distribution - Alain Le Rille
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physique année scolaire 2015/2016 Électrostatique Notes de cours mardi 19 janvier 2016 I1. Propriétés du champ électrostatique Sources du champ électrostatique s'y retrouver Charge électrique les charges observées sont toujours des multiples entiers de la charge élémentaire La charge électrique q en coulomb (C) est quantiée. dénition Densité volumique de charge Q La charge totale e (e = 1, 6 × 10−19 C). portée par un volume V est ZZZ ρ(M ).d3 τ Q= M ∈V où ρ en C · m−3 est la densité volumique de charge. Si on dispose d'une assemblée de particules numérotées i , de charge ρ= X qi et de densité volumique ni , ni. .qi i La densité volumique de charge ne dépend pas du référentiel. s'y retrouver Densité surfacique de charge La charge totale Q portée par une surface S est ZZ σ(M ).d2 S Q= M ∈S où σ en C · m−2 . est la densité surfacique de charge s'y retrouver Densité linéique de charge La charge totale Q portée par une courbe C est Z Q= λ(M ).d` M ∈C où λ en C · m−1 est la densité linéique de charge. s'y retrouver Invariances On discerne en particulier les symétries ~j (x, y, z) = ~j (x, y) ; ρ (r, θ, z) = ρ (r, z) ou ~j (r, θ, z) = ~j (r, z) ; • plane : • cylindrique : • circulaire : ρ (r, θ, z) = ρ (r) ; • sphérique : ρ (r, θ, ϕ) = ρ (r) spé PC ρ (x, y, z) = ρ (x, y) ou ou ~j (r, θ, ϕ) = ~j (r). page n ◦ 1 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Plan de symétrie et d'antisymétrie pour les charges s'y retrouver Pour la distribution de charge, (xOy) (xOy) ⇔ ρ (x, y, −z) = ρ (x, y, z) est plan de symétrie est plan d'antisymétrie ⇔ ρ (x, y, −z) = −ρ (x, y, z) Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de charges schéma La gure 1 représente un exemple de plans de symétrie (à gauche) et d'un plan d'antisymétrie (à droite). Figure 1 Exemple de plans de symétrie et d'antisymétrie pour une distribution de charges exercice 1 Symétries d'une distribution cylindrique . Rechercher les symétries (invariances, plans de symétrie et d'antisymétrie) d'une distribution cylin- drique innie d'axe 2. (Oz), de rayon R de charge (le cylindre est uniformément chargé) ; Flux du champ électrostatique dénition Équation de Maxwell Gauss ~ = div E avec la permittivité du vide : ρ ε0 ε0 = 8, 85 × 10−12 F · m−1 . Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique La gure 2 représente le champ spé PC ~ E schéma diverge des charges positives et converge vers les charges négatives. page n ◦ 2 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Figure 2 Interprétation de l'équation de Maxwell Gauss en électrostatique théorème 2 Théorème de Gauss Si Qint = Σ, 3 RRR M ∈V ρ(M ).d τ fermée est la charge électrique intérieure au volume V délimité par la surface ZZ → − → − −−→ Qint φ E = E .d2 Σ = ε0 3 Zones de fort champ électrostatique dans une région vide de charge théorème Les zones de fort champ électrostatique (en norme) sont les zone où les lignes de champ électrostatique sont les plus resserrées. spé PC page n ◦ 3 Janson de Sailly physique 3. année scolaire 2015/2016 Circulation du champ électrostatique et potentiel électrostatique dénition Équation de Maxwell Faraday ~ ∂B −→ ~ rot E = − ∂t théorème 4 Potentiel et champ électrostatiques −−→ → − E = −grad(V ) où V est le potentiel scalaire (que l'on appelle potentiel électrostatique). 5 Ligne de champ électrostatique et surfaces isopotentielles → − E théorème est orthogonal aux surfaces isopotentielles et va vers les potentiels décroissants. Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique La gure 3 représente les lignes de champ de ~ E schéma sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et orientées vers les potentiels décroissants. Figure 3 Interprétation de l'expression de Maxwell-Faraday en statique théorème 6 Equation de Poisson Le potentiel électrostatique vérie l'équation de Poisson : ∆V + spé PC ρ =0 ε0 page n ◦ 4 Janson de Sailly physique 4. année scolaire 2015/2016 Détermination d'un champ électrostatique vidéo Visualisation des champs électrostatiques On peut visualiser les lignes de champ électrostatique grâce à des grains de semoule dans de l'huile de vaseline. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr. s'y retrouver Utilisation des symétries le principe de Curie énonce que les symétries des causes se retrouvent parmi les symétries des conséquences. On déduit du principe de Curie que le champ conséquence a (au moins) les symétries de la distribution cause. Le potentiel scalaire V sera symétrique par rapport aux plans de symétrie rapport aux plans d'antisymétrie Les vrais vecteurs (comme d'antisymétrie Π ∗ ~) E Π∗ Π, et antisymétrique par de sa cause. appartiennent aux plans de symétrie Π, et sont orthogonaux aux plans des causes. 7 Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), uniformément chargé). En déduire les symétries (en statique) de II1. exercice de charge (le cylindre de rayon V et R est ~. E Exemples de champs électrostatiques Charges ponctuelles théorème 8 Loi de Coulomb Les champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle V (M ) = q 4.π.ε0 OM et → − E (M ) = q en O sont −−→ q OM 4.