Circuits en courant sinusoïdal - Jean

Circuits en courant sinusoïdal
uB
I8.
ω
, la tension d'alimentation e , la tension uC
2π
e = Em cos ωt
aux bornes du condensateur de capacité C et la tension uB aux bornes de la
bobine d’inductance L et de résistance R ont toutes trois des amplitudes égales.
1) Que peut-on dire alors :
u
a) du rapport des amplitudes complexes C ?
uB
b) du rapport des impédances complexes du condensateur et de la bobine ?
2) Exprimer L et C en fonction de R et ω .
3) Quelle est la différence des phases du courant i et de la tension e ? i est-il en avance ou
en retard sur e ?
iT
A une certaine fréquence f =
L, R
i
C
uC
i
II26.
iC
u
1) Une usine, alimentée sous la tension sinusoïdale u de valeur efficace U = 220 volts et
USINE
de fréquence f = 50 hertz, consomme une puissance moyenne P = 100 kW ; son facteur de
C
puissance est cos φ = 0, 8 . Calculer l’intensité efficace I.
2) L’usine a un caractère inductif à cause de ses machines. Représenter qualitativement
dans le plan complexe les amplitudes complexes de u et de i en prenant comme référence de phase u.
3) On met en parallèle avec l’usine un condensateur de capacité C de sorte que le facteur de puissance de l’ensemble
soit maximal. Comment est alors l’amplitude complexe du courant iT par rapport à celle de u ?
4) Compléter la figure de la question 2) en y représentant les amplitudes complexes de iC et iT de façon conforme à la
question précédente.
5) Calculer numériquement la valeur IC efficace de iC, puis la valeur que doit avoir la capacité C.
6) Comment l’énergie perdue par effet Joule dans les lignes qui amènent le courant dépend-elle de la valeur efficace
IT de iT ?
7) Calculer en pourcentage l’économie réalisée par le fournisseur de l’énergie électrique, l’industriel consommant
toujours la même puissance.
R0
L, r
III50. Détérioration de composants électriques.
us
On réalise un circuit R-L-C série avec un conducteur ohmique de résistance
ue
R0 = 25 Ω , un condensateur de capacité C = 1, 0 µF et une bobine de résistance
C
r = 15 Ω et d'inductance L = 1, 0 H . Ce circuit, représenté ci-contre, est alimenté
par un G.B.F délivrant une tension alternative sinusoïdale ue = U 2 cos ωt de valeur efficace U constante, mais dont
la fréquence peut être ajustée à toute valeur inférieure à 1 kHz. On note us la tension aux bornes du condensateur, H
la fonction de transfert H = u s / ue et H le module de cette fonction de transfert.
1
1
On pose R = R0 + r , ω0 =
, Q =
, GdB = 20 log H .
RC ω0
LC
ω
1- Exprimer le module H de la fonction de transfert en fonction de Q et de x =
. Le résultat sera donné sous
ω0
forme d'un quotient dont le numérateur est égal à 1.
2- Calculer :
a) la valeur numérique du facteur de qualité Q .
b) la valeur numérique x 0 de x pour laquelle le module de la fonction de transfert atteint sa valeur maximale H max
c) la valeur numérique de H max .
3- Calculer le module de la fonction de transfert pour x1 = 1,0194 et x 2 = 0,9794. Que représentent ces deux
valeurs particulières ?
4- Parmi les quatre courbes de la figure 2 ci-dessous, laquelle correspond au graphe simplifié de la courbe
GdB = f (log x ) ; expliquer les raisons de votre choix.
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 1
5- Sachant que la bobine et le conducteur ohmique ne peuvent supporter sans risque de destruction un courant
d'intensité efficace 500 mA et que le condensateur est détruit lorsque la tension efficace à ses bornes atteint 200
V, à quelle valeur doit-on limiter impérativement U pour qu'aucun composant ne soit détérioré lorsqu'on fait
varier la fréquence de 0 à 1 kHz ?
IV10.
1) A une certaine fréquence, l’amplitude du courant i ne varie pas quand R
varie. Exprimer C en fonction de L et ω .
2) Pour quelle valeur de R le courant i est-il alors en phase avec e ?
i
L
e = Em cos ω t
R
C
V6. Ligne à retard.
