TS Contrôle Exercice 1 : Dans une fabrique de boissons une

TS
Contrôle
Exercice 1 :
Dans une fabrique de boissons une machine remplit automatiquement avec du soda des
bouteilles.
Partie 1 :
La contenance maximale d’une bouteille est de 51cl et pour pouvoir être commercialisée elle
doit contenir au moins 48 cl de soda.
La quantité de soda en cl peut être modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
normale d'espérance et d'écart type = 1,2.
1) La machine est réglée sur = 50. Les probabilités seront arrondies au millième.
a. Calculer P( X ≥ 48) . Interpréter le résultat.
b. Calculer P( X > 51). Que peut-on en déduire ?
2) Le directeur de la fabrique veut qu’il y ait moins de 10% de bouteilles qui débordent.
Quelle doit être la valeur maximale de arrondie au centième ?
Partie 2 :
Le temps de fonctionnement sans panne en jours de cette machine est une variable aléatoire Y
qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
1) On sait que P ( Y < 30) = 0,44 . En déduire la valeur de λ arrondie au millième.
2) Pour cette question on prend λ = 0,02.
a. Déterminer le nombre de jours moyen sans panne de la machine.
b. Calculer la probabilité que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours.
c. Calculer la probabilité que la machine fonctionne sans panne 60 jours sachant qu’elle
n’est pas tombée en panne les 30 premiers jours.
Exercice 2 :
Les trois courbes ci-contre représentent les fonctions de densité des lois normales suivantes :
(10 ; 2²), (10; 5²)et (8 ; 2²).
Associer chaque courbe à une de ces lois. Justifier.
Exercice 3 :
Partie 1 : ROC
Soit ( , , , ) un repère orthonormé de l’espace.
Démontrer que pour tout vecteur ( , , ) et ( ,
. =
+
,
+
) de ce repère, on a :
′
Partie 2 :
Dans un repère orthonormé de l’espace ( , , , ), les points A, B, C ont pour coordonnées
respectives : A(3;−2; 2); B(6; 1; 5); C(6;−2;−1)
1) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
2) Soit le plan d'équation cartésienne x + y + z − 3 = 0.
Montrer que le plan est orthogonale à la droite (AB) et passe par le point A.
3) Soit ′ le plan perpendiculaire à la droite (AC) et passant par le point A.
Déterminer une équation cartésienne du plan ′.
4) Soit D(0 ;4 ;−1). Montrer que l'intersection des plans et ′ est la droite (AD).
Partie 3 :
1) Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).
2) En déduire le volume du tétraèdre ABDC.
3) Montrer à l’aide de deux expressions du produit scalaire que l'angle géométrique BDC a
pour mesure radian.
4) Dans cette question, toute trace de recherche même infructueuse sera valorisé.
Calculer l'aire du triangle BDC. En déduire la distance du point A au plan (BDC).
On rappelle que :
•
•
le volume d’un tétraèdre est :
=
!"#$%$&!'!($×*!+,$+#
-
1 et les côtés AB et AC est :
l’aire d’un triangle ABC dont on connait l’ angle ./0
1
2 = /. × /0 × sin ./0
Exercice 4 :
Dans un repère ( ; , , ) on considère la droite (7) de représentation paramétrique :
= −1 + 2:
= −3:
8
=2−:
Prouver que les affirmations suivantes sont vraies.
a. (7) passe par le point /(5; −9; −1).
b. (7) admet le vecteur (−4; 6; 2) comme vecteur directeur.
c. (d) coupe le plan d’équation = 0 au point 0(3; −6; 0).
d. (7) est parallèle au plan d’équation + − + 5 = 0.