Oscillateur mécanique en régime forcé

Oscillateur mécanique en régime forcé
I Equation
différentielle du mouvement de l’oscillateur harmonique amorti en régime
sinusoïdal forcé
A) Mise en équation
k, l0
M(m)
O
x
x
l0
x est l’élongation du ressort  l  l 0
Bilan des forces surM :



 Tension du ressort T  k (l  l0 )i  kxi



 Frottement visqueux Fv    v /( Rlab )    xi (O fixe dans ( Rlab ))


 Force excitatrice sinusoïdale Fe  Fe cos(t )  i
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans ( Rlab ) galiléen :
 


ma M / R lab  T  Fv  Fe
 mx  kx  x  Fe cos(t )

F
k
x  e cos(t )
m
m
m

 0


 2 
2




m
m ou  Q
On pose 

k
k
2
2
 0 
 0 

m

m
F
Ainsi , x  2x   02 x  e cos(t )
m
 x 
x 
Rappel :
 est le coefficient d’amortissement [ ]  s 1
 0 est la pulsation propre [ 0 ]  rad.s 1
Q est le facteur de qualité [Q ]  1
B) Analogie électrocinétique
i
R
L
E cos(t )
~
q
C
Équation de maille :
di q
dq
E cos(t )  Ri  L 
avec i 
dt c
dt
R
q
E
donc q  q 
 cos(t )
L
LC L
C) Solution de l’OHA excité par une force sinusoïdale
Fe
cos(t )
m
Solution générale x(t) = SGH + SP
Equation homogène = équation différentielle d’un OHA
 Solution générale homogène :
Q  12 : régime pseudo - périodique

1
Q  2 : régime critique
Q  1 : régime apériodiqu e
2

 Solution exponentiellement décroissante, Tχ  1 /  (régime transitoire)
x  2x  02 x 

Solution particulière : on choisit l’unique solution particulière périodique à la
pulsation  , appelée régime sinusoïdal forcé ou régime permanent sinusoïdal.
x RSF  X cos(t   )
 x(t )  x SGH  x RSF
Electrocinétique
Mécanique
q
x
i
v
L
m
1/C
k
R

E
Fe
II Résonance d’élongation
A) Solution du RSF(Ω)
On cherche une solution x(t )  X cos(t   )
Donc x(t )  Xe j ( t  )  Xe j  e jt  X e jt
0
Fe jt
e
Q
m

F
  2 X  0 j X   02 X  e
Q
m
x solution de l' ED   2 x 
X 
Fe

m
j x   02 x 
1
 02   2  j
Fe /( m 02 )
y
1 y2  j
Q
Ainsi x(t )  X cos(t  Arg X )
X 
X X 
0 
Q
avec y 

Fe /( m 02 )

1  
 0
2

 / 0
  j
Q


0
Fe /( m 02 )
1  y 
2 2

y2
Q2
y/Q

 Arctan
si y  1 ( y  0)

y

1 y2
2
Arg X   Arg (1  y  j )  
y/Q
Q
  Arctan
si y  1

1 y2
B) Résonance d’élongation
Etude de X ( ) ou X ( y ) (analogue de l’étude de U C () , tension aux bornes du
condensateur)
Fe /( m 02 )
X ( y) 
1  y 
2 2
lim X ( y) 
y 0

Fe
m02
2
,
y R
y
Q2
lim X ( y)  0
y 
Les y tels que X ( y ) soit un extremum sont exactement les y tels que


y2
1  y  2 soit un extremum.
Q


2 2
f ( y)
On a :
f ' ( y )  0  2(1  y 2 )( 2 y ) 
2y
1
 y ( 2  2(1  y 2 ))  0
2
Q
Q
 y  0 ou y  1 
1
2Q 2
( y  0)
1
 0  Q  1/ 2
2Q 2
y  0 : Minimum relatif (tracer la courbe)

Cas 1 
y  1
1
: Maximum de X ( y )
2Q 2
si Q  1, X max  Q
Fe
m02
1
 0  Q  1/ 2
2Q 2
y  0 : Maximum de X ( y )

Cas 1 
X(y)
Q
Fe
m 02
Fe
m 02
Q  1/ 2
Q  1/ 2
1
y ou
1
 1 si Q  1
2Q 2
Pulsations de coupure définies par X () 
et
0
X max
2
Si Q est assez grand : deux solutions     résonance  0 1 
Largeur de bande passante =     