A3
Soit une ligne constituée de cellules identiques LC ;
A1
A0
A2
•
L
L
L
L
•
•
•
on note ω0 = 1/ LC . En courant sinusoïdal de
pulsation ω , donner la relation de récurrence entre les
u0 C
u1 C
u2 C
u3 C
amplitudes complexes un .
On cherche une solution de cette relation de la
forme un = a n . Donner l’équation satisfaite par a .
Montrer que, si ω < 2ω0 , a est de la forme a = exp ( j ϕ ( ω ) ) et déterminer la fonction ϕ ( ω ) .
En déduire que un = A exp ( jn ϕ ) + B exp ( −jn ϕ ) . Exprimer un (t ) . Montrer que si la source du signal est à
gauche du montage, le principe de causalité impose un (t ) = u0 (t − n τ) et calculer τ .
A.N. avec L = 1 mH et C = 15 pF, calculer τ.
Nota : le procédé de télévision SECAM utilise une ligne de retard pour balayer une ligne sur deux de l’écran.
VI27.
On observe sur un oscilloscope les tensions u1 et u2 en fonction du temps et on constate
que les passages par zéro de u1 ont lieu à des instants temporellement équidistants des
passages par zéro de u2 .
1) En déduire une relation entre L , C , r et R .
2) Représenter u1 et u2 en fonction du temps, en justifiant le sens de leur avance ou retard.
u2
u1
L
r
R
C
e = Em cos ωt
VII34.
1) Définir la valeur efficace d’un courant i (t ) fonction du temps t .
2) Quelle est la valeur efficace du courant i = 2 + 3 cos (1000t ) ( t en secondes, i en ampères) ?
VII25.
Sur le tableau de distribution d'une installation triphasée, nous trouvons quatre
bornes :
– la première appelée neutre et notée N ;
– les trois autres appelées phases notées et l, 2, 3 (figure 1).
Entre le neutre et chacune des trois phases existent trois tensions dites "simples" :
⎛
2π⎞
⎛
4π⎞
v1 = V 2 cos ωt v2 = V 2 cos ⎜⎜ωt − ⎟⎟⎟ v3 = V 2 cos ⎜⎜ωt − ⎟⎟⎟ où V = 220 V .
⎝
⎠
⎝
3
3⎠
1) Calculer v1 + v2 + v3 .
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 2
2) On appelle "tensions composées" les tensions entre phases comme : u12 = v1 − v2 . Donner l’expression
instantanée de u12 sous la forme a cos (ωt + ϕ ) .
3) On branche trois lampes identiques de puissance P = 110 watts entre le neutre et chaque phase ; quel est le
courant dans le fil neutre iN ? (figure 2)
4) On rajoute une deuxième lampe de 110 watts entre le neutre et la phase 1 ; quel est dans ce cas le courant
instantané dans le neutre iN ? (figure 3).
5) Par suite d'un accident, le fil neutre est coupé (figure 4). Calculer le potentiel instantané vO du point O en
supposant que la résistance des lampes est indépendante de la tension appliquée à leurs bornes.
6) En déduire les puissances P1 , P1′ , P2 et P3 dans chaque lampe. On rappelle que les trois bornes sont toujours aux
mêmes potentiels v1 , v2 et v3 .
e = Emcosωt
IX20.
Un générateur de force électromotrice e = Emcos ωt et d'impédance interne z = r + jx débite
dans un dipôle d'impédance Z = R + jX .
1) Exprimer la puissance P reçue par le dipôle d'impédance Z .
2) Comment faut-il choisir Z pour que cette puissance soit maximum ?
3) On désire que la résistance Ru de la figure ci-contre reçoive la puissance maximum. Pour
cela, on interpose entre elle et le générateur de fem eg et de résistance interne Rg deux
impédances imaginaires pures jA et jB . Démontrer que la solution du problème précédent est
applicable à ce problème, moyennant une certaine hypothèse.
4) Calculer A et B dans cette hypothèse (ne pas chercher l’optimum si l’hypothèse n’est pas
vérifiée).
z = r + jx
Z = R + jX
jA
Rg
jB
eg
Réponses
2πi
3
uB
R
3
=e
; C =
; et L =
; 3) i est en avance de π / 6 sur e .
uC
2Rω
3ω
P
II. 1) I =
= 568 A ; 3) iT est en phase avec u ; 5) IC = 341 A ;
U cos ϕ
I
C = C = 4, 93.10−3 F ; 6) proportionnelle au carré de IT ; 7) 36 %.
