A partir de l’expression du vecteur position r [2.2] et de la définition du vecteur vitesse [3.2],
on obtient :
JJJJG
JJG
JJG
d OM
d
d r JJG
d ur
G
v=
=
r ur =
ur + r
dt
dt
dt
dt
( )
[3.5]
Lorsque le point M est en mouvement, l’angle polaire θ = θ(t) est une fonction du temps. Le
JJG
vecteur unitaire u r tourne et est donc fonction du temps par l’intermédiaire de l’angle.
Pour le dériver par rapport au temps, il faut appliquer les règles de dérivation des fonctions
composées. Dans notre cas :
JJG
JJG
JJG
d ur d u r d θ
d
u
r
=
×
= θ
dt
dθ d t
dθ
[3.6]
La quantité θ caractérise la variation de l’angle polaire au cours du temps et correspond à la
définition de la vitesse angulaire. Elle est souvent notée ω et s’exprime en rad.s-1.
Dans le repère choisi :
JJJJG
JJG
G
G
G
G JJG
d ur
ur = cos θ i + sin θ j ⇒
= − sin θ i + cos θ j = uθ
dθ
3
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Par conséquent :
JJG
JJG
JJG
JJG
G
v = r ur + r θ uθ = Vr ur + Vθ uθ
[3.7]
Vr et Vθ sont respectivement les composantes radiales et orthoradiales du vecteur vitesse dans
la base polaire. La norme de ce vecteur est :
G
V = v = r 2 + r θ
( )
2
[3.8]
1.5. Expression en coordonnées cylindriques
Les coordonnées cylindriques correspondent aux coordonnées polaires dans le plan (o, x, y)
auxquelles on ajoute une coordonnée z suivant un axe perpendiculaire au plan. La base
JJG
JJG JJG
associée est donc composée de la base tournante u r , u θ et du vecteur u z (3eme vecteur de
(
)
la base cartésienne qui est un vecteur fixe dans le référentiel d’étude.
G
En dérivant le vecteur position r [2.7], on obtient :
JJJJG
JJG
JJG
d OM
d
G
r ur + z u z
v=
=
dt
dt
(
)
[3.9]
En tenant compte des résultats du paragraphe précédent, l’équation [3.9] peut s’écrire sous le
forme de :
JJJJG
JJG
JJG
JJG
d OM
G
v=
= r ur + r θ uθ + z u z
dt
[3.10]
G
V= v =
[3.11]
Et :
4
( )
2
r 2 + r θ + z 2
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1.6. Vecteur vitesse angulaire
En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée
fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation. Elle s'exprime dans
le système international en radians par seconde (rad.s-1), ou plus simplement en s-1 puisque les
angles sont des grandeurs sans dimension ; elle reste de manière courante donnée en tours par
minute (tr/min). Une révolution complète est égale à 2π radians, donc :
ω=
d θ 2π
=
= 2π f
dt
T
[3.12]
T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en s-1 ou Hz).
L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes
applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π. Elle est utilisée, entre autres,
dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et
l'électromagnétisme.
Le vecteur vitesse angulaire est un vecteur :
• normal au plan de rotation,
• orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens positif,
• dont la norme vaut ω.
On a donc :
JJG
JJG
G
ω = ω u z = θ u z
5
[3.13]
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2. Vecteur déplacement élémentaire
JJJJG
G
A partir de la relation [3.2], on peut définir le vecteur déplacement élémentaire d OM = d l ,
en coordonnées cartésiennes, par :
JJG
JJG
JJG
G
G
V ( t ) dt = d l = dx u x + dy u y + dz u z
Pour obtenir l’expression du vecteur déplacement en coordonnées polaires, on reprend
l’expression [3.7] :
G
d l d r JJG
dθ JJG
ur + r
uθ
=
d t dt
dt
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JJG
JJG
G
⇒ d l = d r ur + r dθ uθ
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3 - Vecteur accélération
3.1. Définition
La vitesse évalue la variation de la position par rapport à celle du temps. De la même façon, la
variation de la vitesse par rapport au temps est nommée accélération:
G
G
G def d 2 r ••
G d v G•
= r =
=v
a =
dt 2
dt
[3.14]
3.2. Expression en coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes le vecteur accélération s'écrit :
