Chapitre 6 - Intégration

TES Chapitre 6 - Intégration 2012-2013
Chapitre 6 - Intégration
I Intégrale d’une fonction positive
TD1 : Des calculs d’aire
Définition 1
Dans un repère orthogonal (O, I, J), on appelle unité d’aire l’aire du rectangle de côtés les
segments [OI]et [OJ].
1. Pour chacune des figures ci-dessous, donner l’aire de la partie colorée en unités d’aire, en utilisant
les carreaux puis calculer chaque aire en utilisant une formule :
Figure 1 Figure 2 Figure 3
2. Dans la question précédente on a pu calculer les
aires car on connaissait des formules, vues dès
le collège, pour calculer l’aire d’un rectangle,
d’un triangle ou l’aire d’un trapèze. L’objectif
de ce chapitre est de découvrir un nouvel outil
permettant de calculer l’aire d’autres surfaces.
Sur la figure ci-contre, on a représenté la fonc-
tion carrée sur [0; 2].
(a) En utilisant le triangle OAI et le trapèze AIBC, déterminer une valeur approchée de l’aire
de la surface colorée en unités d’aires.
(b) Cette aire est égale à 2
0
x2dx, appelée intégrale de la fonction carré entre 0 et 2. La
calculatrice permet de déterminer une valeur approchée de cette intégrale :
– pour Casio, appuyer sur OPTN choisir CALC puis ∫dxet saisir X2,0,2 .
– pour Texas, appuyer sur math choisir intégrFonct et saisir X2,X,0,2 .
Quelle est la valeur approchée donnée par la calculatrice ?
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Définition 2
Soit fune fonction continue et positive sur une intervalle [a;b]et Csa courbe représentative dans
un repère orthogonal.
On appelle intégrale de fentre aet b, l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée
par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=aet x=b.
Cette aire est appelée « aire sous la courbe de f».
Cette intégrale se note : b
af(x)dxet se lit « intégrale de aàbde f».
aest la borne inférieure de cette intégrale et bla borne supérieure
Propriété
1. L’intégrale d’une fonction positive entre aet b, avec a⩽b, est positive.
2. Si fest définie sur [a;b]par f(x)=kavec kune constante positive, alors
b
af(x)dx=k(b−a).
Démonstration
1. L’intégrale d’une fonction positive sur [a;b]est une aire, une aire est toujours positive.
2. Si f(x)=kavec k>0, alors l’aire recherchée est celle du rectangle de côtés ket b−a. Cette aire
est donc égale à k(b−a).
Lorsque k=0, le rectangle est aplati et son aire est égale à 0.
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TD2 : Une aire variable
On s’intéresse à la fonction Ftelle que F(x)=x
0
f(t)dtoù fest une fonction continue et positive
sur R.
1. Sur la figure ci-dessous, on a représenté la fonction affine fdéfinie sur [0; +∞[par : f(x)=x+2.
(a) On appelle S(x)l’aire, en unités d’aire, du domaine coloré. En utilisant la formule donnant
l’aire d’un trapèze, exprimer l’aire S(x)en fonction de x.
(b) Calculer la dérivée de la fonction Set la comparer à f.
(c) Quelle conjecture peut-on faire sur F′(x)pour x>0?
2. Dans cette question, on va utiliser la fonction TABLE de la calculatrice pour comparer F′et f
pour différentes fonctions f.
(a) On compare d’abord F′et florsque fest la fonction carré.
Casio Texas
Sélectionner le menu TABLE. Appuyer sur la touche f(x).
Dans la ligne Y1, saisir X2. Dans la ligne Y1, saisir X2.
Dans la ligne Y2, OPTN puis CALC Dans la ligne Y2, math puis intégrFonct(
puis dxet saisir Y1,0,X . et saisir Y1,X,0,X .
Dans la ligne Y3, OPTN puis CALC Dans la ligne Y3, math puis nbreDérivé(
puis d/dx et saisir Y2,X . et saisir Y2,X,X .
(b) Régler les paramètres de la TABLE de la calculatrice pour obtenir les valeurs de xde 0,5à
4 avec un pas de 0,5. Que peut-on remarquer pour les colonnes Y1 et Y3 ? Quelle conjecture
peut-on faire pour F′?
