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Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 01
Auto-évaluation
Taux de variation
Solutions
Répondre dans la colonne de droite en utilisant les
notations appropriées.
1. Le graphique suivant représente la vitesse en
mètres par seconde d’un mobile en fonction du
temps t.
Vitesse (m/s)
v(t)
12 (10; 10) (20; 10)
8
4
(50; 2)
10
20
30
Temps (s)
40
10 − 4 m s
1. a) ∆ v
=
= 0, 6 m s2 .
∆ t [ 0;10 ] 10 − 0 s
Le taux de variation est de 0,6 mètre par seconde
par seconde, soit 0,6 m/s2. C’est l’accélération du
mobile durant cet intervalle de temps, le mobile
se déplace donc à une vitesse constante.
∆v
10 − 10 m s
=
= 0 m s2 .
b)
∆ t [10;20 ] 20 − 10 s
50 t
a) Trouver le taux de variation moyen dans
l’intervalle [0; 10]. Quelle est la signification
physique de ce taux de variation?
b) Trouver le taux de variation moyen dans l’intervalle [10; 30]. Quelle est la signification
physique de ce taux de variation?
c) Trouver le taux de variation moyen dans l’intervalle [20; 30]. Quelle est la signification
physique de ce taux de variation?
d) Trouver le taux de variation moyen dans l’intervalle [30; 50]. Quelle est la signification
physique de ce taux de variation?
e) Dans quel(s) intervalle(s) de temps la vitesse
est-elle constante?
f) Dans quel(s) intervalle(s) de temps la vitesse
est-elle croissante? décroissante?
g) Dans quel(s) intervalle(s) de temps l’accélération est-elle constante? nulle?
Le mobile accélère et l’accélération moyenne
est de 0 m/s2. Le mobile se déplace donc à une
vitesse constante, son accélération est nulle.
∆v
6 − 10 m s
=
= −0, 4 m s2 .
c) ∆ t [ 20;30 ] 30 − 20 s
Le mobile décélère et l’accélération moyenne est
de –0,4 m/s2. L’accélération est négative, cela
signifie que la vitesse diminue en moyenne de
0,4 m/s par seconde.
∆v
2−6 m s
=
= −0, 2 m s2 .
d)
∆ t [ 20;30 ] 50 − 30 s
Le mobile décélère et l’accélération moyenne est
de –0,2 m/s2. L’accélération est négative, cela
signifie que la vitesse diminue en moyenne de
0,2 m/s par seconde.
e) Le graphique représente la vitesse. Celle-ci
est donc constante lorsque le graphique est
horizontal, soit durant l’intervalle [10; 20].
f) La vitesse est croissante lorsque son taux de
variation est positif, soit durant l’intervalle [0;
10]. La vitesse est décroissante lorsque son taux
de variation est négatif, soit durant l’intervalle
[20; 50].
g)L’accélération est constante lorsque la vitesse
est décrite par un segment de droite. Durant
l’intervalle [10; 20], l’accélération est de 0 m/s2
et durant l’intervalle [0;10], l’accélération est
Auto-évaluation 01 - solutions
2. a)
Air Lévis
2.Un projectile est lancé verticalement vers
le haut et sa position par rapport au sol
est décrite par :
h(t) = 392t – 4,9t2 m
où t est le temps mesuré en secondes.
a) Calculer son taux de variation moyen
durant l’intervalle [0; 5]. Quelle est
l’interprétation physique de ce taux
de variation?
b) Calculer son taux de variation moyen durant
l’intervalle [35; 45]. Quelle est l’interprétation
physique de ce taux de variation?
c) Calculer son taux de variation moyen durant
l’intervalle [50; 65]. Quelle est l’interprétation
physique de ce taux de variation?
d) En complétant le tableau suivant, estimer le taux
de variation ponctuel du projectile à t = 10 s.
Interpréter le réultat selon le contexte.
ESTIMATION DU TAUX PONCTUEL
∆h
∆h
∆t
∆t
∆t
∆t
–0,5 [9,5; 10] 296,45 m/s 0,5 [10; 10,5] 291,55 m/s
–0,1 [9,9; 10] 294,49 m/s 0,1 [10; 10,1] 293,51m/s
–0,01 [9,99; 10] 294,049 m/s 0,01 [10; 10,01] 293,951 m/s
e) En complétant le tableau suivant, estimer le taux
de variation ponctuel du projectile à t = 40 s.
Interpréter le réultat selon le contexte.
ESTIMATION DU TAUX PONCTUEL
∆h
∆h
∆t
∆t
∆t
∆t
–0,5 [39,5; 40] 2,45 m/s 0,5 [40; 40,5] –2,45 m/s
–0,1 [39,9; 40] 0,49 m/s 0,1 [40; 40,1] –0,49 m/s
–0,01 [39,99; 40] 0,049 m/s 0,01 [40; 40,01] –0,049 m/s
∆h
h(5) − h(0) m
=
∆ t [ 0;5 ]
5−0
s
=
1837, 5 − 0
= 367, 5 m s.
