Circuits en courant sinusoïdal - Jean

Circuits en courant sinusoïdal
C
u
,LR
C
cos
m
eE t=ω
B
u
I8.
A une certaine fréquence 2
fω =π, la tension d'alimentation e, la tension
aux bornes du condensateur de capacité C et la tension aux bornes de la
bobine d’inductance L et de résistance R ont toutes trois des amplitudes égales.
C
u
B
ui
1) Que peut-on dire alors :
a) du rapport des amplitudes complexes C
B
u
u ?
b) du rapport des impédances complexes du condensateur et de la bobine ?
2) Exprimer et C en fonction de R et . Lω
3) Quelle est la différence des phases du courant i et de la tension e ? i est-il en avance ou
en retard sur e ?
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 1
II26.
1) Une usine, alimentée sous la tension sinusoïdale u de valeur efficace U = 220 volts et
de fréquence f = 50 hertz, consomme une puissance moyenne P = 100 kW ; son facteur de
puissance est . Calculer l’intensité efficace I. cos 0, 8φ=
2) L’usine a un caractère inductif à cause de ses machines. Représenter qualitativement
dans le plan complexe les amplitudes complexes de u et de i en prenant comme référence de phase u.
USINE
i
iC
iT
C
u
3) On met en parallèle avec l’usine un condensateur de capacité C de sorte que le facteur de puissance de l’ensemble
soit maximal. Comment est alors l’amplitude complexe du courant iT par rapport à celle de u ?
4) Compléter la figure de la question 2) en y représentant les amplitudes complexes de iC et iT de façon conforme à la
question précédente.
5) Calculer numériquement la valeur IC efficace de iC, puis la valeur que doit avoir la capacité C.
6) Comment l’énergie perdue par effet Joule dans les lignes qui amènent le courant dépend-elle de la valeur efficace
IT de iT ?
7) Calculer en pourcentage l’économie réalisée par le fournisseur de l’énergie électrique, l’industriel consommant
toujours la même puissance.
III50. Détérioration de composants électriques.
On réalise un circuit R-L-C série avec un conducteur ohmique de résistance
, un condensateur de capacité et une bobine de résistance
et d'inductance . Ce circuit, représenté ci-contre, est alimenté
par un G.B.F délivrant une tension alternative sinusoïdale
025R=ΩµF1, 0C=
15r=Ω1, 0 HL=
2cos
e
uU=ωt de valeur efficace Uconstante, mais dont
la fréquence peut être ajustée à toute valeur inférieure à 1 kHz. On note u la tension aux bornes du condensateur,
sH
la fonction de transfert /
se
Hu et H le module de cette fonction de transfert.
0
R ,Lr
e
u
C
s
u
u=
On pose 00 0
11
, , , 20 log
dB
RR . r Q G H
RC
LC
=+ω== =
ω
1- Exprimer le module de la fonction de transfert en fonction de Q et de H
0
x. Le résultat sera donné sous
forme d'un quotient dont le numérateur est égal à 1.
ω
=ω
x
2- Calculer :
a) la valeur numérique du facteur de qualité Q.
b) la valeur numérique x de x pour laquelle le module de la fonction de transfert atteint sa valeur maximale H
0max
c) la valeur numérique de H.
max
3- Calculer le module de la fonction de transfert pour x = 1,0194 et x = 0,9794. Que représentent ces deux
valeurs particulières ? 1 2
4- Parmi les quatre courbes de la figure 2 ci-dessous, laquelle correspond au graphe simplifié de la courbe
; expliquer les raisons de votre choix. (log )
dB
Gf=