π.ε0 OM 3 Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle La gure 4 représente schéma les champ (en rouge) et potentiel (en bleu) électrostatiques créés par une charge ponctuelle (positive à gauche et négative à droite). Figure 4 Champ et potentiel électrostatiques créés par une charge ponctuelle spé PC page n ◦ 5 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 exercice 9 Interaction entre deux charges ponctuelles q en O. O sur M . On s'intéresse à une charge ponctuelle B B Déterminer la force qu'exerce Une autre charge ponctuelle q0 se trouve en M. Déterminer l'énergie potentielle d'interaction entre les deux charges. s'y retrouver Principe de superposition Comme les équations de Maxwell sont linéaires, pour déterminer le champ ou le potentiel électrostatiques en M créés par plusieurs charges ponctuelles V (M ) = X i qi Pi , positionnées en qi 4.π.ε0 Pi M X → − E (M ) = et i il sut de superposer les sources : −−→ qi Pi M 4.π.ε0 Pi M 3 Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponctuelles schéma La gure 5 représente les lignes de champ (en rouge) créées par deux charges ponctuelles de même signe. Le champ total ~ tot E est la superposition des champs ~1 E et ~2 E créés par chacune des deux charges : ~ tot = E ~1 + E ~2 E Figure 5 Illustration du principe de superposition dans le cas de deux charges ponctuelles 2. Atome 10 Modélisation de l'atome d'hydrogène exercice B Déterminer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène. s'y retrouver Modèle de Thomson de l'atome En 1904, JJ Thomson propose le modèle suivant de l'atome : • la charge positive • les électrons, ponctuels, de charge spé PC Q=Ze de l'atome est répartie de façon uniforme dans une sphère de rayon −e R; se déplacent à l'intérieur de cette sphère. page n ◦ 6 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 11 Champ électrostatique dans le cadre du modèle de l'atome de Thomson exercice On se place dans le cadre du modèle de l'atome de Thomson. B B Déterminer la densité volumique de la charge positive à l'intérieur de l'atome. En déduire le champ créé par la charge positive à l'intérieur de l'atome. exercice 12 Energie de constitution d'un noyau atomique On modélise un noyau atomique par une boule uniformément chargée de charge B B Déterminer la densité volumique de charge ρ Q et de rayon R. du noyau. On cherche à exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près (K sans unité) par analyse dimensionnelle, sous la forme : Enoyau = K Déterminer B γ, α et 1 4.π.ε0 γ Qα Rβ β. Obtenir le préfacteur numérique K en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l'inni. B 3. Justier la nécessité de l'interaction forte. Analogie avec la gravitation Analogie entre champ gravitationnel et champ électrostatique s'y retrouver On peut faire l'analogie suivante : 0 q.q 0 F~e = − 4.π.ε ur ↔ F~g = G. m.m ur 2~ r2 ~ 0 .r q↔m ~ ↔A ~ E −1 4.π.ε0 ↔ G L'analogue de → − div E = ρ ε0 est : RR → → − −− E .d2 Σ = L'analogue de → − div A = −4.π.G.µ Qint ε0 est : ZZ → − −−→ A .d2 Σ = −4.π.G.Mint qui serait une sorte de "théorème de Gauss pour la gravitation". 13 Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel exercice B 4. Montrer qu'en dehors d'un astre à symétrie sphérique, tout se passe comme si l'astre était ponctuel. Condensateur plan exercice 14 Plan inni uniformément chargé en surface On s'intéresse au plan B spé PC yOz chargé uniformément en surface, de charge surfacique σ. Déterminer le champ électrostatique régnant dans l'espace. page n ◦ 7 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 schéma Condensateur plan La gure 6 représente un condensateur plan constitué de deux plans parallèles (les armatures) portant des densités supercielles de charges opposées et uniformes. Figure 6 Condensateur plan 15 Champ électrique régnant dans un condensateur plan et capacité exercice ~ = B En partant du champ électrostatique créé par un plan inni uniformément chargé en surface E (où ~ n est un vecteur unitaire qui s'écarte du plan), déduire le champ régnant entre les armatures σ n 2 0 ~ d'un condensateur plan. B En déduire la capacité C du condensateur plan. 16 Capacité du condensateur plan et densité volumique d'énergie électrostatique exercice 0 S σ d et du champ électrostatique E = 0 qui règne entre les armatures, déterminer la densité volumique d'énergie électrostatique dans l'espace entre B En partant de la capacité du condensateur plan les armatures en fonction de C = E. à retenir Champ disruptif dans l'air L'air est un isolant mais sous de fortes tensions, les électrons qui composent les atomes des molécules de l'air sont littéralement arrachés à leur orbite de valence pour participer à la conduction électrique. c'est le cas quand la foudre traverse l'atmosphère. La valeur du champ disruptif de l'air est : 3, 6 × 106 V · m−1 spé PC page n ◦ 8 Janson de Sailly physique III1. année scolaire 2015/2016 Dipôle électrostatique Dénitions dénition Dipôle électrostatique : D, de charge totale nulle où l'on a fait apparaître la distribution barycentre est en P et la distribution des charges négatives dont le Un dipôle est une distribution de charges des charges positives dont le