5
Ce taux de variation est la vitesse moyenne du
projectile durant l’intervalle de temps [0; 5]. Il
est positif, car le projectile s’élève dans les airs, il
s’éloigne du point de référence. Cette ascension
est, en moyenne de 367,5 m par seconde durant
l’intervalle [0; 5]
∆h
h(45) − h(35) m
b)
=
∆ t [ 35;45 ]
45 − 35
s
=
.
7717, 5 − 7717, 5
= 0 m s.
10
Ce taux de variation est la vitesse moyenne du
projectile durant cet intervalle de temps. Il est
nul ce qui signifie qu’en moyenne, le projectile
est arrêté durant cet intervalle de temps.
c)
∆h
h(65) − h(50) m
=
∆ t [ 50;65 ]
65 − 50
s
=
4777, 5 − 7350
= −171, 5 m s .
15
Ce taux de variation est la vitesse moyenne du
projectile durant cet intervalle de temps. Il est
négatif car le projectile retombe.
d)Les calculs permettent d’estimer que le taux
de variation instantané est d’environ 294 m/s à
t = 10 s. Le projectile tend à s’élever de 294 m
par seconde, dix secondes après le lancement.
e) Les calculs permettent d’estimer que le taux
de variation instantané est d’environ 0 m/s à
t = 40 s. Le projectile semble vouloir s’arrêter,
quarante secondes après le lancement. Il devrait
amorcer sa descente par la suite.
Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 3. a)Ce rapport est la pente de la sécante passant par
les points (–6; f(–6)) et (–3; f(–3)). À partir du
quadrillage, on obtient :
∆y
4−0
4
=
= .
∆ x [ −6;−3] −3 − (−6) 3
3.À partir du graphique ci-dessous :
f(x)
x
a) Que représente par rapport à cette courbe le
rapport :
∆y
f (−3) − f (−6)
=
.
∆ x [ −6;−3]
–3 − (−6)
Évaluer ce rapport. Quelle information ce
rapport donne-t-il sur la courbe?
b) Que représente par rapport à cette courbe le
rapport :
∆y
f (0) − f (−3)
=
.
∆ x [ −3;0 ]
0 − (−3)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Évaluer ce rapport. Quelle information ce
rapport donne-t-il sur la courbe?
Par rapport à cette courbe, estimer et interpréter
la limite :
f (0 + ∆ x) − f (0)
lim
.
∆ x→ 0
∆x
Par rapport à cette courbe, estimer et interpréter
la limite :
f (6 + ∆ x) − f (6)
lim
.
∆ x→ 0
∆x
Déterminer les intervalles de croissance et de
décroissance de la fonction.
Déterminer dans quel intervalle le taux de
variation ponctuel est positif, négatif.
Déterminer en quels points le taux de variation
ponctuel est nul.
Déterminer dans quel intervalle la tangente est
au-dessus de la courbe et dans quel intervalle
elle est sous la courbe.
Déterminer dans quel intervalle le taux de
variation est croissant, décroissant.
Le rapport est positif, ce qui indique que la
fonction est, en moyenne, croissante dans cet
intervalle.
b)Ce rapport est la pente de la sécante passant par
les points (–3; f(–3)) et (0; f(0)).
∆y
0−4
4
=
=− .
∆ x [ −3;0 ] 0 − (−3)
3
Le rapport est négatif, ce qui indique que la
fonction est, en moyenne, décroissante dans cet
intervalle.
c) Cette limite représente le taux de variation ponctuel de la fonction au point (0; 0). En traçant
approximativement la tangente à la courbe, elle
semble passer par les points (–1; 3) et (2; –5).
La pente de cette tangente est environ –8/3.
f(x)
(–1; 3)
(2; –5)
x
d)Cette limite représente le taux de variation
ponctuel de la fonction au point (6; 0).En traçant
approximativement la tangente à la courbe, elle
semble passer par les points (4; –6) et (6; 0). La
pente de cette tangente est environ 0.
f(x)
(6; 0)
x
(4; –6)
e) La fonction est croissante quand la valeur des
images augmente lorsque x s’accroît et elle
est décroissante dans le cas contraire. Elle est
donc croissante dans ]–∞; –3[ ∪ ]3; ∞[ et
décroissante dans ]–3; 3[.
Auto-évaluation 01 - solutions
f(x)
x
Croissante Décroissante Croissante
f) Le taux de variation ponctuel est positif lorsque
la fonction est croissante et négatif lorsqu’elle
est décroissante.
g)Le taux de variation ponctuel est nul lorsque
la tangente à la courbe est horizontale, soit aux
points (–3; 4) et (3; –6).
f(x)
x
h)La tangente est au-dessus de la courbe dans
l’intervalle ]–∞; 0[ et elles sous la courbe dans
l’intervalle ]0; ∞[.
f(x)
0
–
+
x
–
+
i) En considérant les tangentes à la courbe dans
l’intervalle ]–∞; 0[, on constate que la valeur de
la pente est d’abord positive, puis elle diminue
et s’annule à (–3; 4) pour devenir négative par
la suite. Le taux de variation ponctuel est donc
décroissant dans cet intervalle.
Dans l’intervalle ]0; ∞[, la pente de la tangente
est d’abord négative et s’accroît, elle devient
nulle en (3; –6) puis devient positive en augmentant à mesure que x s’accroît. Le taux de
variation ponctuel est donc décroissant dans cet
intervalle.