Pas de complexes sur les complexes

Vestiges d'une terminale S – Pas de complexes sur les complexes ! - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
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Le module d'un nombre complexe
Les nombres complexes
Définition d'un nombre complexe
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme z = a + i.b où a et b sont deux réels
a est la partie réelle du nombre complexe z. On note : a = Re ( z ) .
b est la partie imaginaire du nombre complexe z. On note : b = Im ( z ) .
Les réels sont les seuls nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
L'ensemble des nombres complexes est noté .
Définition du module d'un nombre complexe
Le module du nombre complexe z = a + i.b est le réel positif ou nul z = a 2 + b 2 .
La notation du module d'un nombre complexe est la même que celle de la valeur absolue
d'un nombre réel. D'ailleurs, le module d'un nombre réel est sa valeur absolue : −7 = 7 .
Le seul nombre complexe qui ait un module nul est 0.
Le module par le conjugué
Le nombre i
Le carré du module est égal au produit du complexe et de son conjugué : z = z × z
Le nombre i est l'une des deux solutions de l'équation x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = −1 .
L'autre solution de cette équation est −i . Les nombres i et −i vérifient les égalités :
En effet si z = a + i.b où a et b sont les parties réelle et imaginaire du complexe z alors :
2
( −i )
2
i = −1
2
x + 1 = ( x − i ).( x + i )
2
= −1
Les puissances et l'inverse du nombre i
Les puissances du nombre i sont cycliques. Les mêmes valeurs reviennent suivant une
période de 4.
i0 = 1
i1 = i
i 4 = i 3 × i = ( −i ) × i = 1
5
i 2 = −1
4
1
i = i ×i = i
6
4
i 3 = i 2 × i = −1 × i = − i
2
i = i × i = −1
L'inverse du nombre i est son opposé −i . En effet :
i 7 = i 4 × i 3 = 1× ( −i ) = −i
1 1× i
i
=
=
= −i .
i i × i −1
Le conjugué d'un nombre complexe
Définition du conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe z = a + i.b est le nombre complexe z = a − i.b .
Les parties réelle et imaginaire du complexe z = a + i.b s'expriment à partir de z et z
z+z
a + i.b + a −i.b
z− z
a + i.b −a + i.b
=
=a
Im ( z ) =
=
=b
2
2
2.i
2.i
Les nombres réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leurs conjugués.
z = z ⇔ Im ( z ) = 0 ⇔ z est un réel
Re ( z ) =
z − z' = z −z'
z×z' = z×z'
zn = ( z )
2
On simplifie une fraction complexe en multipliant ses numérateur et dénominateur par
le conjugué de son dénominateur. On applique alors la propriété précédente. Par exemple :
( 2 + i ) × ( −3 − 2.i ) = −6 − 4.i − 3.i + 2 = −4 − 7i
2+i
=
2
2
13
−3 + 2.i ( −3 + 2.i ) × ( −3 − 2.i )
−3) + ( 2 )
(
z×z
z
2
Module et opérations
A l'instar de la valeur absolue, le module n'est compatible qu'avec la multiplication, le
quotient et la puissance.
z
z
n
z×z' = z × z'
zn = z
=
z'
z'
Par contre, le module n'est compatible ni avec l'addition, ni avec la soustraction.
z + z' = z + z'
z −z' = z − z'
Mais le module vérifie l'inégalité triangulaire.
z + z' ≤ z + z'
Le module de la somme est inférieur ou égal à la somme des modules
Equation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif
Lorsque le discriminant ∆ = b 2 − 4.a.c de l'équation du second degré a.z 2 + b.z + c = 0 est
La conjugaison est compatible avec toutes les opérations.
z + z' = z + z'
z × z = ( a + i.b ) . ( a − i.b ) = a 2 −i.a.b +i.a.b − i 2 .b 2 = a 2 − ( −1) .b2 = a 2 + b 2 = z
n
z z
 z' =
  z'
−b − i. ∆
− b + i. ∆
et z 2 =
négatif, celle-ci admet deux solutions complexes : z1 =
.
2.a
2.a Mais aucune solution réelle !