5- Sachant que la bobine et le conducteur ohmique ne peuvent supporter sans risque de destruction un courant
d'intensité efficace 500 mA et que le condensateur est détruit lorsque la tension efficace à ses bornes atteint 200
V, à quelle valeur doit-on limiter impérativement U pour qu'aucun composant ne soit détérioré lorsqu'on fait
varier la fréquence de 0 à 1 kHz ?
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 2
IV10.
1) A une certaine fréquence, l’amplitude du courant i ne varie pas quand R
varie. Exprimer C en fonction de L et . ω
2) Pour quelle valeur de R le courant i est-il alors en phase avec e ?
V6. Ligne à retard.
Soit une ligne constituée de cellules identiques LC ;
on note 01/ LCω=. En courant sinusoïdal de
pulsation , donner la relation de récurrence entre les
amplitudes complexes
ω
n
u.
On cherche une solution de cette relation de la
forme n
n
ua=. Donner l’équation satisfaite par a.
Montrer que, si , a est de la forme et déterminer la fonction .
0
2ω<ω
()
(
expaj=ϕω
)
()
ϕω
En déduire que
() (
exp exp
n
)
jn B jn=ϕ+−ϕ t
ut n=−τ
uA . Exprimer u. Montrer que si la source du signal est à
gauche du montage, le principe de causalité impose ut et calculer .
()
n
0
() ( )
nτ
A.N. avec L = 1 mH et C = 15 pF, calculer τ.
Nota : le procédé de télévision SECAM utilise une ligne de retard pour balayer une ligne sur deux de l’écran.
VI27.
On observe sur un oscilloscope les tensions u et u en fonction du temps et on constate
que les passages par zéro de u ont lieu à des instants temporellement équidistants des
passages par zéro de u.
1 2
1
2
1) En déduire une relation entre L, C, r et . R
2) Représenter u et u en fonction du temps, en justifiant le sens de leur avance ou retard.
1 2
cos
m
eE t
ω
=
i
R
L
C
C
A0
• A1 •
L
C
A2
•
u1
L
C
u2
L A3
•
C
cos
m
eE t=ω
C
r
2
u
1
u
R
L
L
u3 u0
VII34.
1) Définir la valeur efficace d’un courant it fonction du temps t.
()
2) Quelle est la valeur efficace du courant
(
)
23cos1000i ( en secondes, i en ampères) ? t=+ t
VII25.
Sur le tableau de distribution d'une installation triphasée, nous trouvons quatre
bornes :
– la première appelée neutre et notée N ;
– les trois autres appelées phases notées et l, 2, 3 (figure 1).
Entre le neutre et chacune des trois phases existent trois tensions dites "simples" :
12 3
24
2cos 2cos 2cos
33
vV tvV t vV t
⎛π⎞ ⎛
⎟⎟
⎜⎜
=ω=ω− =ω−
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝⎠ ⎝
π⎞ 220 V=.
1) Calcul 3
⎠
où V
er 12
vvv++.

DS : circuits en courant sinusoïdal, page 3
e "tensions c posées" les tensions entre phases comme : Donner l’expression
in
2) On appell om 12 1 2 uvv=−.
stantanée de 12
u sous la forme
()
cosatω+ϕ.
3) On branche trois lampes identiques de pui ance entre le neutre et chaque phase ; quel est le
oèm 10 watts entre le neutre et la phase 1 ; quel est dans ce cas le courant
in nt st coupé (figure 4). Calculer le potentiel instantané du point O en
su . ornes sont toujours aux
mê
20 énérateur de force électromotrice e = Emcos ωt et d'impédance interne
ss 110 wattsP=
urant dans le fil neutre N
i ? (figure 2)
4) On rajoute une deuxi e lampe de 1
c
stantané dans le neutre N
i ? (figure 3).
5) Par suite d'un accide , le fil neutre e O
v
pposant que la résistance des lampes est indépendante de la tension appliquée à leurs bornes
6) En déduire les puissances 1
P, 1 P′, 2 P et 3 Pdans chaque lampe. On rappelle que les trois b
mes potentiels 1
v, 2 v et 3 v.
IX . z = r + jx
Z = R + jX
e = Emcosωt
Un g zrjx=+ débite
dans un dipôle d'impédance ZRjX=+ .
1) Exprimer la puissance P reçue d' par le dipôle impédance Z.
2) Comment faut-il choisir Z pour que cette puissance soit maximum ?
ece maximum. Pour
ce
nt est
nn ’optimum si l’hypothèse n’est pas
Réponses
I. 1) et 2)
3) On désire que la résistanc u
R de la figure ci-contre reçoive la puissan
g
R
g
e
u
R
jA
jB
la, on interpose entre elle et le g érateur de fem g
e et de résistance interne g R deux
impédances imaginaires pures jA et jB . Démontre que la solution du problè précéde
applicable à ce problème, moye ant une certaine hypothèse.
4) Calculer A et B dans cette hypothèse (ne pas chercher l
vé
én
r me
rifiée).
2
3
i
B
C
ue
u
π
±
= ; 3
2
CR =ω ; et 3
R
L=ω ; 3) i est en avance de sur
II. 1)
/6πe.
568 A
cos
P
IU ==
ϕ ; 3) est en phase avec
T
i u ; 5) 341A
C
I= ;
3
4, 93.10 F
C
I
CU
−
==
ω ; 6) proportionnelle au carré de ; 7) 36 %.
T
I
i u
i
u
iC
T
i

