Introduction aux Probabilités - Laboratoire de Statistique Théorique

Université Rennes 2
Licence MASS 2
Introduction
aux
Probabilités
Arnaud Guyader

Table des matières
1 Espaces probabilisés 1
1.1 Qu’est-ce qu’une probabilité ? .............................. 1
1.1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Probabilité .................................... 2
1.2 Conditionnement ..................................... 7
1.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Variables aléatoires discrètes 57
2.1 Loi d’une variable discrète ................................ 57
2.2 Fonction de répartition .................................. 59
2.3 Moments d’une variable discrète ............................. 61
2.3.1 Espérance ..................................... 61
2.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.3 Autres moments ................................. 68
2.4 Corrélation et indépendance .............................. 70
2.5 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5.1 Loi uniforme ................................... 74
2.5.2 Loi de Bernoulli ................................. 75
2.5.3 Loi binomiale ................................... 76
2.5.4 Loi géométrique .................................. 77
2.5.5 Loi de Poisson .................................. 80
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Variables aléatoires à densité 115
3.1 Densité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Fonction de répartition .................................. 117
3.3 Moments d’une variable à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4.3 Loi normale .................................... 128
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A Annexes 177
A.1 Annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
A.2 Table de la loi normale X∼ N(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
i

Chapitre 1
Espaces probabilisés
Introduction
Dans ce premier chapitre, on commence par définir axiomatiquement la notion de probabilité sur
un ensemble cohérent d’événements (ou tribu). L’idée de probabilité conditionnelle en découle alors
très simplement. Elle est entre autres liée à la notion d’indépendance, fondamentale en probabilités
comme en statistiques.
1.1 Qu’est-ce qu’une probabilité ?
Avant de définir ce qu’est une probabilité sur un ensemble d’événements, il faut commencer par
préciser les propriétés souhaitables pour cet ensemble d’événements.
1.1.1 Tribu
On s’intéresse à une expérience aléatoire dont le résultat est appelé événement élémentaire ω.
L’ensemble des résultats possibles, c’est-à-dire l’union des événements élémentaires, est noté Ωet
appelé univers ou ensemble fondamental.
Exemples :
1. Lancer d’un dé : on s’intéresse au résultat ωdu lancer d’un dé à 6 faces. On a donc ω= 1
ou ω= 2, etc. L’espace fondamental est donc Ω = {1,2,3,4,5,6}. Cet univers Ωest fini.
2. Infinité de lancers d’une pièce : on lance une infinité de fois une pièce dont l’une des faces est
numérotée 0 et l’autre 1. Un événement élémentaire est donc cette fois une suite de 0et de
1:ω={u1, u2,...}avec un=0 ou 1 pour tout nde ∗. L’espace fondamental est cette fois
l’ensemble de toutes les suites possibles formées de 0 et de 1. Cet univers Ωest clairement
infini.
Dans la suite, on va vouloir calculer la probabilité de certaines parties de l’espace fondamental Ω.
Malheureusement, sauf lorsque Ωsera fini ou dénombrable, on ne pourra pas s’intéresser à l’en-
semble P(Ω) de toutes les parties de Ω, celui-ci étant en quelque sorte “trop gros”. On se restreindra
donc à un sous-ensemble Fde P(Ω), qui constituera l’ensemble des parties dont on peut calculer la
probabilité. Afin d’obtenir un modèle aussi cohérent que possible, il importe néanmoins d’imposer
certaines conditions de stabilité à F: par union, intersection, passage au complémentaire, etc.
C’est en ce sens qu’intervient la notion de tribu.