Calcul intégral

Calcul intégral 1/2
CALCUL INTEGRAL
I) Intégrale d’une fonction continue
Définition : On considère une fonction f continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I. Soient a et b deux
éléments de I, le nombre
(
)
(
)
FbFa− est indépendant du choix de la primitive F.
Et on note :
( ) ( )
FbFafxdx
a
b
− = ∫( ) qui se lit « intégrale de a à b de f » ou « intégrale de f entre a et b » ou encore
« intégrale de f sur l’intervalle [a ;b] ».
Remarques : • Dans la notation de l’intégrale, la lettre x désigne une variable muette, sans signification particulière.
• Une notation commode du nombre
(
)
(
)
FbFa− est
( )
[
]
Fxa
b.
II) Intégrale d’une fonction positive et interprétation graphique
1) Intégrale d’une fonction positive
Propriété : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I contenant les nombres a et b (a < b) ; l’intégrale
fxdx
a
b( )
∫ est un réel positif.
2) Interprétation graphique
Définition : on appelle unité d’aire du repère orthogonal (, , )Oi j
r
r
, et on note u.a. l’aire d’un rectangle dont les
dimensions sont longueur du vecteur
r
i
et longueur du vecteur
r
j.
Propriété : Dans un repère orthogonal, soit D la partie du plan délimitée par la représentation graphique d’une fonction
positive f, l’axe des abscisses et les droites (verticales) d’équations x = a et x = b (a < b).
L’aire du domaine D mesurée en u.a. est égale à fxdx
a
b( )
∫.
Remarque : pour le calcul en cm² de l’aire du domaine D , l’intégrale fxdx
a
b( )
∫ est à multiplier par l’aire en cm² du
rectangle définissant l’u.a. (voir exemple ci-dessous).
Exemple : Soit f la fonction définie sur 3 par ( ) 2−+= −xx eexf et C f sa représentation graphique dans un repère
orthogonal (, , )Oi j
r
r
tel que
r
i=2 cm et
r
j=1 cm . Soit D la partie du plan délimitée par C f , l’axe des abscisses et
les droites d’équations x = 0 et x = 2 et A l’aire de D exprimée en cm².
Voici les étapes à suivre pour calculer l’aire A :
¬ Montrer que f est positive sur l’intervalle [0 ;2] pour
appliquer la propriété précédente : dans notre exemple,
(
)
fx pouvant s’écrire
(
)
(
)
e e
e
e
e
x x
x
x
x
2 2
2 1 1− + =−, il est
clair que la fonction f est même positive sur 3.
Á L’aire de D exprimée en u.a. est donc égale à
fxdx
a
b( )
∫ ; une primitive de f sur 3 étant
Fx e e x
x x
:
a
− −
−2, on a :
[
]
fxdx e e x e
e
a
bx x
( )
∫= − − = − −
−214
0
222.
 L’unité d’aire valant 2 cm², on a :
A
(
)
= − − ≈
−
2 4 6 5
2 2
e e , cm² .
III) Propriétés de l’intégrale
O
1
1
C f
1 u.a.= 2 cm²
D

Calcul intégral 2/2
1) Relation de Chasles
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b et c. On a :
¬
( ) ( ) ( )
fxdx fxdx fxdx
a
c
a
b
b
c
∫ ∫ ∫
=+.
2) Linéarité de l’intégrale
Propriété : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels a, b et k un nombre réel. α et β sont
des nombres réels. On a :
Á ∫∫ =b
a
b
adxxfkdxxfk)()( ;
 ( ) ( )( ) ( ) ( )
∫∫∫ β+α=β+αb
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf.
3) Intégrale et inégalité
Propriété : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b).
Si pour tout x de I, on a
(
)
(
)
fxgx≥ alors
( ) ( )
fxdx gxdx
a
b
a
b
∫ ∫
≥.
Remarque : la propriété Â permet d’écrire, en prenant α = 1 et β = −1,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
fxdx gxdx fxgxdx
a
b
a
b
a
b
∫∫∫
− = − .
Dans le cas de deux fonctions f et g positives sur [a ;b] et telles que
(
)
(
)
fxgx≥ sur [a ;b],
( ) ( )
fxdx gxdx
a
b
a
b
∫ ∫
− représente l’aire A, exprimée
en u.a., du domaine ∆ délimitée par les deux courbes C f et C g et les deux
droites d’équations x = a et x = b. Cette aire peut donc se calculer
directement avec
( ) ( )
( )
fxgxdx
a
b−
∫.
IV Inégalité de la moyenne et valeur moyenne d’une fonction
1) Inégalité de la moyenne
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b) et m et M deux nombres réels.
Si, pour tout x de I, on a
(
)
mfxM≤ ≤ (on dit que f est bornée), alors
( ) ( ) ( )
mb a fxdx Mb a
a
b
− ≤ ≤ −
∫
2) Valeur moyenne d’une fonction
Propriété : Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant les réels a, b (a < b). On appelle valeur moyenne de f
sur l’intervalle [a ;b] le nombre réel µ défini par ( )
∫
−
µb
adxxf
ab1
=.
x
= a
x
= b
C f
C
g
∆
( ) ( )
( )
A= −
∫fxgxdx
a
b
O