(c) En changeant l’expression saisie en Y1, faire une conjecture concernant F′lorsque la fonc-
tion fest la fonction racine carrée.
Théorème
Si fest une fonction continue et positive sur [a;b], la fonction Fdéfinie sur [a;b]par
F(x)=x
0
f(t)dtest dérivable sur [a;b]et a pour dérivée f. On a ainsi F′(x)=f(x).
Exemple
Pour F(x)=x
0
t2dt, on a f(t)=t2.Fest dérivable sur [0; +∞[et F′(x)=f(x); c’est-à-dire F′(x)=x2.
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II Primitives d’une fonction continue
Définition 3
Soit fune fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de fsur I, une fonction Fdérivable sur Idont la dérivée est égale à f.
Ainsi, pour tout xde I,F′(x)=f(x).
Remarque
On dit que « Fa pour dérivée f» et « fa pour primitive F».
TD3 : À la recherche de fonctions
1. Compléter le tableau ci-dessous :
Fonction Fdéfinie sur Ipar Fonction dérivée F′
F(x)=x2I=RF′(x)=
F(x)=x3I=RF′(x)=
F(x)=exI=RF′(x)=
F(x)=1
xI=]−∞; 0[∪]0; +∞[F′(x)=
F(x)=ln x I =]0; +∞[F′(x)=
2. (a) En utilisant le tableau précédent, déterminer une fonction Fdont la dérivée est la fonctionf
définie sur Rpar f(x)=2x. Existe-t-il d’autres fonctions qui admettent la même dérivée ?
(b) Donner une fonction Fdont la dérivée est la fonction définie sur Rpar f(x)=3x2.
(c) En déduire une fonction Gdont la dérivée est la fonction gdéfinie sur Rpar g(x)=x2.
(d) Déterminer des fonctions dont la dérivée est la fonction ftelle que f(x)=1
xsur ]0; +∞[.
3. Dans une usine, le coût marginal de fabrication en euros du x-ième kilogramme de bonbons est :
Cm(x)=3x2−30x+75.
Sachant que le coût fixe est nul et que Cm(x)=C′(x), déterminer la fonction coût.
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle Iadmet des primitives sur ce même intervalle.
Propriété
Soit fune fonction continue sur un intervalle I.
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– Si Fest une primitive de fsur un intervalle I, alors toutes les primitives de fsont les fonctions
Gdéfinies sur Ipar G(x)=F(x)+koù kest un réel.
– Soit x0un réel de Iet y0un réel ; il existe une unique primitive Fde fqui prend en x0la valeur
y0, c’est-à-dire telle que F(x0)=y0.
Primitives des fonctions usuelles
Par lecture inverse du tableau des dérivées, on obtient le tableau ci-dessous.
Fonction fUne primitive FIntervalle de validité
f(x)=a F (x)=ax R
f(x)=xnavec n∈NF(x)=xn+1
n+1
R
f(x)=1
x2F(x)=−1 x]−∞; 0[∪]0; =∞[
f(x)=1
xF(x)=ln x]0; =∞[
f(x)=exF(x)=exR
f(x)=1
√xF(x)=2√x]0; =∞[
Propriété
Soit fet gdeux fonctions continues sur un intervalle Iet kun réel quelconque :
– Une primitive de kf est kF avec Fune primitive de f.
– Une primitive de f+gest F+Gavec Fet Grespectivement des primitives de fet g.
– Une primitive de u′×euest eu, avec uune fonction dérivable sur I.
Exemple
Pour ftelle f(x)=x3, une primitive est Ftelle que F(x)=x4
4.
Pour gtelle que g(x)=2xe−x2, une primitive est Gtelle que G(x)=−e−x2.
III Intégrale d’une fonction continue
Propriété
Soit fune fonction continue et positive sur un intervalle [a;b].
Si Fest une primitive de la fonction f, alors b
af(x)dx=F(b)−F(a).
Cette formule s’étend aux fonctions continues de signes quelconques sur un intervalle Iavec aet bdeux
réels quelconques de Iet on peut alors définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
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