Puissances d`un nombre relatif 1. Exposant entier positif Définition

3
e
Ecritures littérales 1/4
Puissances d’un nombre relatif
I. Puissances d’un nombre relatif
1. Exposant entier positif
Définition : Soient a un nombre relatif et n un entier positif non nul.
a
n
désigne le produit de n facteurs égaux à a : ࢇ
࢔
= ࢇ×ࢇ×…×ࢇ (n facteurs a)
a
n
est une puissance du nombre a et se lit « a exposant n ».
Le nombre n s’appelle un exposant.
Exemple :
3
4
est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc 3
ସ
= 3×3×3×3 = 81
Cas particulier : a
1
= a Exemple : 11
1
=11
Convention : Pour a ≠ 0, on convient que a
0
= 1. Exemple : 7
0
= 1.
2. Exposant entier négatif
Définition : Soient a un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul.
a
-n
désigne l’inverse de a
n
: ࢇ
ି࢔
=
૚
ࢇ
࢔
Exemple : 2
- 3
est l’inverse de 2
3
. Donc 2
ିଷ
=
ଵ
ଶ
య
=
ଵ
ଶ×ଶ×ଶ
=
ଵ
଼
.
Cas particulier : Pour a ≠ 0, a
-1
est l’inverse de a.
Exemple : 5
-1
est l’inverse de 5. Donc 5
ିଵ
=
ଵ
ହ
= 0,2.
Remarque :
ሺ−5ሻ
ଷ
=ሺ−5ሻ×ሺ−5ሻ×ሺ−5ሻ= −125 et 5
ିଷ
=
ଵ
ହయ
=
ଵ
ହ×ହ×ହ
=
ଵ
ଵଶହ
Donc ሺ−૞ሻ
૜
≠ ૞
ି૜
.
3. Règles de calcul
Soient a et b des nombres relatifs avec b non nul, et n et m des nombres entiers relatifs.
règle
exemples
produit
mnmn
aaa
+
=×
2
ଷ
×
2
ହ
=
2
ହ
ା
ଷ
=
2
଼
ሺ
−
4
ሻ
ି
ହ
×
ሺ
−
4
ሻ
ଶ
=
ሺ
−
4
ሻ
ି
ହ
ା
ଶ
=
ሺ
−
4
ሻ
ି
ଷ
(
)
nn
n
baab ×=
ሺ
5
ݔ
ሻ
ଶ
=
5
ଶ
×
ݔ
ଶ
=
25
ݔ
ଶ
ሺ
−
2
ݐ
ሻ
ଷ
=
ሺ
−
2
ሻ
ଷ
×
ݐ
ଷ
=
−
8
ݐ
ଷ
quotient
mn
m
n
a
a
a
−
=
7
ହ
7
ଷ
=
7
ହ
ି
ଷ
=
7
ଶ
4
ଷ
4
ି
ହ
=
4
ଷ
ି
ሺ
ି
ହ
ሻ
=
4
ଷ
ା
ହ
=
4
଼
n
n
n
b
a
b
a=
൬
3
4
൰
ଶ
=
3
ଶ
4
ଶ
=
9
16
൬
−
1
2
൰
ହ
=
ሺ
−
1
ሻ
ହ
2
ହ
=
−
1
32
puissance
(
)
nm
n
m
aa
×
=
ሺ
ሺ
−
8
ሻ
ଶ
ሻ
ହ
=
ሺ
−
8
ሻ
ଶ
×
ହ
=
ሺ
−
8
ሻ
ଵ଴
ሺ
9
ି
଺
ሻ
ଷ
=
9
ି
଺
×
ଷ
=
9
ି
ଵ଼