Uω
I. 1) et 2)
±
u
i
iT
iC u
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 3
i
Ru
III. 1) H =
1
(1 − x 2 )2 +
2
x
Q2
; 2.a) ω0 = 1000 rad/s
Q = 25 ; 2.b) x 0 =
1
= 0, 9996 ; 2.c)
2Q 2
1−
Q
= 25 ; 3) Q / 2 ; les fréquences de coupure ; 4) graphe a (filtre passe-bas avec un pic de résonance) ; 5)
xm
U = 8 V efficaces.
2
IV. 1) C =
; 2) R = Lω .
L ω2
⎛ ω2
⎞
u
+ un −1
ω2
V. un = n +1
; a 2 + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎟a + 1 = 0 ; cos ϕ = 1 − 2 ;
2
⎜⎝ ω0
⎠
2ω0
2 − LC ω
1
un ( t ) = A cos(ωt + arg(A) + n ϕ) + B cos(ωt + arg(B ) − n ϕ) ; τ =
; τ = LC = 0,122 µs .
ω0
VI. 1) Rr = L /C ; 2) voir ci-contre.
VII. 1) la valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré ;
2) Ieff = 2, 92 A .
H max ≈
VIII. 1) v1 + v2 + v3 = 0 ; 2) u12 = V 6 cos (ωt + π / 6) ; 3) iN = 0 ; 4)
v
V 2
P
cos ωt ; 6)
2 cos ωt = 0, 5 2 cos ωt en ampères ; 5) 1 =
4
4
V
P1 = P1′ = 62 W ; P2 = P3 = 144 W .
iN =
IX. 1) P =
REm2
1
; 2) Z est le complexe conjugué de z ; 4)
2 [(R + r )2 + (X + x )2 ]
A = Ru (Rg − Ru ) et B = −
Ru Rg2
Rg − Ru
ou A = − Ru (Rg − Ru ) et B = +
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 4
Ru Rg2
Rg − Ru
.
Corrigés
uB
I.
1) et 2) Comme e = uB + uC , les représentations complexes de ces trois tensions sont les
cotés d’un triangle. Comme leurs amplitudes sont égales, le triangle est équilatéral, donc
2π
±j
( R + jLω ) i
uB
u
= e 3 . Or le rapport des tensions est B =
= −LC ω2 + jRC ω tandis que
1
uC
uC
i
jC ω
uC
e
2π
3
3
1
R
1
3
1
3
=− ±j
, donc LC ω2 = et RC ω =
. D’où C =
et L =
.
⇒ L=
2
2Rω
2
2
2
2
3ω
2C ω
Autre résolution.
e = uB + uc = uB = uc
e
±j
1
⎛
⎜⎜ R + jLω +
⎝
jC ω
1
⎞⎟
i = (R + jLω) i =
i
⎠⎟⎟
jC ω
1 ⎞⎟2
1
⎛
2
2 2
R2 + ⎜⎜ Lω −
⎟ = R +Lω = 2 2
⎝
C ω ⎠⎟
C ω
2L
1
1
−
+ 2 2 =0⇒L=
C
2C ω2
C ω
1
1
3
3
R
R2 +
L=
= 2 2 ⇒ R2 =
⇒C =
2Rω
3ω
4C 2 ω2
4C 2 ω2
C ω
e
R
π
1
2R
1
π
=R+j
+
= R 1− j
3) = R + jLω +
d’argument − . Donc i = I m cos ωt +
et
i
jC ω
6
6
j 3
3
3
π
ce courant, qui est maximum à t = −
, alors que e est maximum à l’instant 0, est en avance sur e .
6ω
(
)
(
)
II.
P
105
=
= 568 A
U cos ϕ
220 × 0, 8
2) u = Z i où on suppose que u est réel ; l’usine ayant un caractère inductif, Z est de la forme
1) P = UI cos ϕ ⇒ I =
Z = R + jLω , donc a un argument compris entre 0 et 90° ; alors i a un argument compris entre –
90° et 0, d’où le dessin ci-contre.
3) cos ϕ est maximum quand ϕ = 0 , donc quand iT est en phase avec u .