G •• G •• G •• G
a = x i + y j+ z k
[3.15]
3.3. Expression en coordonnées polaires
A partir de l’expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires [3.10] et de la définition
G
du vecteur accélération a on obtient :
G
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG ⎛
JJG
JJG
⎞
G
dv
d
d
d
u
θ
a=
=
r ur + r θ uθ =
r ur + r θ uθ = r ur + r θ uθ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ
⎟
dt
dt
dt
dt ⎠
⎝
(
)
(
) (
)
JJG
JJG
Rappelons que, comme ur , le vecteur unitaire u θ tourne et qu’il est fonction du temps par
l’intermédiaire de l’angle θ. Pour le dériver par rapport au temps, il faut appliquer les règles
de dérivation des fonctions composées. Dans notre cas :
JJG
JJG
JJG
d uθ d uθ d θ
d
u
θ
=
×
= θ
dt
dθ d t
dθ
Dans le repère choisi :
JJJJG
JJG
G
G
G
G
d uθ
= − cos θ i − sin θ j
uθ = − sin θ i + cos θ j ⇒
dθ
JJJJG
JJG
G
G
d uθ
⇒
= − ( cos θ i + sin θ j ) = − ur
dθ
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Par conséquent :
JJG
JJG ⎛
JJG
JJG
G
r ur + r θ uθ + ⎜ r θ uθ + r θ uθ + r θ
a = ⎝
JJG
JJG
JJG
JJG
= r u + r θ u + r θ u + r θ u − r θ
(
)
(
θ
r
) (
θ
θ
JJG
d uθ ⎞
⎟
dt ⎠
JJG
θ ur
(
))
G
L’expression finale de a est :
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
G
a = r − r θ 2 ur + 2 r θ uθ + r θ uθ = ar ur + aθ uθ
(
(
)
)
[3.16]
Le premier terme ( ar = r − r θ 2 ) correspond à la composante radiale de l’accélération, le
(
)
second aθ = 2 r θ + r θ à l’accélération orthoradiale.
3.4. Expression en coordonnées cylindriques
A partir de l’expression [3.10] du vecteur vitesse et des résultats obtenus en coordonnées
polaires [3.7], on trouve :
G
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
G
dv
d
a=
=
r ur + r θ uθ + z u z = r − r θ 2 ur + 2 r θ + r θ uθ + z uz
dt
dt
(
) (
)
(
)
[3.17]
3.5. Vecteur accélération et la base de Frenet
3.5.1. Trièdre de Serret-Frenet
G
Dans le cas d’un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteur unitaire T
tangent à la trajectoire et orienté comme celle-ci, le vecteur vitesse, lui-même tangent à la
trajectoire au point M (Figure. 1) peut s’écrire :
JJG
G
V (t ) = v T
avec
G
V = v
[3.18]
La notation v correspond à la valeur algébrique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel
sens le point M se déplace sur la trajectoire : v est positif pour un déplacement dans le sens
positif et négatif dans le sens contraire.
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JJG
Pour obtenir une nouvelle base dans le plan, il suffit de définir un vecteur unitaire N
G
perpendiculaire à T et toujours tourné vers la concavité (Figure 2).
z'
plan osculateur
ϖ
N
M
a(t)
T
r(t)
v(t)
k
O
y'
j
trajectoire
i
C
x'
Figure 2
JJG G
( N , T ) s’appelle la base de Frenet. Elle est mobile dans le référentiel d’étude puisque la
direction des vecteurs de base dépend du point considéré sur la trajectoire.
3.5.2. Expression du vecteur accélération dans la base de Frenet
Dans la base de Frenet, le vecteur accélération peut s’écrire sous la forme de :
JJG
JJG
G
a ( t ) = at T + an N
[3.19]
La composante at est la composante tangentielle et an est la composante normale centripète.
La dérivée du vecteur vitesse dans cette base conduit à :
G
JG
G
G
d VT
dV
dV G
dT
=
=
a =
T+ V⋅
dt
dt
dt
dt
( )
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y
dΦ
ρ
dΦ
G
N
Φ
G
r
G
j
O
G
T
G
i
x
Figure . 3
Soit ρ le rayon de courbure de la trajectoire.
G
G
G
G
Exprimons T et N en fonction de i et j :
G
G
G
⎧⎪T = cos(Φ) i + sin(Φ) j
G
G
⎨G
⎪⎩ N = − sin(Φ) i + cos(Φ) j
G
En différenciant T par rapport à t on obtient :
G
dT
dΦ ⎞ G ⎛
dΦ ⎞ G
⎛
= ⎜ − sin(Φ)
⎟ i + ⎜ cos(Φ)
⎟ j
dt
dt ⎠ ⎝
dt ⎠
⎝
d’où :
G
dT
dΦ G
=
N
dt
dt
G
En utilisant cette relation dans l’expression de a , on trouve :
G
d VT G
dΦ G
a =
T + VT ⋅
N
dt
dt
avec :
dΦ
dΦ dl 1
=
⋅
= ⋅ VT
dt
dl dt ρ
Enfin :
G
dV G
V2 G
a =
T +
N
dt
ρ
10
[3.20]
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