Mr.Grassi Maher Mr.Grassi Maher4ème s.exp 21233990 Série N°5

4ème s.exp
Mr.Grassi Maher
21233990
Série N°5
Exercice 1 :
1) a) Résoudre dans ℂ l’équation (E) : z²-4√2z+16=0
b) Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle.
π
π
2) a) Déterminer sous forme exponentielle les racines carrées de 4ei 4 et 4e−i 4
π
π
b) Placer les points A, B, C et D les images des racines carrées de 4ei 4 et 4e−i 4
dans un repère orthonormé direct (O,u
⃗ ,v
⃗ ) tels que 0<Ré(zA)=Ré(zB) et
0 < Im(zA)=Im(zD)
3) Soit u=√2 + √2 + i√2 − √2
a) Déterminer sous forme algébrique u².
b) En déduire la forme exponentielle de u.
4) En déduire sous forme algébrique les solutions de l’équation
(E’) : z 4 − 4√2z² + 16 = 0
Exercice 2 :
Soit u=2(1-i√3)
1) a) Ecrire u sous forme exponentielle et donner une racine carrée de u.
b) Résoudre dans ℂ l’équation z²-(√3 + i)z + i√3 = 0
2) On donne dans ℂ les nombres complexes z1 = i et z2 = √3
Soient dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O,i,j) les points A et
B d’affixes respectives zA = z1 + z2 et zB = 1 – z1.z2
a) Donner la forme exponentielle de zA et zB et placer avec précision A et B dans
le repère (O,i,j).
b) Déterminer l’affixe du point D tel que OADB soit un parallélogramme. Placer
le point D dans le même repère.
3) a) Montrer que OADB est un carré et en déduire le module et un argument de zD
puis donner sa forme trigonométrique.
π
π
c) En déduire cos(12) et sin(12).
Exercice 3 :
On pose pour tout z∈ ℂ ; f(z) = z3-(8+3i)z²+(19+16i)z-12-21i
1) Résoudre dans ℂ l’équation z²-(5+3i)z+4+7i=0
2) a) Vérifier que 3 est une solution de l’équation f(z)=0
b) Factoriser f(z).
c)Résoudre dans ℂ l’équation f(z) = 0.
3) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u
⃗ ,v
⃗ ), on
considère les points A, B et C d’affixes respective 3, 2+i et 3+2i
Placer les point A, B et C puis montrer que le triangle ABC est rectangle isocèle.
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Exercice 4 :
Soit 𝛼 un réel de ]0,𝜋[.on donne dans ℂ l’équation : Eα : z²-2cos𝛼 z+2isin𝛼 = 0
1) a) Vérifier que (1-i sin𝛼)² = cos²𝛼-2i sin𝛼
b) Résoudre dans ℂ l’équation Eα
c) Donner les solutions de Eα sous forme exponentielle.
2) On donne dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O,u
⃗ ,v
⃗ ) les points
−iα
iα
M1, M2 et N d’affixes respectives z1 = 1+e , z2 = e − 1 et zN = z̅1
a) Donner la forme exponentielle de z1 et z2
b) Déterminer 𝛼 pour que O, M1 et M2 soient alignés et vérifier que dans ce cas M1
et M2 sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3) a) Montrer que le triangle OM2N est rectangle en O.
b) Déterminer l’affixe du point M tel que OM2MN soit un rectangle.
c) Déterminer la valeur de 𝛼 pour laquelle OM2MN est un carré.
Exercice 5 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,u
⃗ ,v
⃗ ). On désigne par A le
point d’affixe zA = 1 et par 𝜁 le cercle de centre A et de rayon 1.
1) Soit 𝜃 ∈ ]0, 𝜋[. Résoudre dans ℂ l’équation (Eθ ) : z²-(2+eiθ )z+1+eiθ =0
2) Soit B le point d’affixe zB = 1+eiθ et E le point d’affixe zE = 1+zB2
a) Montrer que B appartient au cercle 𝜁.
θ
θ
b) Montrer que : zB = 2cos(2)ei2
Z −Z
c) En déduire que : ZE −ZA est un réel. Interpréter géométriquement le résultat.
B
A