4) iC = jC ωu a pour argument 90° et iT = i + iC ; d’où la figure ci-contre.
u
i
iT
iC u
5) IC = I sin ϕ = I 1 − cos2 ϕ = 568 1 − 0, 82 = 341A .
i
IC
341
−3
C =
=
= 4, 93.10 F .
Uω
220 × 100π
6) Comme Pligne = Rligne IT2 , l’énergie perdue dans les lignes amenant le courant est proportionnelle au carré de IT .
7) Sans condensateur, la puissance perdue dans les lignes est Rligne I 2 ; avec condensateur, elle est Rligne IT2 .
L’économie est
Rligne I 2 − Rligne IT2
= 1 − cos2 ϕ = 0, 36 .
Rligne I 2
III.
1) D’après le théorème de Millman,
ue
1
1
1
R + jLω
us =
⇒H =
=
=
x
1
1 + jC ω(R + jLω) 1 + jRC ω0x − x 2
1 + j − x2
jC ω +
Q
R + jLω
1
H =
x2
(1 − x 2 )2 + 2
Q
2.a) ω0 = 1000 rad/s Q = 25
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 5
⎛ 1 ⎞⎟
d ⎜⎜
⎜⎝ H 2 ⎠⎟⎟
1
1
1
2.b)
= 2 − 2(1 − x 2 ) > 0 si x 2 > 1 − 2 qui est positif, soit x > x 0 = 1 − 2 = 0, 9996 , donc
2Q
2Q
d (x 2 )
Q
le gain est maximum pour x 0 .
Q
= 25
2.c) H max ≈
xm
Q
3) Pour les deux valeurs proposées, on trouve H = 17, 685 alors que
= 17, 678 , donc ces valeurs sont les
2
fréquences de coupure, c’est-à-dire les extrémités de la bande passante.
4) Le bon graphe est le graphe a, car le filtre est un filtre passe-bas avec un pic de résonance. La fréquence variant de
0 à 1 kHz, c’est quand ω = ω0 = 1000 rad/s que les tensions sont les plus élevées dans le condensateur et dans la
bobine.
5) Quand la fréquence varie de 1 à 1000 Hz, elle passe par la fréquence de résonance f0 = ω0 / 2π = 159 Hz ,
fréquence pour laquelle les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont maximales. Le condensateur peut
200
être détruit à la résonance si sa tension à la résonance excède 200 V = QU soit U =
= 8V
25
8
U
Le courant dans la bobine est maximum à la résonance et vaut alors
=
= 200 mA < 500 mA
R
40
Donc la tension fournie par le GBF ne doit pas excéder U = 8 V efficaces.
En pratique, les GBF ne sont pas, comme le dit l’énoncé, une source de tension, mais une source de tension en série
avec une résistance de 50 Ω ; il est rare qu’ils détruisent un composant à cause d’une tension efficace trop grande.
IV.
1) On veut que Z
Z =
2
ne dépend pas de R .
R(1 − LC ω2 ) + jLω
1
1
1
RjLω
+
=
+
=
1
1
jC ω
jC ω R + jLω
jC ω ( R + jLω )
+
R
jLω
Z
2
=
aR2 + b
a
b
ne dépend pas de R si = ; de même, à la question suivante,
c
d
cR2 + d
a
b
= .
c
d
2
Donc (1 − LC ω2 )2 = 1 1 − LC ω2 = ±1 LC ω2 = 2 C =
.
L ω2
−R + jLω
R
2) Alors Z =
est réel et positif, donc indépendant de j , soit
=
jRC ω − 2
2
Or
R2 (1 − LC ω2 )2 + L2 ω2
C 2 ω2 ( R2 + L2 ω2 )
aj + b
ne dépend pas de j si
cj + d
Lω
=
RC ω
L
2
R 2
Lω
R = Lω .
