Puissances d`un nombre relatif 1. Exposant entier positif Définition
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3e Ecritures littérales 1/4 Puissances d’un nombre relatif I. Puissances d’un nombre relatif 1. Exposant entier positif Définition : Soient a un nombre relatif et n un entier positif non nul. an désigne le produit de n facteurs égaux à a : ࢇ = ࢇ × ࢇ × … × ࢇ (n facteurs a) an est une puissance du nombre a et se lit « a exposant n ». Le nombre n s’appelle un exposant. Exemple : 34 est le produit de 4 facteurs égaux à 3. Donc 3ସ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 Exemple : 111 =11 Cas particulier : a1 = a Exemple : 70 = 1. Convention : Pour a ≠ 0, on convient que a0 = 1. 2. Exposant entier négatif Définition : Soient a un nombre relatif non nul et n un entier positif non nul. a-n désigne l’inverse de an : ࢇି = ࢇ Exemple : 2 - 3 est l’inverse de 23. Donc 2ିଷ = ଵ ଶయ = ଵ ଵ = . ଶ×ଶ×ଶ ଼ Cas particulier : Pour a ≠ 0, a-1 est l’inverse de a. ଵ Exemple : 5-1 est l’inverse de 5. Donc 5ିଵ = = 0,2. ହ Remarque : ሺ−5ሻଷ = ሺ−5ሻ × ሺ−5ሻ × ሺ−5ሻ = −125 Donc ሺ−ሻ ≠ ି . et ଵ ଵ ଵ 5ିଷ = ହయ = ହ×ହ×ହ = ଵଶହ 3. Règles de calcul Soient a et b des nombres relatifs avec b non nul, et n et m des nombres entiers relatifs. règle produit quotient puissance a n × a m = a n+m (ab)n = a n × b n an = a n −m m a n an a = bn b (a ) m n = a m× n exemples 2ଷ × 2ହ = 2ହାଷ = 2଼ ሺ5ݔሻଶ = 5ଶ × ݔଶ = 25 ݔଶ ሺ−4ሻିହ × ሺ−4ሻଶ = ሺ−4ሻିହାଶ = ሺ−4ሻିଷ 3 ଶ 3ଶ 9 ൬ ൰ = ଶ= 4 16 4 −1 ହ ሺ−1ሻହ −1 ൬ ൰ = = 2 2ହ 32 7ହ = 7ହିଷ = 7ଶ 7ଷ ሺሺ−8ሻଶ ሻହ = ሺ−8ሻଶ×ହ = ሺ−8ሻଵ ሺ−2ݐሻଷ = ሺ−2ሻଷ × ݐଷ = −8 ݐଷ 4ଷ = 4ଷିሺିହሻ = 4ଷାହ = 4଼ 4ିହ ሺ9ି ሻଷ = 9ି×ଷ = 9ିଵ଼ Remarque : 2 + 2 = 4 + 8 = 12 et 2 = 2 = 32. 2 3 ା Donc + ≠ . 2 + 2 n’est pas une puissance de 2. ଶ ଷ ଶାଷ ହ 2/4 II. Puissances de 10 1. Définition Définition : Soit n un entier positif. 10 = 10 × 10 × … × 10 = 10 … 0 n facteurs n zéros et 10ି = Exemple : 10ସ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 4 facteurs ଵ ଵ = 10ିଷ = et 4 zéros ଵ ଵ… n zéros ଵ ଵయ = = 0,0 … 01 n chiffres après la virgule ଵ ଵ = 0,001 3 zéros 3 chiffres après la virgule 2. Calculer avec des nombres de la forme a ×10p où a est un nombre décimal et p un nombre entier relatif Pour calculer un produit ou un quotient de nombres décimaux écrits sous la forme a × 10p, on regroupe les puissances de 10 et on regroupe les autres nombres. Exemple : Calculer et donner le résultat de A sous la forme a × 10p. 0,75 × 10ଵଶ × 4 × 10ିହ =ܣ 5 × 10ି =ܣ 0,75 × 4 10 × 10 × 5 10ି ଵଶ ିହ 3 10 × =ܣ 5 10ି = ܣ0,6 × 10ିሺିሻ = ܣ0,6 × 10ଵସ Pour calculer une somme ou une différence de nombres décimaux écrits sous la forme a × 10p, on les écrit avec la même puissance de 10 pour pouvoir factoriser. Exemple : Calculer et donner le résultat de B sous la forme a × 10p. = ܤ7,9 × 10ିଽ + 1400 × 10ିଵଶ = ܤ7,9 × 10ିଽ + 1,4 × 10ଷ × 10ିଵଶ = ܤ7,9 × 10ିଽ + 1,4 × 10ିଽ III. Ecriture scientifique d’un nombre décimal 1. Définition = ܤሺ7,9 + 1,4ሻ × 10ିଽ = ܤ9,3 × 10ିଽ 3/4 L’écriture scientifique (ou notation scientifique) d’un nombre décimal est l’unique écriture de ce nombre sous la forme a × 10p dans laquelle a est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul, et p est un nombre entier relatif. Exemples : l’écriture scientifique de -3857,4 est -3,8574 × 103. 2,5987 × 102 est l’écriture scientifique de 259,87 35 × 10-9 et 0,48 × 1012 ne sont pas des écritures scientifiques. 2. Donner l’écriture scientifique de A = 3 587,29 × 105 = ܣ3,58729 × 10ଷ × 10ହ on écrit 3 587,29 en écriture scientifique. = ܣ3,58729 × 10ଷାହ on utilise les règles de calcul sur les puissances. ଼ = ܣ3,58729 × 10 écriture scientifique de A. 3. Encadrement et ordre de grandeur Pour obtenir un encadrement d’un nombre par des puissances de 10 ou en donner un ordre de grandeur, on peut commencer par donner l’écriture scientifique de ce nombre. B = 0,0594 Exemple : A = 2 105 395 et a. Encadrer A, puis B par deux puissances de 10 d’exposants consécutifs. b. Donner un ordre de grandeur de A×B. a. A = 2,105395 × 106 donc 106 < A < 107 B = 5,94 × 10-2 donc 10-2 < B < 10-1 1×106< A< 10×106 1×10-2< B< 10×10-2 b. Un ordre de grandeur de A est 2 × 106 et un ordre de grandeur de B est 6 × 10-2. Donc un ordre de grandeur de A×B est : 2 × 106 × 6 × 10-2 = 12 × 104 = 120 000. 4. Comparaison Pour comparer deux nombres écrits avec des puissances de 10, on compare leurs écritures scientifiques ou on les écrit avec la même puissance de 10. Exemple : Comparer les nombres A = 0,05 672 × 105 et B = 125,67 × 104 a. A = 5,672 × 10-2 × 105 = 5,672 × 103 et B = 1,2567 × 10² × 104 = 1,2567 × 106 b. A = 0,567 2 × 10-1 × 105 = 0,5672 × 104 et B = 125,67 × 104 IV. Priorités de calcul Propriété : Dans le calcul d’une expression numérique : en présence de parenthèses, on effectue les calculs entre parenthèses avant les puissances ; 4/4 en l’absence de parenthèses, on effectue les puissances avant les autres opérations. Exemple : 2,5 × 2ସ + ሺ8 − 3ሻଶ = 2,5 × 16 + 5ଶ = 40 + 25 = 65.