III. 1) 2
22
2
1
(1 )
Hx
xQ
=
−+
; 2.a) ; 2.b)
01000 rad/s 25Qω== 02
1
1 0,9996
2
xQ =−= ; 2.c)
max 25
m
Q
Hx ≈= ; 3) /2Q ; les fréquences de coupure ; 4) graphe a (filtre passe-bas avec un pic de résonance) ; 5)
efficaces. 8VU=
IV. 1) 2
2
CL =ω ; 2) R. L=ω
V. 11
2
2
nn
n
uu
uLC
+−
+
=−ω
; 2
2
2
0
210aa ;
⎛⎞
ω⎟
⎜
+−+=
⎟
⎜⎟
⎟
⎜
⎜
⎝⎠
ω
2
2
0
cos 1 2
ω
ϕ=−ω ;
()
cos( arg( ) ) cos( arg( ) )
n
ut A t A n B t B n=ω++ϕ+ω+−ϕ ;
0
1
τ=ω ; 0, 122 sLCτ==µ.
VI. 1) ; 2) voir ci-contre. /Rr L C=
VII. 1) la valeur efficace est la racine carrée de la moyenne du carré ;
2) . 2, 92 A
eff
I=
VIII. 1) ; 2)
123
0vvv++=
()
12 6cos /6uV t=ω+π ; 3) ; 4) 0
N
i=
en 2 cos 0, 5 2 cos ampères
N
P
itt
V
=ω=ω ; 5) 12cos
44
vVt=ω ; 6)
; .
11
62 WPP
′
== 23 144 WPP==
IX. 1) 2
2
1
2[( ) ( ) ]
m
RE
PRr Xx =+++
2
; 2) Z est le complexe conjugué de z ; 4)
() ()
et ou et
22
ug ug
ug u ug u
gu gu
RR RR
ARRR B A RRR B
RR RR
=−=−=−− =+
−−
.
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 4

Corrigés
DS : circuits en courant sinusoïdal, page 5
I. 1) et 2) Comme B
eu u=+
C
, les représentations complexes de ces trois tensions sont les
cotés d’un triangle. Comme leurs amplitudes sont égales, le triangle est équilatéral, donc
2
3
j
B
C
ue
u
π
±
=. Or le rapport des tensions est
()
2
1
B
C
uRjLi
LC jRC
ui
jC
+ω
==−ω+ω
ω
tandis que
2
31
22
j
ej
π
±=−±3
, donc 21
2
LC ω= et 3
2
RC ω=. D’où 3
2
CR =ω et 2
1
3
2
R
LL
C
=⇒=ω
ω.
e
C
u
B
u
Autre résolution.
2
2222
22
22 2
22
22 22 22
11
()
11
21 1
02
11 3 3
23
44
Bc B c
euu u u
RjL i RjLi i
jC jC
RL RL
CC
LL
CCC
R
RRC
R
CC C
=+= =
⎛⎞
⎟
⎜+ω+=+ω=
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ωω
⎛⎞
⎟
⎜
+ω− =+ω=
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ωω
−+=⇒=
ωω
+=⇒=⇒==
ωω
ωω ω L
3)
(
12
1
33
eRR
RjL Rj R j
ijC j
=+ω+=++=−
ω
)
1
3
d’argument 6
π
−. Donc
()
cos 6
m
iI et
ce courant, qui est maximum à
tπ =ω+
6
tπ =−ω, alors que e est maximum à l’instant 0, est en avance sur e.
II.
1) 5
10
cos 568 A
cos 220 0, 8
P
PU I IU =ϕ⇒ == =
ϕ×
2) u où on suppose que Zi=u est réel ; l’usine ayant un caractère inductif, Z est de la forme
ZRjL=+ω, donc a un argument compris entre 0 et 90° ; alors i a un argument compris entre –
90° et 0, d’où le dessin ci-contre.
u
i
iT
3) cos est maximum quand ϕ, donc quand i est en phase avec ϕ0=Tu.
4) C
ijC=ωu a pour argument 90° et T iii=+
C
; d’où la figure ci-contre. iC u
i
5) 22
sin 1 cos 568 1 0, 8 341A
C
II . I=ϕ=−ϕ=−=
3
341 4, 93.10 F
220 100
C
I
CU
−
== =
ω×π.
6) Comme P, l’énergie perdue dans les lignes amenant le courant est proportionnelle au carré de I.
2
ligne ligne T
RI=
I I
T
7) Sans condensateur, la puissance perdue dans les lignes est R ; avec condensateur, elle est R.
L’économie est
2
ligne 2 ligne T
22
2
21cos 0,36
ligne ligne T
ligne
RI RI
RI
−=−ϕ=.
III.
1) D’après le théorème de Millman,
22
0
2
22
2
11
11( )
11
1
(1 )
e
s
u
RjL
uH x
jC R jL jRC x x jx
jC Q
RjL
Hx
xQ
+ω
=⇒===
+ω+ω+ω− +−
ω++ω
=
−+
1
==
2.a) ω
01000 rad/s 25Q