Autre solution
RjLω
RjLω ( R − jLω )
1
1
+
=
+
Z =
jC ω R + jLω
jC ω
R2 + L2 ω2
Im ( Z ) = 0
R 2L ω
1
+ 2
=0
C ω R + L2 ω2
R2 + L2 ω2 = R2LC ω2 = 2R2
−
R = Lω
V.
un +1 un −1
+
u
+ un −1
jLω
jLω
En appliquant le théorème de Millman en An : un =
⇒ un = n +1
2
2
LC
−
ω2
+ jC ω
jLω
⎛ ω2
⎞
un = a n est solution de la relation précédente si a 2 + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎟a + 1 = 0 ; c’est une équation du second degré
⎝⎜ ω0
⎠
⎛ ω2
⎞2
⎞
ω2 ⎛ ω 2
dont le discriminant est ∆ = ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ − 4 = 2 ⎜⎜ 2 − 4 ⎟⎟ .
⎝⎜ ω0
⎠⎟
⎠⎟
ω0 ⎝⎜ ω0
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 6
∆ < 0 si ω < 2ω0 ; les racines de l’équation en a ont pour produit 1 et sont deux nombres complexes conjugués ;
elles sont donc de la forme e j ϕ et e − j ϕ . Alors, un = Ae jn ϕ + Be − jn ϕ où Re ( a ) = cos ϕ = 1 −
ω2
2ω20
un ( t ) = Re ( un exp ( j ωt ) ) = A cos(ωt + arg(A) + n ϕ) + B cos(ωt + arg(B ) − n ϕ)
Posons τ = ϕ / ω . Le premier terme A cos(ωt + arg(A) + n ϕ) = A cos ( ω ( t + n τ ) + arg(A) ) représente un
signal qui se propage vers la gauche en mettant le temps τ d’une cellule sur l’autre ; le deuxième terme
B cos(ωt + arg(B ) − n ϕ) = B cos ( ω ( t − n τ ) + arg(B ) ) représente un signal qui se propage vers la droite en
mettant le temps τ d’une cellule sur l’autre.
Si la source du signal est à gauche, un ( t ) doit être en retard sur un −1 ( t ) , donc A = 0 et un ( t ) = u0 ( t − n τ ) .
ω
1
Si ω ω0 , comme cos ϕ ≈ 1 − ϕ2 / 2 , ϕ ≈
= ωτ ⇒ τ =
et
ω0
ω0
un = B cos(ω(t − n τ) + arg(B )) = u0 ( t − n τ ) .
Comme le temps de retard τ est indépendant de la fréquence, cette ligne à retard retarde du même temps toutes les
composantes en fréquence d’un signal ; elle retarde un signal de forme quelconque sans le déformer. L’approximation
est d’autant meilleure pour un retard total donné que τ est petit et le nombre de cellules grand.
τ=
LC =
10−3 × 15.10−12 = 0,122 µs .
VI.
u1 ( t ) et u2 ( t ) sont en déphasées de π / 2 , donc Re ( u2 / u1 ) = 0 . Soit i le
1 ⎞⎟
⎛
courant, u1 = ( R + jLω ) i et u2 = ⎜⎜ r +
⎟i ,
⎝
jC ω ⎠⎟
1
1 ⎞⎟
⎛
⎜⎜ R +
( r − jLω )
R+
⎝
u2
jC ω
jC ω ⎠⎟
,
=
=
u1
r + jLω
r 2 + L2 ω2
1
L
R+
Rr −
L
⎛ u2 ⎞⎟
jC
ω
C
.
Re ⎜⎜ ⎟⎟ =
= 2
⇒ Rr =
2 2
⎝ u1 ⎠
r + jLω
C
r +Lω
u1 ( t ) est en avance sur e ( t ) et u2 ( t ) en retard, d’où le graphe ci-contre.
(
)
VII.
1) La valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré.
2
2
2) Ieff
= i 2 = (2 + 3 cos (1000t ))
= 22 + 12 cos (1000t ) + 32 cos2 (1000t ) . Comme cos ωt = 0 et comme
cos2 ωt = 1/ 2 , Ieff = 22 + 32 / 2 = 8, 5 = 2, 92 A .
VIII.
j ωt −2π / 3)
j ωt −4π / 3)
1) v 1 = V 2e j ωt v 2 = V 2e (
v 3 = V 2e (
.
v3
v1 + v2 + v3 = V 2e j ωt ⎢⎡1 + e − j 2π / 3 + e − j 4π / 3 ⎥⎤ = 0 ⇒ v1 + v2 + v3 = 0 .
⎣
⎦
j ωt ⎡
− j 2π / 3 ⎤
= V 2e j ωt 3e j π / 6
u12 = V 6 cos (ωt + π / 6) .
