Réduction des endomorphismes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1
Réduction des endomorphismes
Polynôme en un endomorphisme
Exercice 1 [ 00753 ] [correction]
Soient Eun K-espace vectoriel de dimension net u∈ L(E).
On suppose qu’il existe un vecteur x0∈Etelle que la famille
(x0, u(x0), . . . , un−1(x0)) soit libre.
Montrer que seuls les polynômes en ucommutent avec u.
Exercice 2 [ 00754 ] [correction]
Soit u∈ L(E)vérifiant u3=Id. Justifier
ker(u−Id)⊕ker(u2+u+Id) = E
Exercice 3 [ 02598 ] [correction]
Soient Aet Bdeux matrices réelles carrées d’ordre ntelles qu’il existe un
polynôme P∈R[X]de degré au moins égal à 1 et vérifiant
P(0) = 1 et AB =P(A)
Montrer que Aest inversible et que Aet Bcommutent.
Exercice 4 [ 03423 ] [correction]
Soient A, B ∈ Mn(K). On suppose qu’il existe un polynôme non constant
P∈K[X]vérifiant
AB =P(A)et P(0) 6= 0
Montrer que Aest inversible et que Aet Bcommutent.
Exercice 5 [ 03033 ] [correction]
Soient Aet Bdans Mn(R). On suppose que Aest nilpotente et qu’il existe
P∈R[X]tel que P(0) = 1 et B=AP (A). Montrer qu’il existe Q∈R[X]tel que
Q(0) = 1 et A=BQ(B).
Exercice 6 [ 03210 ] [correction]
Soient A∈GLn(C)et B∈ Mn(C)telle que Bp=On.
a) Montrer que In+A−1BA est inversible et exprimer son inverse.
b) On pose
H={In+P(B)/P ∈C[X], P (0) = 0}
Montrer que Hest un sous-groupe commutatif de (GLn(C),×).
Exercice 7 [ 02574 ] [correction]
Dans Mn(R), on considère la matrice
J=
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
Exprimer simplement P(aIn+J)pour P∈R[X].
Sous-espaces vectoriels stables
Exercice 8 [ 00755 ] [correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
On suppose que uet vcommutent, montrer que Imuet ker usont stables par v.
Que dire de la réciproque ?
Exercice 9 [ 00756 ] [correction]
Montrer qu’un endomorphisme fd’un K-espace vectoriel Ecommute avec un
projecteur psi, et seulement si, les espaces Impet ker psont stables par f.
Exercice 10 [ 00757 ] [correction]
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation
dans K[X].
Exercice 11 [ 00758 ] [correction]
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 2
On pose
N=
∞
[
p=0
ker upet I=
∞
\
p=0
Imup
a) Montrer qu’il existe n∈Ntel que N= ker unet I=Imun.
b) Etablir que Net Isont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par
uet tels que les restrictions de uàNet Isoient respectivement nilpotente et
bijective.
c) Réciproquement on suppose E=F⊕Gavec Fet Gsous-espaces vectoriels
stables par utels que les restrictions de uàFet Gsoient respectivement
nilpotente et bijective. Etablir F=Net G=I.
Exercice 12 [ 03462 ] [correction]
[Endomorphisme cyclique]
Soient uendomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie n>2.
On suppose que Eest le seul sous-espace vectoriel non nul stable par u.
a) L’endomorphisme upossède-t-il des valeurs propres ?
b) Montrer que pour tout x∈E\{0E}, la famille (x, u(x), . . . , un−1(x)) est une
base de E.
Quelle est la forme de la matrice de udans cette base ?
c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix de x.
Exercice 13 [ 00759 ] [correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel de dimension n∈N?.
On suppose u◦v=v◦uet vnilpotent.
On désire montrer
det(u+v) = det u
en raisonnant par récurrence sur la dimension n>1.
a) Traiter le cas n= 1 et le cas v= 0.
b) Pour n>2et v6= 0, former les matrices de uet vdans une base adaptée à Imv.
c) Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de uet vau
départ de Imv.
Exercice 14 [ 00760 ] [correction]
Soit E=E1⊕E2un K-espace vectoriel. On considère
Γ = {u∈ L(E),ker u=E1et Imu=E2}
a) Montrer, pour tout ude Γque ˜u=uE2est un automorphisme de E2.
Soit φ: Γ →GL(E2)définie par φ(u) = ˜u.
b) Montrer que ◦est une loi interne dans Γ.
c) Montrer que φest un morphisme injectif de (Γ,◦)dans (GL(E2),◦).
d) Montrer que φest surjectif.
e) En déduire que (Γ,◦)est un groupe. Quel est son élément neutre ?
