IV. Dérivées d`ordre supérieur

IV. Dérivées d'ordre supérieur
Dans cette section, I désigne un intervalle, et a ∈ I . Soit également une fonction f : I −→ R.
Théorème 1.
1. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
2. Si f est dérivable sur I , alors f est continue sur I .
Démonstration.
1.
2.
(
Il sut d'écrire que f (x) = f (a) + (x − a)g(x), où g(x) =
f (x)−f (a)
x−a
0
f (a)
si x 6= a
si x = a
, et de vérier que φ,
et donc f , sont bien continues en a. Pour g , c'est le cas, en vertu de la dénition de la dérivabilité de f au point a.
Si f est dérivable sur I , alors f est dérivable en tout point a ∈ I , et donc d'après le premier point, f est continue en
tout point a ∈ I . Ce qui signie exactement que f est continue sur I .
Remarque.
La réciproque est fausse. Voici deux contre-exemples.
1.
2.
La fonction valeur absolue est continue sur R, mais pourtant n'est pas dérivable en 0. (voir ce chapitre,
I.)
La fonction racine carrée est continue sur R+ , mais pourtant n'est pas dérivable en 0.
Dénition 1.
On dit que f est deux fois dérivable sur I , si f 0 est dérivable sur I .
Dans ce cas, (f 0 )0 est appelée dérivée seconde de f , et est notée f 00 ou f (2) .
Dénition 2.
On dénit de la même manière la notion de fonction k fois dérivable, où k ∈ N∗ . La dérivée k e de f se note alors f (k) .
Exemple 1.
Soit la fonction f dénie par f (x) = x2 − 3x + 4. f est un polynôme, donc est dérivable sur R.
On a f 0 (x) = 2x − 3 . Donc, f 0 est un polynôme, et est dérivable sur R, ce qui signie que f est deux fois dérivable sur R.
On a f 00 (x) = 2 . f 00 est une fonction constante, donc dérivable sur R, ce qui signie que f est trois fois dérivable sur R.
On a f (3) (x) = 0 , et ensuite clairement
∀k ≥ 3,
f (k) (x) = 0 . f est donc indéniment dérivable.
Dénition 3.
Soit k ∈ N∗ . On dit que f ∈ C k (I) ou que f est de classe C k sur I si f est dérivable k fois sur I , et ∀j ∈ [[1; k]], f (j) est
continue sur I .
Remarque.
Puisque qu'en vertu du théorème 1, une fonction dérivable est continue, il sut, pour montrer qu'une fonction est de
classe C k , de vérier qu'elle est k fois dérivable, et que la dérivée k e est continue.
En eet, si f est dérivable, alors f est continue.
Si f est deux fois dérivable, ie f 0 est dérivable, alors f 0 est continue.
Si f est trois fois dérivable, ie f 00 est dérivable, alors f 00 est continue...
Si f est k fois dérivable, ie f (k−1) est dérivable, alors f (k−1) est continue.
Donc, seule la continuité de f (k) doit être vériée.
Exemple 2.
La fonction polynôme de l'exemple précédent, d'expression f (x) = x2 − 3x + 4, est donc de classe C 1 sur R, mais aussi de
classe C 2 , C 3 ,..., de classe C k , pour un entier k aussi grand que l'on veut, puisqu'elle est indéniment dérivable.
Ceci nous conduit à la dénition suivante :
Dénition 4.
On dit que f ∈ C ∞ (I) ou que f est de classe C ∞ sur I si f est indéniment dérivable sur I , et toutes ses dérivées
successives sont continues sur I .
Remarque.
La encore, le théorème 1 nous montre qu'il sut, pour montrer que f est de classe C ∞ sur I , de vérier qu'elle est
indéniment dérivable sur I .
Proposition 1.
1. Si f est C k , pour k ∈ N∗ , alors f est C j , pour 1 ≤ j ≤ k − 1.
2. Si f est C ∞ , alors alors f est C k , pour tout k ∈ N∗ .
Proposition 2.
Les fonctions données dans le II. th1 sont de classe C ∞ sur Df 0 :
une fonction polynôme est de classe C ∞ sur R.
la fonction exponentielle est de classe C ∞ sur R.
la fonction logarithme népérien est de classe C ∞ sur ]0; +∞[.
la fonction inverse est de classe C ∞ sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[.
Remarque.
1. La fonction valeur absolue est continue sur R, mais pas dérivable en 0. Par contre, elle est indéniment dérivable sur
2.
] − ∞; 0[ et sur ]0; +∞[. Elle est donc de classe C ∞ sur chacun de ces deux intervalles.
La fonction racine carrée est continue sur [0; +∞[, mais pas dérivable en 0. Par contre, elle est indéniment dérivable
sur ]0; +∞[. On peut le vérier en calculant ses dérivées successives. Elle est donc C ∞ sur ]0; +∞[.
Proposition 3.
Les opérations vues dans le II., lors des th2, th3, se comportent bien avec la notion de fonction C k et de fonction C ∞ :
Lorsqu'il n'y a pas de problème de dénition, la somme, le produit, le quotient, la composée de fonction de classe C k (resp.
C ∞ ) est de classe C k (resp. C ∞ ).
Application.
Soit la fonction f dénie par f (x) =
1.
ln(x + 1)
x
si x ≥ 0
.
si x < 0
f est de classe C ∞ sur ] − ∞; 0[ :
En eet, sur ] − ∞; 0[, on a f (x) = x. f est donc polynômiale, donc de classe C ∞ . (ce qui implique qu'elle est
continue)
2.
f est de classe C ∞ sur ]0; +∞[ :
En eet, sur ]0; +∞[, on a f (x) = ln(x + 1).
Or, x 7−→ x + 1 est de classe C ∞ sur ]0; +∞[, à valeurs dans ]1; +∞[, et X 7−→ ln(X) est bien C ∞ sur ]1; +∞[.
Donc, par composition, on a le résultat.
3.
f est continue en 0 :
En eet,
lim f (x) = lim− x = 0
x→0−
x→0
et
lim f (x) = lim+ ln(x + 1) = ln(0 + 1) = 0 .
x→0+
x→0
Les limites à gauche et à droite en 0 de f étant égales, f est continue en 0. Par conséquent, f est continue sur R.
4.
f est dérivable en 0 :
1
0
x+1
On a f (x) =
1
Or,
5.
f
lim
x→0+
si x > 0
.
si x < 0
1
= 1 = lim 1 , donc f est dérivable en 0, de dérivée continue. D'où, f est C 1 sur R.
x+1
x→0−
n'est pas deux fois dérivable en 0 :
On a f (x) =
00
Or,
lim
x→0+
−1
(x+1)2
0
si x > 0
.
si x < 0
−1
= −1 6= 0 = lim 0 , donc f n'est pas deux fois dérivable en 0. D'où, f n'est pas C 2 sur R.
(x + 1)2
x→0−