   1

 résonance Q
1
 
2Q 2
si Q  1
III Résonance de vitesse
A) Solution pour v  x .
x(t )  X cos(t   )
 x (t )  X sin( t   )  X cos(t     / 2)
ou x  V e jt où V  j X
Donc V  X et ArgV  Arg X   / 2
F
y
V  X  e
m 0 1  y 2 2  y 2


Q2
B) Etude de V(y). Résonance de vitesse
Analogue de l’étude de la résonance d’intensité du RLC série
lim V ( y)  0
lim V ( y)  0
y 0
y 
Si V admet un extremum en y, alors V 2 en admet un aussi en y
1
y2

On pose f ( y )  V ( y ) 2
Fe /( m0 )2 1  y 2 2  y 2
Q2
On a alors :

y2 
f ' ( y )  0  2 y (1  y 2 ) 2  2   y 2 2(1  y 2 )( 2 y )  2 y / Q 2  0
Q 






y2
y2 
 2 y (1  y 2 ) 2  2  2(1  y 2 ) y 2  2   0
Q
Q 

 2 y (1  y 2 )(1  y 2  2 y 2 )  0
 y  0 ou y  1
On a donc un maximum de V ( ) pour   0 ( y  0 est un minimum)
Donc Vmax  V ( y  1)  Q
Fe
m0
Pulsations de coupure V () 

V ( )
2
Fe /( m 0 )2

V
Vmax
2
2
max
2Fe /( m 0 ) 
2

y2
1  y 
2 2
y2
 2
Q

Q2
2
 y 2  ...  Q 2 (1  y 2 ) 2  y  Q 1  y 2  Q(1  y 2 ) avec   1
 y2 

y
Q
 1  0 (1 /    )
1
4
Q2

1

4
Q
Q2


Donc y 
0
2
1
1
1
1

4

4
2
Q
Q2
 Q
 Q
y  0 donc y 


et y 
0
2
0
2
  
1
 y  y 
(Q)
0
Q
V
Q  1
Vmax  Q
Fe
m 02
Vmax
2
Q ~1
y-
1

y+
0
IV Aspect énergétique
A) Résonance de puissance
Puissance p de la force de frottement :
 
 
p  Fv  v    v  v    v 2    V  cos 2 (t     / 2)
( 0)
1 
1
2
Pd   p    V 2 
 cos  

2 
2
puissance
dissipée
 F
1
    e
2
 m 0
2

y2

2
 1 y2 2  y
Q2


avec y 

0
Pd est maximale si V est maximale, soit   0 et Pd
Pd 
Pd
max
(1  y )
1 Q2
y2
2 2

Pd
max
 F
1
    e
2
 m 0
max
1
1  Q 2 (  y) 2
y
Pd (  0)  Pd (  )  0
Pd (  ou   ) 
1
Pd
2
max
Pd
Pd
Pd
max
max
2

B) Bilan énergétique
0


2
 2
 Q

Théorème de l’énergie mécanique :
1
1
 m   c   p,élastique  mx 2  kx2
2
2
1
1
 mX 2  2 sin 2 (t   )  kX 2 cos 2 (t   )
2
2
1
1
1
k 1

 m  mX 2  2  kX 2  mX 2   2    mX 2  2   02 
4
4
4
m 4

Théorème de l’énergie mécanique dans ( Rlab ) galiléen appliqué à M :
d m
 PFv  PFe
dt
d m
d m

 PFv  PFe
dt
dt
 m  cte   mX 2  2   02   PF   PF  Pd
 1

e
v
 4

En régime permanent sinusoïdal la force excitatrice fournit à l’oscillateur une
puissance moyenne égale à la puissance moyenne dissipée par frottement.
V Cas d’une force périodique non sinusoïdale
On considère Fe(t ) périodique, de période
2


Théorème de Fourier : Fe (t )   Fe,n  cos( nt  n )
n 0

F (t )
k
x e
m
m
m
Linéarité de l’équation différentielle : Fe,n  RSF (n)  x n (t )  X n cos( nt   n  n )
Equation différentielle : x 

x 
Donc, pour Fe(t ) , x(t )   x n (t )
n 0