Oscillateur mécanique en régime forcé

I Equation différentielle du mouvement de l’oscillateur harmonique amorti en régime
sinusoïdal forcé
A) Mise en équation
k, l0
l0
O x x
M(m)
x est l’élongation du ressort
0
ll 
Bilan des forces surM :
 Tension du ressort
ikxillkT 
 )( 0
 Frottement visqueux
))( dans fixe ( lab)/( lab ROixvF Rv
 Force excitatrice sinusoïdale
itFF ee
 )cos(
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans
)( lab R
galiléen :
)cos(
2
,Ainsi
2
Q
ou
2
poseOn
)cos(
)cos(
2
0
2
0
0
2
0
labR/
t
m
F
xxx
m
km
m
k
m
t
m
F
x
m
k
x
m
x
tFxkxxm
FFTam
e
e
e
evM
Rappel :
est le coefficient d’amortissement
1
s][ 
0
est la pulsation propre
1
0s.rad][ 
Q est le facteur de qualité
1][ Q
B) Analogie électrocinétique
~
)cos( tE 
iR
C
q
L
Équation de maille :
)cos(donc
avec)cos(
t
L
E
LC
q
q
L
R
q
dt
dq
i
c
q
dt
di
LRitE
Oscillateur mécanique en régime forcé

C) Solution de l’OHA excité par une force sinusoïdale
)cos(
22
0t
m
F
xxx e
Solution générale x(t) = SGH + SP
Equation homogène = équation différentielle d’un OHA
 Solution générale homogène :
eapériodiqu régime :
critique régime :
périodique-pseudo régime :
2
1
2
1
2
1
Q
Q
Q
 Solution exponentiellement décroissante,
/1
χT
(régime transitoire)
 Solution particulière : on choisit l’unique solution particulière périodique à la
pulsation , appelée régime sinusoïdal forcé ou régime permanent sinusoïdal.
RSFSGH xxtx
tXx
)(
)cos(
RSF
II Résonance d’élongation
A) Solution du RSF(Ω)
On cherche une solution
)cos()(  tXtx
Donc
tjtjjtj eXeXeXetx   )(
)(
0
2
2
0
0
2
0
2
0
0
22
0
2
0
0
2
2
0
0
2
avec
1
)/(
/
1
)/(
1
EDl' desolution
y
Q
y
jy
mF
X
Q
j
mF
Q
j
m
F
X
m
F
XXj
Q
X
e
m
F
xxj
Q
xx
e
ee
e
tj
e
1si
1/
Arctan
)0(1si
1/
Arctan
)1(ArgArg
1
)/(
)Argcos()(Ainsi
2
2
2
2
2
2
2
2
0
y
y
Qy
yy
y
Qy
Q
y
jyX
Q
y
y
mF
XX
XtXtx
e
B) Résonance d’élongation
Etude de
)(X
ou
)(yX
(analogue de l’étude de
)(
C
U
, tension aux bornes du
condensateur)
Electrocinétique
q
i
L
1/C
R
E
Mécanique
x
v
m
k
Fe

Ry
Q
y
y
mF
yX e,
1
)/(
)(
2
2
2
2
2
0
0)(lim)(lim 2
0
0  yX
m
F
yX y
e
y
Les y tels que
)(yX
soit un extremum sont exactement les y tels que
   )(
2
2
2
2
1
yf
Q
y
y
soit un extremum.
On a :
)0(
21
1ou 0
0))1(2
1
(
2
)2)(1(20)('
2
2
22
2
y
Q
yy
y
Q
y
Qy
yyyf
 Cas
2/10
21
12 Q
Q
0y
: Minimum relatif (tracer la courbe)
2
21
1Q y
: Maximum de
)(yX
si
2
0
max
,1
m
F
QXQ e
 Cas
2/10
21
12 Q
Q
0y
: Maximum de
)(yX
X(y)
0
ou y
2
0
m
F
Qe
2
0
m
Fe
1si1
21
12 Q
Q
2/1Q
2/1Q
Pulsations de coupure définies par
2
)( max
X
X
Si Q est assez grand : deux solutions
  2 0résonance 21
1Q
Largeur de bande passante =
1si
1
et
résonance
 Q
Q

III Résonance de vitesse
A) Solution pour
xv 
.
XjVeVx
tXtXtx
tXtx
tj  oùou
)2/cos()sin()(
)cos()(
Donc
XV 
et
2/ArgArg  XV
2
2
2
2
01Q
y
e
y
y
m
F
XV 
B) Etude de V(y). Résonance de vitesse
Analogue de l’étude de la résonance d’intensité du RLC série
0)(lim0)(lim0  yVyV yy
Si V admet un extremum en y, alors
2
V
en admet un aussi en y
On pose
2
2
2
2
2
2
0
2
1
)/(
1
)()(
Q
y
y
y
mF
yVyf
e
On a alors :
1ou0
0)21)(1(2
0)1(2)1(2
0/2)2)(1(2)1(20)('
222
2
2
22
2
2
22
222
2
2
22
yy
yyyy
Q
y
yy
Q
y
yy
Qyyyy
Q
y
yyyf
On a donc un maximum de
)(V
pour
0
(
0y
est un minimum)
Donc
0
max )1(
m
F
QyVV e
Pulsations de coupure
2
)( max
V
V
4
1
)/1(01
1avec)1(1)1(...
2
1
)/(2)/(
)(
2
2
222222
2
2
2
2
2
2
2
0
2
max
2
0
2
Q
Qy
y
yQyQyyQy
Q
Q
y
y
y
mF
V
mF
V
ee
Donc
2
4
12
0
Q
Q
y
0y
donc
2
4
11 2
0
QQ
y
et
2
4
11 2
0
QQ
y
)(
1
0
Q
Q
yy 

V
0
2
0
max
m
F
QV e
1
1~Q
1Q
2
max
V
y-y+
IV Aspect énergétique
A) Résonance de puissance
Puissance p de la force de frottement :
)0(
)2/(cos22 tVvvvvFp v
0
2
2
2
2
2
2
0
22
dissipée
puissance
avec
1
2
1
2
1
cos
2
1
y
Q
y
y
y
m
F
VpP
e
d
d
P
est maximale si V est maximale, soit
0
et
2
2
0
max 2
1Q
m
F
Pe
d
max
22
max
2
22
2
max
2
1
)ou(
0)()0(
)
1
(1
)1(
1
dd
dd
dd
d
PP
PP
y
y
Q
P
yy
Q
P
P
max
d
P
2max
d
P
d
P
0
B) Bilan énergétique