Pas de complexes sur les complexes

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Les nombres complexes
Définition d'un nombre complexe
On appelle nombre complexe tout nombre de la forme
z a .b
= +
i
où a et b sont deux réels
a est la partie réelle du nombre complexe z. On note :
(
)
a Re z
=.
b est la partie imaginaire du nombre complexe z. On note :
(
)
b Im z
=.
Les réels sont les seuls nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
L'ensemble des nombres complexes est noté .
Le nombre i
Le nombre i est l'une des deux solutions de l'équation 2 2
x 1 0 x 1
+ = ⇔ = −
.
L'autre solution de cette équation est
−
i
. Les nombres i et
−
i
vérifient les égalités :
2
1
= −
i
( )
2
1
− = −
i
( ) ( )
2
x 1 x . x
+ = − +
i i
Les puissances et l'inverse du nombre i
Les puissances du nombre i sont cycliques. Les mêmes valeurs reviennent suivant une
période de 4.
0
1
=
i 1
=
i i
2
1
= −
i 3 2 1
= × = − × = −
i i i i i
( )
4 3
1
= × = − × =
i i i i i
5 4 1
= × =
i i i i
6 4 2
1
= × = −
i i i
( )
7 4 3 1
= × = × − = −
i i i i i
L'inverse du nombre i est son opposé
−
i
. En effet : 1 1
1
×
= = = −
× −
i i
i
i i i .
Le conjugué d'un nombre complexe
Définition du conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué du nombre complexe
z a .b
= +
i
est le nombre complexe
z a .b
= −
i
.
 Les parties réelle et imaginaire du complexe
z a .b
= +
i
s'expriment à partir de z et
z
( )
z z a .b
Re z 2
+ +
= = ia .b+ −i
a
2
=
( )
z z a
Im z 2.
−
= =
i
.b a+ −i.b
b
2.
+
=
i
i
Les nombres réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leurs conjugués.
(
)
z z Im z 0 z est un réel
= ⇔ = ⇔
 La conjugaison est compatible avec toutes les opérations.
z z ' z z '
+ = +
z z ' z z '
− = −
z z ' z z '
× = ×
( )
n
n
z z
=
z z
z '
z '
=
Le module d'un nombre complexe
Définition du module d'un nombre complexe
Le module du nombre complexe
z a .b
= +
i
est le réel positif ou nul
2 2
z a b
= + .
La notation du module d'un nombre complexe est la même que celle de la valeur absolue
d'un nombre réel. D'ailleurs, le module d'un nombre réel est sa valeur absolue :
7 7
− =
.
Le seul nombre complexe qui ait un module nul est 0.
Le module par le conjugué
Le carré du module est égal au produit du complexe et de son conjugué : 2
z z z
= ×
En effet si
z a .b
= +
i
où a et b sont les parties réelle et imaginaire du complexe z alors :
( ) ( )
2
z z a .b . a .b a .a.b× = + − = −i i i .a.b+i
( )
2
2 2 2 2 2 2
.b a 1 .b a b z
− = − − = + =i
 On simplifie une fraction complexe en multipliant ses numérateur et dénominateur par
le conjugué de son dénominateur. On applique alors la propriété précédente. Par exemple :
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
z z z
2 3 2.
2 6 4. 3. 2 4 7
3 2. 3 2. 3 2. 13
3 2
×
+ × − −
+ − − − + − −
= = =
− + − + × − − − +
i i
i i i i
i i i
Module et opérations
A l'instar de la valeur absolue, le module n'est compatible qu'avec la multiplication, le
quotient et la puissance.
z z ' z z '
× = ×
z
z
z ' z '
=
n
n
z z
=
Par contre, le module n'est compatible ni avec l'addition, ni avec la soustraction.
z z ' z z '
+ = +
z z ' z z '
− = −
Mais le module vérifie l'inégalité triangulaire.
Le module de la somme est inférieur ou é
gal à la somme des modules
z z ' z z '+ ≤ +
Equation du second degré à coefficients réels de discriminant négatif
Lorsque le discriminant 2
b 4.a.c
∆ = − de l'équation du second degré 2
a.z b.z c 0
+ + =
est
négatif, 1 2
Mais aucune solution réelle ! Deux nombres complexes conjugués
b . b .
celle-ci admet deux solutions complexes : z et z
2.a 2.a
− − ∆ − + ∆
= =
i i
.

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Dans le plan complexe...