barycentre est en N, N et P étant distincts. On modélisera le dipôle par un doublet constitué de deux charges opposées : +q en P, et −q en N. Le moment dipolaire électrostatique en Coulomb mètre (C · m) est −−→ → − p = +q.N P = ZZZ −−→ ρ (M ) .OM .d3 τ M ∈D où O est un point quelconque. remarque en chimie, l'unité est le debye (1 D= 1 3 −29 × 10 C · m). schéma Un exemple de dipôle : la molécule d'eau La gure 7 représente une molécule d'eau (à gauche) et le moment dipolaire associé. A droite, la solvatation d'un cation N a+ par les molécules d'eau. Figure 7 Un exemple de dipôle : la molécule d'eau Polarisabilité en absence de champ électrique extérieur, Un champ électrique extérieur → − E ext → − − p =→ p 0, s'y retrouver on parle de dipôle statique (qui peut être nul). induit un moment dipolaire électrique → − → − p induit = α. E ext où α est la polarisabilité. Dans le cas général, spé PC → − → − − p ≈→ p 0 + α. E ext page n ◦ 9 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 17 Expression de la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thomson exercice On se place dans le cas du modèle de l'atome de Thomson. Le champ créé par la charge positive est alors : B → − E (M ) = Qr ~ur 4π.ε0 R3 Où se trouve la position d'équilibre d'un électron dans ce champ ? En déduire le moment dipolaire p~0 de l'atome. B Reprendre les questions précédentes dans le cas où l'atome est plongé dans un champ extérieur En déduire la polarisabilité ~ 0. E α de l'atome. Montrer que celle-ci et le volume de l'atome ont le même ordre de grandeur. 2. Dipôle électrostatique actif Approximation dipolaire : on considère un dipôle électrostatique de moment repère sphérique (d'axe (Oz), suivant −−→ → − p = +q.N P , dénition présent autour de O, origine d'un p~). L'approximation dipolaire, c'est d'observer le champ créé par ce dipôle, en un point M , loin du dipôle, c'est à dire : OM = r N P 18 Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire théorème Dans le cadre de l'approximation dipolaire, le potentiel scalaire V (M ) = V (M ) créé en M par le dipôle est p~.~ur p. cos θ = 2 4.π.ε0 .r 4.π.ε0 .r2 Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique. schéma La gure 8 représente les surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique. Figure 8 Surfaces équipotentielles créées par un doublet électrostatique. spé PC page n ◦ 10 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire retenir Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique → − E (M ) créé en M à par le dipôle sont 2.p. cos θ Er = 4.π.ε0 .r3 → − p. sin θ E = E = 4.π.ε 3 0 .r θ Eϕ = 0 Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique. schéma La gure 9 représente quelques lignes de champ électrostatique (en continu) et traces (en pointillé) des surfaces isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique vues dans un plan ϕ = cste. Figure 9 Lignes de champ et isopotentielles créées dans l'approximation dipolaire par un dipôle électrostatique. spé PC page n ◦ 11 Janson de Sailly physique 3. année scolaire 2015/2016 Dipôle électrostatique passif 19 Energie potentielle ressentie par un dipôle électrostatique : L'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle de moment dipolaire rieur → − E ext → − p théorème avec un champ électrique exté- est ~ ext Ep = −~ p.E 20 Moment ressenti par un dipôle électrostatique : théorème → − Le moment de l'action exercée par un champ électrique extérieur E ext sur un dipôle de moment dipolaire → − p est ~ O = p~ ∧ E ~ ext M Eet d'un champ électrostatique sur un dipôle électrostatique : s'y retrouver ~ ext sur un dipôle de moment dipolaire la résultante de l'action exercée par un champ électrique extérieur E → − p est −−→ ~ F~ = grad(~ p.Eext ) La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intense. Dans le cas d'un champ électrique homogène, le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique. Solvatation des ions dans un solvant polaire schéma La gure 10 représente un ion qui crée un champ électrostatique dans lequel les molécules de solvant polaire viennent s'aligner, et les attire. La présence des molécules de solvant tend à écranter (masquer) la charge de l'ion. Ce phénomène s'appelle la solvatation des ions. Figure 10 Solvatation des ions dans un solvant polaire spé PC page n ◦ 12 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 s'y retrouver Forces de Van der Waals Les forces de Van der Waals entre deux molécules polaires varient comme r −7 , où r est la distance qui les sépare. Elles sont de diérents types : • les forces de Keesom entre dipôles permanents ; • les forces de Debye entre dipôle permanent et dipôle induit ; • les forces de London entre dipôles induits. Eet d'un champ électrostatique sur un let d'eau vidéo On peut mettre en évidence l'attraction exercée par un champ électrostatique sur des dipôles par exemple en déviant un let d'eau ou en attirant des morceaux de papier. Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site spé PC page n ◦ 13 alain.lerille.free.fr. Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Technique à maîtriser jeudi 21 janvier 2016 I1. Les capacités exigibles Propriétés du champ électrostatique capacités ce qu'il faut savoir faire Associer la circulation de ~ E au travail de la force ~. qE Utiliser le théorème de Stokes. Associer les propriétés locales −−→ −gradV . Associer la relation −→ ~ = −− E gradV −→ ~ rotE = ~0 dans tout l'espace et ~ = E au fait que les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équi- potentielles et orientées dans le sens des potentiels décroissants. Justier qu'une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d'un champ électrostatique ; repérer d'éventuelles sources du champ et leur signe. Associer l'évolution de la norme de ~ E à l'évasement des tubes de champ loin des sources. Déduire les lignes équipotentielles d'une carte de champ électrostatique, et réciproquement. Évaluer le champ électrique à partir d'un réseau de lignes équipotentielles. 2. Calculs de champs électrostatiques capacités ce qu'il faut savoir faire Exploiter les propriétés de symétrie des sources (translation, rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des propriétés du champ créé. Choisir une surface adaptée et utiliser le théorème de Gauss. Établir l'expression du champ créé par un plan inni uniformément chargé en surface et par un condensateur plan. Déterminer la capacité du condensateur plan. Citer l'ordre de grandeur du champ créé par le noyau sur l'électron dans un atome d'hydrogène. Citer l'ordre de grandeur du champ disruptif dans l'air. Associer l'énergie d'un condensateur apparue en électrocinétique à une densité volumique d'énergie. Exprimer l'énergie de constitution du noyau à un préfacteur numérique près par analyse dimensionnelle. Obtenir le préfacteur numérique en construisant le noyau par adjonction progressive de charges apportées de l'inni. Relier les ordres de grandeur mis en jeu : rayons et énergies. Justier la nécessité de l'interaction forte. Mettre en évidence les analogies formelles entre les forces électrostatique et gravitationnelle pour en déduire l'analogie des propriétés des champs. spé PC page n ◦ 14 Janson de Sailly physique 3. année scolaire 2015/2016 Dipôles électrostatiques capacités ce qu'il faut savoir faire Décrire les conditions de l'approximation dipolaire. Établir l'expression du potentiel V . Comparer la décroissance avec la distance du champ et du potentiel dans le cas d'une charge ponctuelle et dans le cas d'un dipôle. Tracer l'allure des lignes de champ. Utiliser les expressions fournies pour le dipôle de l'énergie potentielle moment Ep , de la résultante F~ et du ~. M Prévoir qualitativement l'évolution d'un dipôle dans un champ d'origine extérieure ~. E Expliquer qualitativement la solvatation des ions dans un solvant polaire. Expliquer qualitativement pourquoi l'énergie d'interaction entre deux molécules polaires n'est pas en 1/r3 . Exprimer la polarisabilité d'un atome en utilisant le modèle de Thomson. Associer la polarisabilité et le volume de l'atome en ordre de grandeur. II1. Méthodes Propriétés du champ électrostatique A) Quelles sont les propriétés des lignes de champ électrostatique ? méthode Les lignes de champ électrostatique sont ouvertes. Elles sont orthogonales aux surfaces isopotentielles et vont des charges positives vers les charges négatives (et vers les potentiels décroissants). B) Quelles sont les propriétés de symétrie du champ électrostatique ? Les plans de symétrie pour ρ sont des plans de symétrie pour Les plans d'antisymétrie pour Le champ 2. ~ E ρ méthode ~. E sont des plans d'antisymétrie pour ~ . EE est orthogonal aux plans d'antisymétrie et appartient aux plans de symétrie de ρj . Calculs de champs électrostatiques C) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distribution discrète de charges ? méthode Il faut superposer le champ de Coulomb de chacune des charges X → − E (M ) = i −−→ q i Pi M 4.π.ε0 Pi M 3 D) Comment calculer un champ électrostatique créé par une distribution continue de charges ? méthode Il faut utiliser les symétries (s'il y en a assez) puis le théorème de Gauss en choisissant une surface fermée qui vérie les symétries. spé PC page n ◦ 15 Janson de Sailly physique 3. année scolaire 2015/2016 Dipôles électrostatiques méthode E) Utiliser les dipôles électrostatiques Le moment dipolaire électrique est −−→ p~ = q.N P où N est le barycentre des charges négatives et P celui des charges positives. Un tel dipôle ressent le moment ~ O = p~ ∧ E ~ ext M et a l'énergie potentielle ~ ext . Ep = −~ p.E La résultante tend à déplacer le dipôle électrostatique vers les régions de champ électrostatique intense et le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique. III1. Exercices Propriétés du champ électrostatique 1.1) Propriétés des lignes de champ électrostatique Les lignes de champ électrostatique sont-elles ouvertes ou fermées ? Les lignes de champ électrostatique sont ouvertes. 