Deux nombres complexes conjugués
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Dans le plan complexe...
Lorsque le plan est muni d'un repère orthonormal direct
( O; u, v ) , tout point M ( x; y ) est associé au nombre
z = OM
)
(
)
(
Ecritures algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z est parfaitement défini par ses parties réelle x et imaginaire y.
Il peut aussi être défini par son module z et l'un de ses arguments θ. On écrit alors :
= z × ( cos ( θ ) + i.sin ( θ ) ) =
Ecriture algébrique de z
Ecriture trigonométrique de z
L'exponentielle imaginaire e
i .θ
Ecriture exponentielle de z
= cos ( θ ) + i.sin ( θ ) possède des propriétés similaires à
celles de sa consoeur réelle.
e
i .a
×e
i .b
=e
i .( a + b )
e i.a
e i.b
=e
i .( a − b )
1
e i.a
=e
− i .a
(e )
i .a
n
=e
i .n.a
e
=e Conjugué...
( )
arg ( − z ) = arg ( z ) + π
Un argument d'un réel positif est 0.
Un argument d'un réel négatif est π.
π
π
arg ( i ) =
et arg ( − i ) = − .
2
2
1 = ei ×0 et i = ei .π / 2
−z
z
i
v
Arg = ±π
−1
0 u
Arg = 0
1
−z
Arg = −π / 2
G est le barycentre des n points pondérés
( A1 , α1 ) ,… , ( A n , α n )
zG =
z
α1.z A1 + … + α n .z A n
α1 + … + α n
Quelques trucs...
Pour démontrer que...
Etablir que...
Le point M appartient au cercle de centre A et de
rayon r
Les vecteurs AB et CD sont égaux
BC z C − z B
=
=1
AC z C − z A
z M − z A = r ou z M = z A + r.ei .θ
z B − z A = z D − zC
z D − zC
est un réel
zB − z A
Les vecteurs AB et CD sont colinéaires
z D − zC
est un imaginaire pur
zB − z A
AB et CD sont orthogonaux
π
Le triangle ABC est équilatéral et AB, AC =
3
(
)
π
i.
zC − z A
1 + i. 3
=e 3 =
zB − z A
2
Ecriture complexe de quelques transformations
Le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la transformation indiquée.
Transformation
Ecriture complexe
z ' = z + z Translation de vecteur w
w
Rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω
Homothétie de rapport k∈ et de centre Ω d'affixe ω
−i
)
triangle direct
Arg = π / 2
AB = z B − z A
u, AB = arg ( z B − z A )
( AB, CD ) = arg  zzDB −− zzAC 
)
− i .a
i .a
Les propriétés de l'argument
L'argument possède des propriétés similaires à celle du logarithme népérien.
z
arg ( z × z ') = arg ( z ) + arg ( z ' )
arg   = arg ( z ) − arg ( z ' )
arg z n = n × arg ( z )
z
'
 
La figure ci-contre illustre les
propriétés suivantes :
arg ( z ) = − arg ( z )
(
Le point C est équidistant de A et B ou AC = BC
ou C appartient à la médiatrice du segment [AB].
z × ei .θ
x + i.y
)
Une mesure de l'angle orienté AB, CD
Deux arguments θ et θ' d'un même nombre complexe z diffèrent d'un certain nombre de
fois 2.π. Autrement dit : θ ' = θ + k × 2.π où k est un entier relatif
z=
Traduction complexe
= z − z
z AB
B
A
(
x
u
O
Notion géométrique
Le vecteur AB
La distance AB = AB
Une mesure de l'angle orienté u, AB
θ
v
Un argument θ de nombre complexe z est une mesure de
l'angle orienté u, OM .
arg ( z ) = θ = u, OM
(
M (z)
y
complexe z = x + i.y . On dit que z est l'affixe du point M.
La distance OM est égale au module de z.
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Equivalents complexes de notions géométriques
z '− ω = ei.θ . ( z − ω)
z '− ω = k. ( z − ω)
Réflexion d'axe celui des abscisses ou des réels
z' = z
Pour déterminer le centre d'une rotation ou d'une homothétie, on cherche son point fixe.