Lorsque le plan est muni d'un repère orthonormal direct
(
)
O; u, v
, tout point
(
)
M x; y
est associé au nombre
complexe
z x .y
= +
i
. On dit que z est l'affixe du point M.
La distance OM est égale au module de z.
z OM
=
Un argument θ de nombre complexe z est une mesure de
l'angle orienté
(
)
u,OM
.
( )
(
)
arg z u, OM
= θ =
Deux arguments θ et θ' d'un même nombre complexe z diffèrent d'un certain nombre de
fois 2.π. Autrement dit :
' k 2.
θ = θ + × π
où k est un entier relatif
Ecritures algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe
Tout nombre complexe z est parfaitement défini par ses parties réelle x et imaginaire y.
Il peut aussi être défini par son module
z
et l'un de ses arguments θ. On écrit alors :
( ) ( )
(
)
.
Ecriture algébrique de z
Ecriture exponentielle de z
Ecriture trigonométrique de z
z x .y z cos .sin z e θ = + = × θ + θ = × i i i
L'exponentielle imaginaire
( ) ( )
.
e cos .sin
θ
= θ + θ
ii possède des propriétés similaires à
celles de sa consoeur réelle.
(
)
. a b
.a .b
e e e
+
× = i
i i
( )
.a
. a b
.b
ee
e
−
=
ii
i
.a
.a
1
e
e
−
=
i
i
(
)
n
.a .n.a
e e=
i i
.a .a
Conjugué...
e e− =
i i
Les propriétés de l'argument
L'argument possède des propriétés similaires à celle du logarithme népérien.
(
)
(
)
(
)
arg z z ' arg z arg z '
× = +
( ) ( )
z
arg arg z arg z '
z '
  = −
(
)
( )
n
arg z n arg z
= ×
La figure ci-contre illustre les
propriétés suivantes :
(
)
(
)
arg z arg z
= −
(
)
(
)
arg z arg z
− = + π
 Un argument d'un réel positif est 0.
 Un argument d'un réel négatif est π.
( )
arg
2
π
=
i et
( )
arg
2
π
− = −
i.
0
1 e
×
=
i
et
. / 2
e
π
=i i
Equivalents complexes de notions géométriques
Notion géométrique Traduction complexe
Le vecteur
AB
B A
AB
z z z
= −
La distance
AB AB
=
B A
AB z z
= −
Une mesure de l'angle orienté
(
)
u, AB
(
)
( )
B A
u, AB arg z z
= −
Une mesure de l'angle orienté
(
)
AB,CD
( )
D C
B A
z z
AB,CD arg
z z
−
=
−
G est le barycentre des n points pondérés
(
)
(
)
1 1 n n
A , , , A ,
α α
…
1 n
1 A n A
G
1 n
.z .z
zα + + α =α + + α
…
…
Quelques trucs...
Pour démontrer que... Etablir que...
Le point C est équidistant de A et B ou
AC BC
=
ou C appartient à la médiatrice du segment [AB].
C B
C A
z z
BC
1
AC z z
−
= =
−
Le point M appartient au cercle de centre A et de
rayon r M A
z z r
− =
ou
.
M A
z z r.e
θ
= +
i
Les vecteurs
AB
et
CD
sont égaux
B A D C
z z z z
− = −
Les vecteurs
AB
et
CD
sont colinéaires
D C
B A
z z
z z
−
− est un réel
AB
et
CD
sont orthogonaux
D C
B A
z z
z z
−
− est un imaginaire pur
Le triangle ABC est équilatéral et
( )
triangle direct
AB, AC
3
π
=
.
C A 3
B A
z z
1 . 3
e
z z 2
π
−+
= =
−
ii
Ecriture complexe de quelques transformations
Le point M' d'affixe z' est l'image du point M d'affixe z par la transformation indiquée.
Transformation Ecriture complexe
Translation de vecteur
w
w
z ' z z
= +
Rotation d'angle θ et de centre Ω d'affixe ω
( )
.
z ' e . z
θ
− ω = − ω
i
Homothétie de rapport k∈ et de centre Ω d'affixe ω
(
)
z ' k. z
− ω = − ω
Réflexion d'axe celui des abscisses ou des réels
z ' z
=
Pour déterminer le centre d'une rotation ou d'une homothétie, on cherche son point fixe.
O
(
)
M z
u
v
θ
x
y
0
1
i
1
−
−
i
z
z
z
−
z
−
Arg / 2
= π
Arg / 2
= −π
Arg
= ±π
Arg 0
=
u
v