1.2) Plan de symétrie d'une distribution de charge Le plan M0 1) Π est un plan de symétrie d'une distribution de charge. Le point M par rapport à Π. est le symétrique du point Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au point M 0. Les plans de symétrie pour ρ sont des plans de symétrie pour ~. E 1.3) Plan d'antisymétrie d'une distribution de charge Π est un plan d'antisymétrie d'une distribution de M 0 est le symétrique du point M par rapport à Π. Le plan point 1) charge. Le Compléter le schéma en dessinant le champ électrostatique au point M 0. Les plans d'antisymétrie pour ρ sont des plans d'antisymétrie pour ~. E 1.4) Symétries d'un cerceau chargé linéiquement spé PC page n ◦ 16 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 On considère un cercle d'axe Oz chargé linéiquement donne le champ électrostatique en 1) Les plans de symétrie pour λ et en λ. On P. Représenter le champ électrostatique • en M0 • en P0 • en Q • M et en symétrique de symétrique de symétrique de 0 Q M P P symétrique de par rapport au plan du cercle, par rapport à l'axe, par rapport au plan du cercle, Q par rapport à l'axe. (comme le plan qui contient le cercle ou les plans qui contiennent l'axe du cercle) sont des plans de symétrie pour ~. E 1.5) Sont-ce des lignes de champ électrostatique ? On considère les lignes de champ des diérentes congurations On supposera à gauche. la gure invariante par translation perpendiculaire au plan du dessin. 1) Préciser dans chaque cas s'il peut s'agir d'un champ électrostatique, et si oui, si des charges sont présentes dans la région représentée. Les lignes de champ correspondent à celles d'un champ électrostatique si la circulation du champ le long de toute courbe fermée est nulle. Donc si on peut mettre en évidence un contour le long duquel la circulation n'est pas nulle, le champ ne pourra pas être un champ électrostatique. C'est le cas des situations (b) et (e). 1.6) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de deux charges ponctuelles spé PC page n ◦ 17 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 On considère une distribution de deux charges ponctuelles (repérées par des points rouges). Sur les gures ci-contre sont représentées les lignes de champ et les équipotentielles correspondant à cette distribution. 1) Repérer, en le justi- ant la carte des lignes de champ et celle des équipotentielles. 2) Les sources de champ ont-elles des signes opposés ou égaux ? Les charges sont de même signe. 1.7) Lignes de champ électrostatique et lignes isopotentielles de cinq charges ponctuelles On considère une distribution de cinq charges ponctuelles (repérées par des points). Sur les gures a,b et c ci-contre sont représentées des lignes de champ et sur les gure z,y et x des équipotentielles. 1) Associer, en le jus- tiant, chaque représentation de lignes de champ à une représentation d'équipotentielles. 2) Repérer sur chaque dis- tribution les signes opposés ou égaux des charges. c et z, b et x, a et y. 2. Calculs de champs électrostatiques 2.8) Symétries d'une sphère chargée surfaciquement Soit une sphère de centre 1) O, portant une répartition surfacique de charges 1.a) 1.b) 1.c) invariances ; plans de symétrie ; plans d'antisymétrie. ρ(r) uniquement (symétrie sphérique) ; (M, ~ur , ~uθ ) et plans (M, ~ur , ~uϕ ) ∀M . spé PC σ. Déterminer les symétries de cette répartition de charges : tous les plans contenant page n ◦ 18 O sont plans de symétrie : plans Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 2.9) Détermination d'un champ électrostatique en symétrie cylindrique On s'intéresse à une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), de charge (le cylindre de rayon R est uni- O dont la formément chargé). 1) En déduire les symétries (en statique) de V (r) V et ~. E ~ = Er (r).~ur . E et 2.10) Quatre charges ponctuelles Soit quatre charges ponctuelles disposées au sommet d'un carré d'axes longueur de la diagonale est 1) 2a Calculer le potentiel en 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) 1) O ainsi que le champ Ox et Oy , de centre . ~ E dans les cas où les charges sont les suivantes : q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = +e. q − √a2 , + √a2 = −e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e. q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = −e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e. q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e. On trouve grâce au théorème de superposition : 1.a) 1.b) 1.c) 1.d) ~ 0) = ~0. E(0, ~ 0) = ~0. V (0, 0) = 0 et E(0, ~ V (0, 0) = 0 et E(0, 0) = √ e V (0, 0) = e π.ε0 .a et V (0, 0) = e 2.π.ε0 .a et ~u . 2.π.ε0 .a2 x √ e 2. 2.π.ε0 .a2 ~ 0) = E(0, (~ux − ~uy ). 2.11) Utilisation des potentiels retardés en électrostatique On donne le potentiel scalaire V (M ) créé en M 1 . V (M, t) = 4.π.ε0 par ZZZ D, une distribution de charges ρ d'extension nie, ρ(P, t − P cM ) 3 d τ PM P ∈D (la formule des potentiels retardés) 1) 2) Que devient cette formule dans le cas électrostatique ? En déduire l'expression du champ électrostatique. → − E (M ) = 1 4.π.ε0 . −−→ RRR P ∈D ρ(P ).P M P M3 d3 τ . 2.12) Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé On considère une distribution linéique de charge, de densité de rayon 1) 2) 3) λ, uniforme sur le cercle de centre O, d'axe Oz , R. Déterminer les symétries de cette répartition de charge : 1.a) 1.b) 1.c) plans de symétrie ; plans d'antisymétrie. En déduire les symétries de 2.a) 2.b) spé PC invariances ; ~ E : (Oz) ; l'axe (Oz), en z = 0. sur l'axe sur Calculer le champ électrostatique créé en un point M ◦ 19 page n de l'axe Oz , de coordonnée z. Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 ~ = E λ.R z 2.ε0 (z 2 +R2 ) 32 ~uz . 2.13) Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé On considère une distribution linéique de charge innie de densité 1) 2) 3) λ sur l'axe Oz . Etudier les symétries : 1.a) 1.b) 1.c) invariances de cette répartition de charge ; plans de symétrie et d'antisymétrie de cette répartition de charge ; en déduire les symétries de ~. E Calculer le champ électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz . Potentiel électrostatique : 3.a) 3.b) En déduire le potentiel électrostatique créé en un point Peut-on prendre V (r) = −λ 2.π.ε0 ln r r0 V =0 M à la distance r de l'axe Oz . à l'inni ? . 2.14) Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée On considère une distribution surfacique de charge uniforme centre 1) 2) O, de rayon σ sur une demi-sphère (dans l'espace z > 0) de R. Déterminer les symétries de cette répartition de charge : 1.a) 1.b) 1.c) invariances ; plans de symétrie ; plans d'antisymétrie. Champ électrostatique : 2.a) 2.b) En déduire les symétries de ~ E en O. Calculer le champ électrostatique créé en O. ~ = − σ ~uz . E 4.ε0 2.15) Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle Une charge ponctuelle de centre 1) 2) q en O crée un potentiel scalaire V (M ) = O. q 4.π.ε0 .r exprimé dans le repère sphérique Ce potentiel vérie-t-il bien l'équation de Poisson ? En déduire le champ électrique 1) 2) Dans le vide (sauf en ~ E(M )= O), ~ E(M ) créé en M. la densité volumique de charge étant nulle, on a bien ∆V = − ερ0 = 0. q ur . 4.π.ε0 .r 2 ~ 2.16) Deux condensateurs en série Un générateur parfait impose une diérence de potentiel série, de capacités respectives 1) 2) C1 = 10µF et U = 12V aux bornes de deux condensateurs en C2 = 80µF . Calculer les tensions respectives aux bornes des deux condensateurs : 1.a) 1.b) u1 ; et u2 . Calculer les énergies stockées respectivement dans les deux condensateurs : 2.a) 2.b) 1) 2) spé PC E1 ; et E2 . u1 = 11V et u2 = 1, 3V . E1 = 0, 57mJ et E2 = 71µJ . page n ◦ 20 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 2.17) Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique On assimile le noyau d'un atome à une sphère uniformément chargée, de centre 1) 2) O, de rayon R, de charge Q. Généralités : 1.a) 1.b) Établir l'expression du champ électrostatique En déduire le potentiel V ~ E produit par le noyau en un point quelconque en un point quelconque, en choisissant V =0 M. à l'inni. Application : Z = 56 et R = 6, 3f m. On donne la charge électronique e = 1, 6.10−19 C ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 . Que vaut le champ au voisinage du noyau : r = 2R ? −10 à la périphérie de l'atome : r = 1, 0.10 m? On considère un noyau de baryum : et la permittivité du vide 2.a) 2.b) ~ E = 5, 1.1020 V.m−1 Au voisinage du noyau : 8, 1.1012 V.m−1 et V = 6, 4.106 V et ; et à la périphérie de l'atome : ~ E = V = 0, 81kV . 2.18) Détermination de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel 1) Faire une analogie formelle entre le champ électrique créé par une charge ponctuelle et l'attraction créée par une masse ponctuelle. 2) 3) Grâce à cette analogie, énoncer la loi locale que vérie le champ d'attraction gravitationnel Enoncer un théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel ~. A ~ . A RR → − −−→ A .d2 Σ = −4.π.G.Mint . 2.19) Utilisation de l'analogie entre le champ électrostatique et le champ gravitationnel On considère un astre (la Terre par exemple), qu'on assimile à une sphère de rayon masse volumique est à symétrie sphérique : 1) 2) 3) Grâce aux symétries de µ, µ ne dépend que de R et de centre O. Sa r. déduire la forme qualitative du champ gravitationnel Appliquer le théorème de Gauss pour connaître quantitativement ~ A créé par l'astre. ~. A Montrer que, hors de l'astre, tout se passe comme si l'astre était ponctuel . RR → − −−→ A .d2 Σ = −4.π.G.Mint . 3. Dipôles électrostatiques 3.20) Invariance de la dénition du moment dipolaire RRR −→ 1) Montrer que la dénition du moment dipolaire M ∈D ρ (M ) .− OM .d3 τ ne dépend pas du choix du point O. RRR M ∈D RRR −−−→ −−→ ρ (M ) .O0 M .d3 τ = M ∈D ρ (M ) .OM .d3 τ . 3.21) Equation des surfaces équipotentielles créées par un dipôle électrostatique dans l'approximation dipolaire On rappelle que le potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire est V (M ) = 1) spé PC p. cos θ p~.~ur = 4.π.ε0 .r2 4.π.ε0 .r2 Montrer que l'équation des surfaces équipotentielles est : page n ◦ 21 r2 = k. cos θ. Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 V (M ) = cste. Il faut chercher 3.22) Equation des lignes de champ créées par un dipôle électrostatique dans l'approximation dipolaire Dans le cadre de l'approximation dipolaire, les composantes du champ électrique → − E (M ) créé en M par le dipôle sont 2.p. cos θ Er = 4.π.ε0 .r3 3 (~ p.~ur ) .~ur − p~ → − p. sin θ ⇔ E = E = 4.π.ε 3 0 .r θ 4.π.ε0 .r3 Eϕ = 0 1) Montrer que l'équation des lignes de champ est : r = k 0 . sin2 θ. − ~ = k.