2) u12 = v1 − v2 = V 2e ⎢1 − e
⎣
⎦⎥
v2
v + v2 + v 3
3) iN = i1 + i2 + i3 = 1
⇒ iN = 0 .
R
2v1 + v2 + v3
v1
P
110
P
4) iN =
=
I2 = =
= 0, 5 A iN =
2 cos ωt = 0, 5 2 cos ωt en ampères
R
R
V
220
V
5) Millman : vO =
v1 / R + v1 / R + v2 / R + v3 / R 2v1 + v2 + v3
v
V 2
=
= 1 =
cos ωt .
4/R
4
4
4
2
6) Les lampes branchées sur la phase 1 subissent la tension v1 − vO = 3v1 / 4 ⇒ P1 = P1′ = (3 / 4) × 110 = 62 W .
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 7
v1
u12
Les tensions appliquées aux lampes 2 et 3 sont complexes conjuguées, donc les puissances de ces lampes sont égales.
Pour la lampe 2, la tension est v2 − vO = V 2e j ωt ⎡⎢e − j 2π / 3 − 1 / 4⎤⎥ ;
⎣
⎦
P2 =
v2 − vO
2
2R
=
⎡
⎛
1 ⎞⎛
1⎞
1 e + j 2π / 3 + e − j 2π / 3 ⎤⎥
V 2 − j 2π / 3 1 2
e
−
= P ⎜⎜e − j 2π / 3 − ⎟⎟⎟ ⎜⎜e + j 2π / 3 − ⎟⎟⎟ = P ⎢⎢1 + −
⎥
⎝
4
4 ⎠⎝
4⎠
16
4
R
⎣⎢
⎦⎥
⎡
cos (2π / 3)⎤ 21
1
⎥ = P ⇒ P2 = P3 = 144 W
= P ⎢⎢1 + −
⎥ 16
16
2
⎣⎢
⎦⎥
.
IX.
1) i =
e
z +Z
u = Zi
P = 21 Re(u i *) = 21 Re(Z i i *) =
I m2
REm2
REm2
1
.
Re(Z ) =
=
2
2
2 [(R + r )2 + (X + x )2 ]
2Z
2) Pour R déterminé, P (X ) est maximum si X = −x . Alors, P (R) =
REm2
;
2(R + r )2
E 2 (R + r )2 − 2R(R + r ) Em2 r − R
dP
= m
=
est positif si R < r ; P (R ) est maximum si R = r .
2
2 (R + r )3
dR
(R + r )4
Donc P est maximum si Z est le complexe conjugué de z .
3) Comme les puissances sont additives et comme la puissance reçue par un dipôle d’impédance imaginaire pure est
nulle, la puissance reçue par l’ensemble {Ru , jA, jB } est égale à la puissance reçue par Ru . D’après la question
précédente, la puissance reçue par l’ensemble {Ru , jA, jB } serait maximum si l’impédance de cet ensemble était le
complexe conjugué de Rg . Reste à savoir s’il est possible d’obtenir effectivement cette valeur.
4)
⎛ 1
1
1
1
1 ⎞⎟
=
+
⇒ ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ (Ru + jA) = 1 . En séparant partie réelle et partie imaginaire :
⎜⎝ Rg
Rg
jB Ru + jA
jB ⎠⎟⎟
⎧⎪ Ru A
⎪⎪⎧ A Ru
⎪⎪⎪ R − B = 1
⎪ = R −1
⎪ g
⇒ ⎪⎨ B
g
⎨
⎪⎪ A
⎪
R
+ u = 0 ⎪⎪AB = −Ru Rg
⎪⎪
⎪⎩
B
⎪⎪⎩ Rg
On voit que A et B sont de signes contraires et qu’il faut Ru < Rg pour pouvoir atteindre la condition de la question
2).
Si Ru < Rg , il y a deux solutions :
A = Ru (Rg − Ru ) et B = −
Ru Rg2
Rg − Ru
ou A = − Ru (Rg − Ru ) et B = +
Ru Rg2
Rg − Ru
.
Nota (non demandé) : si Ru = Rg , il est inutile d’interposer un montage entre {eg , Rg } et Ru ; si Ru > Rg , il faut
mettre jA en série avec {eg , Rg } et jB en parallèle avec Ru .
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 8