2/4
Remarque : 2
ଶ
+2
ଷ
= 4+8 = 12 et 2
ଶାଷ
= 2
ହ
= 32.
Donc ૛
૛
+૛
૜
≠ ૛
૛ା૜
. 2
2
+ 2
3
n’est pas une puissance de 2.
II. Puissances de 10
1. Définition
Définition : Soit n un entier positif.
10
௡
=
10
×
10
×
…
×
10
=
10
…
0
et
10
ି
௡
=
ଵ
ଵ଴
೙
=
ଵ
ଵ଴…଴
=
0
,
0
…
01
n facteurs n zéros n zéros n chiffres après
la virgule
Exemple :
10
ସ
= 10 × 10× 10 × 10 = 10 000 et 10
ିଷ
=
ଵ
ଵ଴య
=
ଵ
ଵ଴଴଴
= 0,001
4 facteurs 4 zéros 3 zéros 3 chiffres
après la virgule
2. Calculer avec des nombres de la forme a ×10
p
où a est un nombre décimal et p un nombre entier relatif
Pour calculer un produit ou un quotient de nombres décimaux écrits sous la
forme a × 10
p
, on regroupe les puissances de 10 et on regroupe les autres
nombres.
Exemple : Calculer et donner le résultat de A sous la forme a × 10
p
.
ܣ
=
0
,
75
×
10
ଵଶ
×
4
×
10
ି
ହ
5
×
10
ି
଻
ܣ = 0,75 × 4
5 × 10
ଵଶ
× 10
ିହ
10
ି଻
ܣ
=
3
5
×
10
଻
10
ି
଻
ܣ = 0,6 × 10
଻ିሺି଻ሻ
ܣ = 0,6 × 10
ଵସ
Pour calculer une somme ou une différence de nombres décimaux écrits sous la
forme a × 10
p
, on les écrit avec la même puissance de 10 pour pouvoir factoriser.
Exemple : Calculer et donner le résultat de B sous la forme a × 10
p
.
ܤ
=
7
,
9
×
10
ି
ଽ
+
1400
×
10
ି
ଵଶ
ܤ
=
7
,
9
×
10
ିଽ
+
1
,
4
×
10
ଷ
×
10
ିଵଶ
ܤ
=
7
,
9
×
10
ି
ଽ
+
1
,
4
×
10
ି
ଽ
ܤ
=
ሺ
7
,
9
+
1
,
4
ሻ
×
10
ି
ଽ
ܤ
=
9
,
3
×
10
ି
ଽ
III. Ecriture scientifique d’un nombre décimal
1. Définition

3/4
L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est
l’unique écriture de ce nombre sous la forme a × 10
p
dans laquelle a est un
nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non
nul, et p est un nombre entier relatif.
Exemples :
 l’écriture scientifique de -3857,4 est -3,8574 × 10
3
.
 2,5987 × 10
2
est l’écriture scientifique de 259,87
 35 × 10
-9
et 0,48 × 10
12
ne sont pas des écritures scientifiques.
2. Donner l’écriture scientifique de A = 3 587,29 × 10
5
ܣ = 3,58729 × 10
ଷ
× 10
ହ
on écrit 3 587,29 en écriture scientifique.
ܣ = 3,58729 × 10
ଷାହ
on utilise les règles de calcul sur les puissances.
ܣ = 3,58729 × 10
଼
écriture scientifique de A.
3. Encadrement et ordre de grandeur
Pour obtenir un encadrement d’un nombre par des puissances de 10 ou en
donner un ordre de grandeur, on peut commencer par donner l’écriture
scientifique de ce nombre.
Exemple : A = 2 105 395 et B = 0,0594
a. Encadrer A, puis B par deux puissances de 10 d’exposants consécutifs.
b. Donner un ordre de grandeur de A×B.
a. A = 2,105395 × 10
6
donc 10
6
< A < 10
7
1×10
6
< A< 10×10
6
B = 5,94 × 10
-2
donc 10
-2
< B < 10
-1
1×10
-2
< B< 10×10
-2
b. Un ordre de grandeur de A est 2 × 10
6
et un ordre de grandeur de B est 6 × 10
-2
.
Donc un ordre de grandeur de A×B est : 2 × 10
6
× 6 × 10
-2
= 12 × 10
4
= 120 000.
4. Comparaison
Pour comparer deux nombres écrits avec des puissances de 10, on compare leurs
écritures scientifiques ou on les écrit avec la même puissance de 10.
Exemple : Comparer les nombres A = 0,05 672 × 10
5
et B = 125,67 × 10
4
a. A = 5,672 × 10
-2
× 10
5
= 5,672 × 10
3
et B = 1,2567 × 10² × 10
4
= 1,2567 × 10
6
b. A = 0,567 2 × 10
-1
× 10
5
= 0,5672 × 10
4
et B = 125,67 × 10
4
IV. Priorités de calcul
Propriété : Dans le calcul d’une expression numérique :
 en présence de parenthèses, on effectue les calculs entre parenthèses
avant les puissances ;

4/4
 en l’absence de parenthèses, on effectue les puissances avant les autres
opérations.
Exemple : 2,5 × 2
ସ
+ ሺ8−3ሻ
ଶ
= 2,5 × 16 + 5
ଶ
= 40+25 = 65.