→ E d` . Il faut chercher 3.23) Dipôle de la molécule d'eau Dans la molécule d'eau O−H vaut chaque H 1) H2 O, θ = 104, 30◦ . porte une charge Exprimer le moment 1.a) 1.b) 1) la distance O−H est a = 97pm et l'angle que font entre elles les deux liaisons D'autre part, l'oxygène étant plus électronégatif que l'hydrogène, on suppose que e = 1, 6.10−19 C est la charge dipolaire p0 de la molécule d'eau + 3e , où électronique fondamentale. dans les unités du système international ; en debye. p0 = 0, 63.10−29 C.m = 1, 9D. 3.24) Orientation d'un dipôle dans un champ électrostatique extérieur 1) Montrer en traçant Ep (θ), où θ = E~ ext , p~ que le moment tend à aligner parallèlement le dipôle électrostatique au champ électrostatique. 2) Montrer que la position d'équilibre stable correspond à Minimum de l'énergie potentielle pour p~ dans le même sens que ~ ext . E θ = 0. 3.25) Interaction dipôle-dipôle p~1 et p~2 . Le premier est xe en O, (O, ~uz ), parallèle à son moment dipolaire : p~1 = p1 .~uz . r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle On étudie deux dipôles électrostatiques de moments dipolaires respectifs centre d'un repère sphérique d'axe polaire Le second dipole est placé en α = (~uz , p~2 ), 1) qui peut varier. Exprimer l'énergie potentielle Ep (α) d'intéraction du second dipole avec le champ électrostatique créé par le premier dipole. 2) 3) Que doit vérier tan(θ − α) α si à l'équilibre stable ? Application : que vaut 3.a) 3.b) 3.c) 3.d) θ = 0; θ = π4 ; θ = π2 ; θ = π. tan(θ − α) = 1 2 tan(θ) à l'équilibre stable. 3.26) Dipôle de l'atome d'hydrogène +e = 1, 6.10−19 C ) ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 . On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé électron (chargé spé PC −e, placé à la distance a = 0, 10nm du noyau). On donne page n ◦ 22 et d'un Janson de Sailly physique 1) année scolaire 2015/2016 Calculer 1.a) 1.b) 1.c) Wpropre , l'énergie électrostatique propre de ce doublet : dans les unités du système international ; en eV . Cela vous rappelle-t-il quelque chose ? On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air : 3.106 V.cm−1 . 2) 3) Calculer 2.a) 2.b) Eext = On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante. Wext , l'énergie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur : dans les unités du système international ; en eV . Wext Comparer et Wpropre . Wpropre = 2, 3.10−18 J = 14eV et Wext = 4, 8.10−18 J = 30meV . 3.27) Potentiel électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire 1) Démontrer que le potentiel électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est : V (M ) = 1.a) 1.b) p~.~ur p. cos θ = 4.π.ε0 .r2 4.π.ε0 .r2 pour un doublet ; pour un dipôle quelconque. Pour un doublet : le potentiel est la superposition des deux potentiels de Coulomb. Pour un dipôle quelconque : V (M ) = 1 . 4.π.ε0 ZZZ Ω∈D ρ(Ω) 3 d τ ΩM 3.28) Champ électrostatique créé par un dipôle dans l'approximation dipolaire 1) Démontrer que le champ électrostatique dans le cadre de l'approximation dipolaire est : 3 (~ p.~ur ) .~ur − p~ → − E = 4.π.ε0 .r3 On placera le dipôle en 2) O, origine d'un repère sphérique (d'axe (Oz), suivant p~). En déduire que 2.p. cos θ Er = 4.π.ε0 .r3 p. sin θ E = 4.π.ε 3 0 .r θ Eϕ = 0 Il faut partir de la formule du potentiel et appliquer −−→ → − E (M ) = gradM . Résolution de problème vendredi 22 janvier 2016 Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés. Le champ de claquage de l'air spé PC page n ◦ 23 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Dénition de "disruptif" disponible à l'adresse http: // fr. wiktionary. org/ wiki/ disruptif Quand ça fait des étincelles L'air est un isolant mais sous de fortes tensions, les électrons qui composent les atomes des molécules de l'air sont littéralement arrachés à leur orbite de valence pour participer à la conduction électrique : la foudre traverse alors l'atmosphère. Enoncé 1) A l'aide de ces données, saurez-vous estimer l'ordre de grandeur du champ disruptif de l'air ? Travaux pratiques vendredi 22 janvier 2016 La moitié de la classe fait un TP d'électricité sur le michelson. spé PC page n ◦ 24 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 Approche documentaire vendredi 22 janvier 2016 Le document est à lire, l'exercice est à rendre. pas d'exposé mais devoir à la maison. feront un exposé. L'atome de Rutherford E. Rutherford, traduit par V. Emsellem E. Rutherford, Phil. Mag., S.6, 21 (1911), p. 669, cité par P. Radvanyi dans "Histoire de l'atome - de l'intuition à la réalité", Belin - Paris 2007. L'étude de la diusion des particules α sur des feuilles d'or permet à Rutherford de déterminer la structure de l'atome en 1911. Il est bien connu que les particules α subissent des déexions de leur trajectoire rectiligne par les rencontres avec les atomes de matière. Il ne semble y avoir aucun doute sur le fait que des particules si rapides traversent les atomes sur leur chemin, et que les déexions observées sont dues à la traversée du champ électrique intense qui règne dans le système atomique.[...] Puisque les particules α traversent l'atome, il devrait être possible, à partir d'une étude détaillée de la nature de la déexion, de se faire une idée de la constitution de l'atome qui produirait les eets observés. En fait, la diusion de particules chargées rapides par les atomes de matière est l'une des méthodes les plus prometteuses pour attaquer ce problème.[...] Considérons un atome contenant une charge ±N e en son centre, ∓N e suppoR. e est l'unité entourée d'une sphère électrisée contenant une charge sée répartie uniformément dans une sphère de rayon fondamentale de charge, que nous prendrons dans cet article égale à 4, 65 × 10−10 unité e.s. Nous supposerons que pour des distances infé−12 rieures à 10 cm, la charge centrale ainsi que la charge portée par la particule α peuvent être considérées comme concentrées en un point. Nous montrerons que les déductions principales dé la théorie sont indépendantes du fait que la charge centrale soit supposée positive ou négative. Par commodité le signe sera supposé positif. La question de la stabilité de l'atome n'a pas besoin d'être considérée à ce stade, car elle va dépendre de façon évidente de. la structure de l'atome à petite échelle, et du mouvement de ses constituants chargés. An de se faire une idée des forces nécessaires pour dééchir une particule α d'un grand angle, considérons un atome contenant une N e en son centre, entourée d'une distribution d'élecN e distribuée uniformément dans une sphère de rayon R. La force électrique X distance r du centre d'un atome, pour un point intérieur à l'atome, sont donnés par ( 1 r X=N e r 2 − R3 charge positive tricité négative V à une V = Ne Supposons qu'une particule α − 3 2R + r2 2R3 u et de charge q soit envoyée b du centre donnée par 1 1 3 b2 mu2 = N eq − + 2 b 2R 2R3 de masse m, 1 r de vitesse et le potentiel directement vers le centre de l'atome. Elle se retrouvera au repos à une distance 100e, on peut calculer que la valeur de b pour une particule α de vitesse 3, 4×10−12 cm. Dans ce calcul, b est supposé très petit devant R. Puisque R est −8 rayon de l'atome, c'est-à-dire 10 cm, il est évident que la particule α, avant d'être Supposant que la charge centrale vaut 2, 09×109 cm · s−1 est d'environ supposé être de l'ordre du spé PC page n ◦ 25 Janson de Sailly physique année scolaire 2015/2016 déviée vers l'arrière, pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électricité négative peut être négligé. En général, un calcul simple montre que pour toutes les déexions supérieures à un degré, nous pouvons supposer sans erreur notable que la déexion est due au champ de la charge centrale seule. De possibles déviations uniques dues à l'électricité négative, si elle est distribuée sous la forme de corpuscules, ne sont pas prises en compte à ce stade de la théorie. Nous montrerons plus tard que cet eet est en général faible devant celui dû au champ central. Considérons le passage d'une particule électrisée près du centre d'un atome. En admettant que la vitesse de la particule n'est pas modiée sensiblement par son passage à travers l'atome, la trajectoire de la particule sous l'eet d'une force répulsive variant en raison inverse du carré de la distance sera une hyperbole dont le centre S de l'atome sera le foyer externe. [...] Enoncé 1) Répartition des charges On considère, comme dans le modèle de Rutherford que l'atome est constitué d'un noyau au centre d'un repère sphérique, contenant −N qe 2) N charges élémentaires qe . Ce noyau est entouré d'une charge négative équivalente R = 0, 5 × 10−10 m. charge ρ. uniformément répartie dans une sphère de rayon 1.a) 1.b) 1.c) Quelles sont les invariances de cette distribution ? Admet-elle des plans de symétrie ou d'anti-symétrie ? Champ électrostatique 2.a) 2.b) spé PC Déterminer la densité volumique de Déduire des symétries de la distribution de charge la forme du champ électrostatique Que vaut ce champ si r > R? Et si ~. E r < R? page n ◦ 26 Janson de Sailly physique 3) année scolaire 2015/2016 2.c) Que faudrait-il poser pour retrouver la formule de X donnée dans l'article de Rutherford ? Potentiel électrostatique 3.a) Rappeler la relation qui lie le potentiel V au champ ~. E Pourquoi peut-on xer V =0 à l'inni (ce que l'on fera par la suite) ? 4) 3.b) 3.c) Déterminer le potentiel si r>R et si r < R. Est-ce cohérent avec la formule donnée dans l'article de Rutherford ? Etude mécanique On s'intéresse à une particule avec une vitesse de norme u α de charge q = 2qe m = 6, 64 × 10−27 kg qui partant de l'inni numéro atomique N ≈ 100 électrons. On suppose, et de masse se dirige vers un atome d'or de comme Rutherford que la particule "pénètre si près de la charge centrale que le champ dû à la distribution uniforme d'électricité négative peut être négligé". 4.a) Justier le fait que la trajectoire est plane et que c'est une hyperbole, comme sur la gure de l'article. 4.b) distance b En utilisant un raisonnement énergétique, montrer que, si la particule α fait demi-tour à une du noyau, alors 1 mu2 = N eq 2 4.c) Vérier que " la valeur de b 1 3 b2 − + b 2R 2R3 pour une particule α de vitesse 2, 09 × 109 cm · s−1 est d'environ 3, 4 × 10−12 cm". 5) Conclusion On a considéré que le noyau était ponctuel. 5.a) 5.b) spé PC Au vu du texte donner une taille maximale du rayon du noyau. En quoi la nature de la matière est-elle lacunaire ? page n ◦ 27 Janson de Sailly