Exercice 15 [ 00761 ] [correction]
Soient Eun K-espace vectoriel muni d’une base B,f∈ L(E)et Hun hyperplan.
a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel {u∈E?/u(H) = {0}}?
b) Montrer que si Ha pour équation u(x)=0alors Hest stable par fsi, et
seulement si, u◦fest colinéaire à u.
c) Soient Aet Lles matrices dans Bde fet u.
Montrer que Hest stable par fsi, et seulement si, tLest vecteur propre de tA
d) Déterminer les plans stables par
A=
3−2−4
−1 1 1
1−2−2
Exercice 16 [ 02492 ] [correction]
Soient fet gdeux endomorphismes l’espace euclidien de R3canoniquement
représentés par
A=
120
−4 3 4
2 2 −1
et B=
0−1 2
0−1 0
−1 1 −3
a) Trouver les droites vectorielles stables par f.
b) Soit Pun plan de R3de vecteur normal ~n. Montrer que Pest stable par fsi,
et seulement si, Vect(~n)est stable par f?.
En déduire les plans stables par f.
c) Donner les droites et les plans stables par g.
Exercice 17 [ 02726 ] [correction]
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E)tel que
u3=Id
Décrire les sous-espaces stables de u.
Même question avec Eun R-espace vectoriel.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 3
Exercice 18 [ 02897 ] [correction]
On note E=C(R,R)et on pose, pour toute f∈Eet tout x∈R,
T f(x) = f(x) + Zx
0
f(t) dt
a) L’opérateur Test-il un automorphisme de E?
b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel de Ede dimension finie impaire et stable
par T?
Exercice 19 [ 03464 ] [correction]
Soit uun endomorphisme d’un R-espace vectoriel Ede dimension finie non nulle
Montrer qu’il existe une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable par u.
Exercice 20 [ 03474 ] [correction]
Soient Kun corps et A1, A2, . . . , Andes matrices de Mn(K)nilpotentes
commutant deux à deux.
Montrer
A1A2. . . An=On
Exercice 21 [ 03745 ] [correction]
Soient fune endomorphisme de Rnet Asa matrice dans la base canonique de
Rn. On suppose que λest une valeur propre non réelle de Aet que Z∈Cnest un
vecteur propre associé.
On note Xet Yles vecteurs de Rndont les composantes sont respectivement les
parties réelles et imaginaires des composantes de Z.
a) Montrer que Xet Ysont non colinéaires.
b) Montrer que Vect(X, Y )est stable par f.
c) On suppose que la matrice de fest donnée par
A=
1100
−1 2 0 1
0 0 −1 0
1001
Déterminer tous les plans stables par f.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Exercice 22 [ 03205 ] [correction]
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme de E
vérifiant
u3+u= 0
a) Montrer que l’espace Imuest stable par u.
b) Pour x∈Imu, calculer u2(x)
c) Soit vl’endomorphisme induit par usur Imu.
Montrer que vest un isomorphisme.
d) En déduire que le rang de l’endomorphisme uest un entier pair.
Eléments propres d’un endomorphisme
Exercice 23 [ 00762 ] [correction]
Soient fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel et n∈N?. On suppose que
0∈sp(fn).
Montrer que 0∈sp(f).
Exercice 24 [ 00763 ] [correction]
Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer
0/∈sp(f)⇔fsurjectif
Exercice 25 [ 00764 ] [correction]
Soit uun automorphisme d’un K-espace vectoriel E.
Etablir
Spu−1=λ−1/λ ∈Spu
Exercice 26 [ 00765 ] [correction]
Soient Eun K-espace vectoriel, u∈ L(E),a∈GL(E)et v=a◦u◦a−1.
Comparer Spuet Spvd’une part, Eλ(u)et Eλ(v)d’autre part.
Exercice 27 [ 00766 ] [correction]
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Etel que tout vecteur non nul
en soit vecteur propre.
Montrer que uest une homothétie vectorielle.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 4
Exercice 28 [ 02719 ] [correction]
Soient fet gdeux endomorphismes d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie
n>1tels que
f◦g−g◦f=f
a) Montrer que fest nilpotent.
b) On suppose fn−16= 0. Montrer qu’il existe une base ede Eet λ∈Ctels que :
Matef=
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
et
Mateg=diag(λ, λ + 1, . . . , λ +n−1)
Exercice 29 [ 03467 ] [correction]
Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions continues de [0,+∞[vers Rconvergeant
en +∞.
Soit Tl’endomorphisme de Edonné par
∀x∈[0,+∞[, T (f)(x) = f(x+ 1)
Déterminer les valeurs propres de Tet les vecteurs propres associés.
