Applications Définition 1.1 Une application f définie sur l`ensemble A et

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D´ efinition 1.1 Une application fd´ efinie sur l’ensemble Aet ` a valeurs dans
l’ensemble B:
f:A→B,
est une loi qui fait correspondre ` a chaque ´ el´ ement a∈Aun ´ el´ ement unique
b∈B, not´ ef(a)et appel´ e image de apar f.
D´ efinition 1.2 Une application f:A→Best injective, ou encore est une
injection, si et seulement si des ´ el´ ements distincts de Aont des images distinctes
dans B:
a6=a0∈A⇒f(a)6=f(a0)∈B,
ou, de mani` ere ´ equivalente (contrapos´ ee), si et seulement si :
f(a) = f(a0)∈B⇒a=a0∈A.
D´ efinition 1.3 Une application f:A→Best surjective, ou encore est une
surjection, si et seulement si chaque ´ el´ ement de Best l’image d’au moins un
´
el´ ement de A:
∀b∈B, ∃a∈Atel que b=f(a).
D´ efinition 1.4 Une application f:A→Binjective et surjective est appel´ ee
bijective :
∀b∈B, ∃!a∈Atel que b=f(a).
On dit aussi qu’elle est une bijection.

Lois de composition
D´ efinition 1.5 Une loi de composition interne >entre ´ el´ ements d’un ensemble
Eest une application d’une partie Ade E2(=E×E) dans E:
(a, b)∈A⊆E2⇒c=>(a, b)not =a>b∈E.
Lorsque A=E2, la loi de composition interne est dite partout d´ efinie sur E.
D´ efinition 1.6 La loi interne >d´ efinie sur Eest associative si et seulement si,
pour tout triplet (a1, a2, a3)d’´ el´ ements de E, la relation suivante est satisfaite :
(a1>a2)>a3=a1>(a2>a3).
Th´ eor` eme 1.1 Pour une loi interne >d´ efinie sur Eet associative, toute com-
binaison d’´ el´ ements de Eform´ ee par application r´ ep´ et´ ee de >ne d´ epend pas du
groupement des ´ el´ ements impliqu´ es.
D´ efinition 1.7 La loi interne >d´ efinie sur Eest commutative si et seulement
si, pour tout couple (a1, a2)d’´ el´ ements de E, la relation suivante est satisfaite :
a1>a2=a2>a1.
Th´ eor` eme 1.2 Si une loi interne >d´ efinie sur Eest ` a la fois associative et
commutative, toute combinaison d’´ el´ ements de Eform´ ee par application r´ ep´ et´ ee
de >ne d´ epend ni du groupement des ´ el´ ements, ni de leur ordre.

D´ efinition 1.8 La loi interne >d´ efinie sur Eposs` ede un ´ el´ ement neutre, not´ e
e∈E, si et seulement si, pour tout a∈E, on a :
a>e=e>a=a.
Th´ eor` eme 1.3 Si une loi interne >d´ efinie sur Eposs` ede un ´ el´ ement neutre,
alors il est unique.
D´ efinition 1.9 Pour une loi interne >d´ efinie sur Eet poss´ edant un ´ el´ ement
neutre e, un ´ el´ ement a∈Eest sym´ etrisable s’il existe un ´ el´ ement a0∈Etel
que :
a>a0=a0>a=e.
On dit que a0est un sym´ etrique de adans (E, >).
Th´ eor` eme 1.4 Pour une loi interne >d´ efinie sur E, associative et poss´ edant un
´
el´ ement neutre e, un ´ el´ ement sym´ etrisable admet un seul sym´ etrique.
Th´ eor` eme 1.5 Pour une loi interne >d´ efinie sur E, associative et poss´ edant un
´
el´ ement neutre e, le compos´ e de deux ´ el´ ements sym´ etrisables est sym´ etrisable,
et son sym´ etrique est le compos´ e des sym´ etriques dans l’ordre inverse.

D´ efinition 1.10 Pour une loi interne >d´ efinie sur E, un ´ el´ ement a∈Eest
simplifiable ` a droite si, pour tout xet tout y∈E:
x>a=y>a⇒x=y.
Il est simplifiable ` a gauche si, pour tout xet tout y∈E:
a>x=a>y⇒x=y.
Il est simplifiable s’il est simultan´ ement simplifiable ` a gauche et ` a droite.
Th´ eor` eme 1.6 Pour une loi interne >d´ efinie sur E, associative et poss´ edant un
´
el´ ement neutre e, tout ´ el´ ement sym´ etrisable est simplifiable.
Homomorphisme et isomorphisme de (E, >)dans (E0,>0)
D´ efinition 1.11 Un homomorphisme de (E, >)dans (E0,>0)est une applica-
tion fde Edans E0telle que, pour tout (x, y)∈E2, on a :
f(x>y) = f(x)>0f(y).
Si l’application est bijective, l’homomorphisme est appel´ e isomorphisme.
Th´ eor` eme 1.7 Si fest un isomorphisme de (E, >)dans (E0,>0), l’application
r´ eciproque f−1est un isomorphisme de (E0,>0)dans (E, >).

Groupe
D´ efinition 1.12 Un groupe est un couple (G, >), c’est-` a-dire un ensemble G
muni d’une loi interne >, qui satisfait aux axiomes suivants :
G1. La loi >est associative.
G2. Il existe un ´ el´ ement neutre dans (G, >):
∃e∈G, ∀a∈G, a >e=e>a=a.
G3. Tout ´ el´ ement de (G, >)est sym´ etrisable :
∀a∈G, ∃a0∈G, a >a0=a0>a=e.
Si, en outre, la loi >est commutative, on parlera d’un groupe commutatif.
Th´ eor` eme 1.8 Soit (G, >), un groupe. Pour tout (a, b)∈G2, l’´ equation en x
et celle en y:
a>x=bet y>a=b,
ont chacune une solution unique :
x=a0>bet y=b>a0,
respectivement, o` ua0d´ esigne le sym´ etrique de a. De plus, si (G, >)est un
groupe commutatif, ces solutions sont identiques : x=y.