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INH - ENIHP1 2006-2007
Mathématiques
Calcul d’aire et Calcul intégral : fonctions continues
1
Intégrale et calcul d’aire
1.1
Unité d’aire
Définition 1 Soit un repère orthogonal (O, I, J). On appelle unité d’aire, UA, l’aire du rectangle
dont O, I et J forment 3 sommets.
1.2
Calcul d’aire et intégrale
1.2.1
Fonction positive
Définition 2 Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a, b] (a < b) . Soit Cf sa courbe
Rb
représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f , notée a f (x)dx, est
définie par l’aire exprimée en unité d’aire du domaine D délimité par :
– les droites d’équation x = a et x = b,
– l’axe des abscisses et,
– la courbe Cf
Rb
On note : a f (x)dx = aire ( D )
Exemple 1 Calculer l’intégrale de -1 à 1 de la fonction f (x) =
√
1 − x2 :
1
−1
1.2.2
0
0
1
Fonction négative et de signe quelconque
Définition 3 Soit f une fonction continue négative sur un intervalle [a, b], (a < b) . Soit Cf
sa
R b courbe représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f , notée
a f (x)dx, est définie par l’opposé de l’aire exprimée en unité d’aire du domaine D délimité par :
– les droites d’équation x = a et x = b,
– l’axe des abscisses et,
– la courbe Cf
Rb
On note : a f (x)dx = - aire (D) (aire algébrique)
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Exemple 2 Calculer l’intégrale de 0 à 3 de la fonction f (x) = x − 4 :
1
−1
0
0
1
2
3
−1
−2
−3
−4
−5
Définition 4 Soit f une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle [a, b] (a < b) .
Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal. L’intégrale de a à b de la fonction f ,
Rb
notée a f (x)dx, est définie comme la somme des aires algébriques des domaines définis à partir des
intervalles sur lesquels f (x) garde un signe constant.
Rb
On note : a f (x)dx = aire(D1 )-aire(D2 )+aire(D3 )
Remarque 1 La notion d’intégrale se généralise à des fonctions continues par morceaux comme
l’aire algébrique.
Exemple 3 Calculer l’intégrale de 0 à 5 de la fonction en escalier f définie par :
– f (x) = 2 si 0 ≤ x < 2,
– f (x) = −1 si 2 ≤ x < 4,
– f (x) = 1 si 4 ≤ x ≤ 5
5
4
3
2
1
−1
0
0
1
2
3
4
5
−1
1.3
Valeur moyenne
Définition 5 Soit une fonction f continue sur un intervalle [a; b]. On appelle valeur moyenne de
Rb
f (x)dx
la fonction f sur [a; b] le réel µ = a
.
b−a
Remarque 2 Cette définition s’étend à une fonction continue de signe quelconque.
1
Exemple 4 Calculer la valeur moyenne de f (x) = x + 1 sur [0; 5].
2
5
4
3
2
1
−1
0
0
1
2
3
4
5
−1
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2
2.1
Propriétés d’une intégrale
Propriétés élémentaires
Proposition 1 Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux points de I.
Ra
1. a f (x)dx = 0
Ra
Rb
2. b f (x)dx = − a f (x)dx
Rb
Rc
Rb
3. Relation de Chasles : a f (x)dx = a f (x)dx + c f (x)dx avec c un point de I.
Rb
Rb
Rb
4. Linéarité : a (f + g)(x)dx = a f (x)dx + a g(x)dx
Rb
Rb
et a λf (x)dx = λ × a f (x)dx, λ ∈ R
2.2
Signe d’un intégrale
Proposition 2 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
Rb
– Si f (x) ≥ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ 0 (positivité de l’intégrale)
Rb
– Si f (x) ≤ 0 sur [a, b] alors a f (x)dx ≤ 0
Démonstration
2.3
Ordre et intégrale
Proposition 3 Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].
Rb
Rb
Si f (x) ≥ g(x) sur [a, b] alors a f (x)dx ≥ a g(x)dx
Proposition 4 Inégalité de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
Rb
Si m ≤ f (x) ≤ M sur [a, b] alors m(b − a) ≤ a f (x)dx ≤ M (b − a)
Démonstration
Rπ
π
dx
π
≤
Exemple 5 Justifier sans calculer l’intégrale que √ ≤ 02 √
2
1 + cos x
2 2
3
3.1
Notion de primitive
Définition
Définition 6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive de f sur I, si elle
existe, est une fonction F (x) dérivable sur I telle que F 0 (x) = f (x) pour tout x de I.
Remarque 3 La notation usuelle pour écrire une primitive est
R
f (x)dx
Exemple 6 Montrer que F (x) = 3x2 + 5x − 2 est une primitive de f (x) = 6x + 5 sur R.
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3.2
Ensemble des primitives d’une fonction
Proposition 5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f , alors :
– f admet une infinité de primitives sous la forme F (x) + k, k ∈ R ;
– toute primitive de f est de la forme F (x) + k, k ∈ R.
Démonstration
3.3
Condition d’unicité
Proposition 6 Soit f une fonction définie sur I et admettant des primitives sur I. Il existe une
unique primitive G de f sur I vérifiant la condition G(x0 ) = y0 .
Exemple 7 Trouver la primitive F de f (x) = 2x − 1 vérifiant F (2) = 0.
3.4
Primitives usuelles
Primitives et fonctions usuelles :Lecture inverse du tableau des dérivées
f (x) =
F (x)
sur
f (x) =
F (x)
sur
k
cos x
x
sin x
n
∗
x ,n ∈ N
tan x
1
ln x
x
1
xα , α ∈ R \ {−1}
1 + x2
1
√
ex
1 − x2
ax
e
Primitive et opérations sur les fonctions : u étant une fonction dérivable sur I
f (x) =
F (x)
sur
f (x) =
F (x)
sur
0
0
u
u (ax + b)
ue
un u0 , n ∈ N
u0 sin u
u0
√
uα u0 , α ∈ R \ {−1}
2 u
u0
u0
u
1 + u2
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