Exercice 30 [ 02577 ] [correction]
a) Montrer que Φ, qui à Passocie
(X2−1)P0(X)−(4X+ 1)P(X)
est un endomorphisme de R4[X].
b) Résoudre l’équation différentielle
y0=5−λ
2(x−1) +3 + λ 2(x+ 1)y
c) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de Φ.
Exercice 31 [ 03187 ] [correction]
a) Soit fun endomorphisme d’un R-espace vectoriel de dimension finie. Si aest
valeur propre de f, de multiplicité m, et si E(f, a)est le sous-espace propre
attaché, montrer
16dim E(f, a)6m
b) Soit
A=
1111
2222
3333
4444
Déterminer simplement les valeurs propres de A.
La matrice Aest-elle diagonalisable ?
Exercice 32 [ 00042 ] [correction]
Soient u,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel.
a) Si λ6= 0 est valeur propre de u◦v, montrer qu’il l’est aussi de v◦u.
b) Pour P∈E=R[X], on pose
u(P) = P0et v(P) = ZX
0
P(t) dt
ce qui définit des endomorphismes de E. Déterminer
ker(u◦v)et ker(v◦u)
c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ= 0 si
l’espace Eest de dimension finie.
Exercice 33 [ 02544 ] [correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un R-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que si λest valeur propre de u◦valors λest aussi valeur propre de v◦u.
Etude pratique des éléments propres d’un
endomorphisme
Exercice 34 [ 00767 ] [correction]
On considère les matrices réelles
A=1 0
0 2 et M=a b c d 
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 5
a) Calculer AM −MA.
b) Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme M7→ AM −MA.
Exercice 35 [ 00768 ] [correction]
Soient E=C∞(R,R)et Dl’endomorphisme de Equi à fassocie sa dérivée f0.
Déterminer les valeurs propres de Dainsi que les sous-espaces propres associés.
Exercice 36 [ 00769 ] [correction]
Soient E=C0(R,R)et Il’endomorphisme de Equi à f∈Eassocie sa primitive
qui s’annule en 0.
Déterminer les valeurs propres de I.
Exercice 37 [ 00770 ] [correction]
Soient El’espace des suites réelles convergeant vers 0 et ∆ : E→E
l’endomorphisme défini par
∆(u)(n) = u(n+ 1) −u(n)
Déterminer les valeurs propres de ∆.
Exercice 38 [ 03126 ] [correction]
Soient E=CNet f:E→El’application qui transforme une suite u= (un)en
v= (vn)définie par
v0=u0et ∀n∈N?, vn=un+un−1
2
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 39 [ 00771 ] [correction]
Soit Ele sous-espace vectoriel des fonctions de C([0,+∞[R)s’annulant en 0.
Pour tout f∈E, on définit ϕ(f) : [0,+∞[→Rpar
ϕ(f)(0) = 0 et ϕ(f)(x) = 1
xZx
0
f(t) dtpour x > 0
a) Montrer que ϕ(f)∈Epuis que ϕest un endomorphisme de E.
b) Déterminer les éléments propres de ϕ.
Exercice 40 [ 03435 ] [correction]
Soit El’espace vectoriel des fonctions continues de [0,+∞[vers R.
Pour tout f∈E, on définit T(f) : ]0,+∞[→Rpar
T(f)(x) = 1
xZx
0
f(t) dtpour x > 0
a) Montrer que la fonction T(f)se prolonge par continuité en 0 et qu’alors Tun
endomorphisme de E.
b) Déterminer les éléments propres de T.
Exercice 41 [ 02700 ] [correction]
Soit E=C([0,1] ,R). Si f∈Eon pose
T(f) : x∈[0,1] 7→ Z1
0
min(x, t)f(t) dt
a) Vérifier que Test un endomorphisme de E.
b) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T.
Exercice 42 [ 03063 ] [correction]
Soit El’espace des fonctions fde classe C1de [0,+∞[vers Rvérifiant f(0) = 0.
Pour un élément fde Eon pose T(f)la fonction définie par
T(f)(x) = Zx
0
f(t)
tdt
Montrer que Test un endomorphisme de Eet trouver ses valeurs propres.
Exercice 43 [ 03125 ] [correction]
Déterminer valeurs propres et vecteurs propres de l’endomorphisme ϕde Rn[X]
défini par
ϕ:P7→ (X2−1)P0−nXP
Exercice 44 [ 03103 ] [correction]
On considère n+ 1 réels deux à deux distincts a0, . . . , anet Ale polynôme
A(X) =
n
Y
k=0
(X−ak)
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD