Intégrale d`une fonction continue sur un segment et dérivation

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Intégrale d’une fonction continue sur un segment et dérivation
I Le résultat fondamental
A) Théorème
Théorème :
Soit I un intervalle de R, et f : I  R une fonction continue. Soit a  I .
Alors l’application F : I  R
(qui est bien définie sur Icar x  I , [a, x]  I , et
x

x  f (t )dt
a
donc f est continue sur ce segment) est dérivable de dérivée f.
Démonstration :
Soit x0  I . Montrons que F est dérivable en x 0 et que F ' ( x0 )  f ( x0 ) .
F ( x)  F ( x0 )
 f ( x0 ) pour x  I \ x0 , de manière à montrer que
x  x0
cela tend vers 0 quand x tend vers x 0 .
Pour cela, étudions
 F ( x)  F ( x0 )


 f ( x0 )   ( x) 
x  x0
0 

Pour cela, étudions F ( x)  F ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x0 ) pour x  I \ x0  :

x


x


x
F ( x)  F ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x0 ) 
a
x0
x0
x0
f (t )dt   f (t )dt  ( x  x0 ) f ( x0 )
a
f (t )dt  ( x  x0 ) f ( x0 )
( f (t )  f ( x0 )) dt
 x f (t )  f ( x ) dt  ( x  x ) sup f (t )  f ( x ) si x  x
0
0
0
0
 x0
t x0 , x 
  x0
x f (t )  f ( x0 ) dt  ( x0  x) sup f (t )  f ( x0 ) si x  x0
t x , x0 

Dans les deux cas : F ( x)  F ( x0 )  ( x  x0 ) f ( x0 )  x0  x sup f (t )  f ( x0 )
t[ x , x0 ]

Donc
F ( x)  F ( x0 )
 f ( x0 )  sup f (t )  f ( x0 )
x  x0
t[ x , x0 ]

Or, sup f (t )  f ( x0 ) x
 0 . En effet :
 x0
t[ x , x0 ]

Soit   0 , soit   0 tel que x  I , x  x0    f ( x)  f ( x0 )   (  existe car f
est continue en x 0 ). Alors, pour x  I tel que x  x0   , on a t  [ x, x0 ] , x0  t   .

Donc t  [ x, x0 ] , f (t )  f ( x0 )   .

Donc sup f (t )  f ( x0 )   , soit sup f (t )  f ( x0 )  
t[ x , x0 ]

t[ x , x0 ]



Donc   0,   0, x  I ,  x  x0    sup f (t )  f ( x0 )    , ce qui montre la
t[ x , x0 ]





limite voulue.
D’où on tire alors le résultat voulu.
B) Remarques
Soit f une fonction définie sur I, où I est un intervalle. On suppose f non continue,
mais cependant continue par morceaux sur tout segment contenu dans I.
Alors, pour tout a  I , F : I  R
est parfaitement définie car f est continue
x
x  f (t )dt
a
par morceaux sur le segment [a, x] .

 Elle est continue :
Soit x0  I , h  0 . Soit S  x0  h, x0  h  I . Pour tout x  S , on a :
F ( x)  F ( x0 ) 

x
x0
f (t )dt  x0  x sup f (t )
tS
Donc F est lipschitzienne sur S, donc sur un voisinage de x 0 . Donc F est continue
en x 0 .
De plus, la démonstration précédente montre que F est dérivable en tout x0  I
où f est continue.
En revanche, F n’est pas dérivable en un x 0 où f n’est pas continue. Exemple :


l'
l
x0  h
x0 x0  h
f étant continue par morceaux sur un segment contenant x 0 , elle admet une limite
droite en x0 , disons l '
finie à 
gauche en x0 , disons l
En se plaçant dans le cas de la figure :
F est dérivable de dérivée fsur x0  h, x0  , mais aussi sur x0 , x0  h .
Si F était dérivable en x 0 , le théorème sans nom dirait :
lim F ' ( x)  F ' ( x0 )  lim F ' ( x) , d’où contradiction.
x  x0
x  x0
x  x0



x  x0



l
l'
C) Conséquence du théorème
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
Alors :
(1) f admet des primitives sur I.
(2) Si G est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement
les G  cte
x
(3) Pour tout a  I , x   f (t )dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
a
(4) Si G est une primitive de f, alors, pour tout a, b  I , on a :

b
a
f (t )dt  G(b)  G(a) , noté G(t )a
b
Démonstration :
x
(1) Voir théorème : si on se donne a  I , F : x   f (t )dt est une primitive de f.
a
(2) Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors :
t  I , F ' (t )  G ' (t ) , donc t  I , ( F  G )' (t )  0 . Donc F  G  cte car I est un
intervalle.Inversement, si G est une primitive, alors G  cte en est aussi une
x
(3) x   f (t )dt est une primitive, elle est nulle en a, et c’est la seule d’après
a
(2).
(4) Soit G une primitive de f. Alors la fonction F : t  G (t )  G (a) est une
b
primitive de f qui s’annule en a. Alors  f (t )dt  F (b)  G(b)  G(a)
a
D) Exercices d’application

x
Soit F : x   e t dt . Alors, comme t  e t est continue sur R, F est définie
2
2
0
et dérivable sur R, et : x  R , F ' ( x)  e  x . D’où étude (en exercice)…
2

Soit  : x  
-
Déjà,
x2
x
et
dt .
t 1
et
et
a
un
sens
lorsque
est définie et continue
dt
f
:
t

x t  1
t 1
(intégrable suffit mais ici c’est pareil…) sur le segment [ x, x 2 ] , c'est-à-dire
x2

lorsque 1 n’appartient pas au segment [ x, x ] , c'est-à-dire lorsque x  1 ou
2

-
 1  x  1 . Ainsi, le domaine de définition de  est D  1, \ 
1
Justifier que  est dérivable sur D, donner  ' ( x) :
o Dérivabilité sur 1, :
fest continue sur l’intervalle 1, . Donc elle y admet une primitive,
disons F. Alors x  1,,  ( x)  F ( x 2 )  F ( x) ((4) du théorème
précédent). Donc  est dérivable sur 1, et, pour tout x  1, :
2
2 xex
ex
 ' ( x)  2 xF ' ( x )  F ' ( x)  2 
x 1 x 1
o Dérivabilité sur  1,1 : analogue.
2
E) Les choses fausses


f intégrable sur un segment a, b 
 f admet une primitive sur a, b
f admet une primitive sur a, b 
 f est intégrable sur a, b
Exemples :
 Si fest continue par morceaux sur a, b (mais pas continue)
Alors f est intégrable sur a, b , mais n’admet pas de primitive sur a, b :
Si F en était une, il y aurait contradiction avec le théorème sans nom pour F ' (c ) où
c est un point de discontinuité.
1
 2
 x sin 2 si x  0,1
 Considérons F : x  
x

0 si x  0
Alors F est dérivable sur 0,1 , et :
1
2
1
1 2
1
x  0,1, F ' ( x)  2 x sin 2  3 x 2 cos 2  2 x sin 2  cos 2
x
x
x
x
x
x
F ( x)  F (0)
1
 x sin 2 x
 0 . Donc F est
De plus, pour tout x  0,1 :
0
x0
x
dérivable en 0 et F ' (0)  0
1

2 x sin 2 si x  0,1
La fonction g : x  
est continue sur 0,1 . Elle y admet donc
x

0 si x  0
une primitive G. Ainsi, pour tout x  0,1 :
2
1
cos 2  G ' ( x)  F ' ( x)
x
x
1
2
 cos 2 si x  0,1
La fonction x   x
admet donc une primitive sur 0,1 (à savoir
x

0 si x  0
G  F ), mais elle n’est pas intégrable car non bornée.
(Remarque : elle n’est pas continue en 0, ni continue par morceaux sur 0,1 car, en
0, il n’y a pas de limite finie à droite)

On rappelle aussi que pour f continue sur D, si F est une primitive de f sur D, il
est faux en général que les primitives de f sur D sont les F  cte (car D n’est
pas forcément un intervalle)
II Tableau des primitives usuelles
Tableau donnant la valeur en x d’une primitive F pour une fonction f continue sur un
intervalle I :
f
I
F
x  xn , n  N
R
x
x  x n , n  2
R * ou R *
xx
1
R *
R *
R*
x n 1
 cte
n 1
x  n 1
x
 cte
 n 1
x  ln x  cte 
 x  ln x  cte
x  ln(  x)  cte 
xe
x  cos x
R
R
x  1
 cte
 1
x  e x  cte
x  sin x  cte
x  sin x
R
x   cos x  cte
x  ch x
x  sh x
1
x
1 x2
1
x
1 x2
1
x
1 x2
1
x
x2 1
R
R
x  sh x  cte
x  ch x  cte
R
x  Arctan x  cte
 1,1
x  Arcsin x  cte
ou x  Arccos x  cte
R
x  Argsh x  cte
1,
 ,1
x  Argch x  cte
x  Argch ( x)  cte
1
1
x   ln 1  x  ln 1  x  cte
2
2
x  Argth x  cte
x  x  ,   R \  1
x
1
x
1 x2
x  tan x

 ,1,  1,1, 1,
 1,1
1,,  ,1
x
x  Argcoth x  cte

 

I k     k ,  k  x   ln cos x  cte
2
 2

III Intégration par parties
A) Théorème
Théorème :
Soient a, b  R .
Soient f, g deux fonctions de classe C1 sur le segment [a, b] .

Alors

b
a
f (t ) g ' (t )dt   f (t ) g (t )   f ' (t ) g (t )dt .
b
b
a
a
Démonstration :
t  f (t ) g ' (t ) et t  f ' (t ) g (t ) sont continuessur [a, b] , donc déjà les deux

intégrales on un sens. De plus, une primitive de la fonction t  f ' (t ) g (t )  f (t ) g ' (t )
 ( f (t ) g ' (t )  f ' (t ) g (t ))dt   f (t ) g (t )
b
(continue) est t  f (t ) g (t ) . Donc
b
a
a
D’où le résultat par linéarité.
B) Exemples pratiques
1
  Arctan t dt
0
tArctan t 10  0
1


intégration par parties
1
f ( t )  Arctan t f '( t )  2
t 1
g '( t ) 1
g ( t ) t
1
t2
 1
 1
dt   ln( 1  t 2 ) 0   ln 2
2
1 t
4 2
4 2


Remarque : pour tout x  R , on a de même :
x
1
2

0 Arctan t dt  xArctan x  2 ln( 1  x )  cte
0
x
Or, x   Arctan t dt est une primitive de la fonction continue Arctan . Ainsi,
0
1
une primitive de Arctan est x  xArctan x  ln( 1  x 2 )
2
On trouve parfois (mais il faut éviter de l’utiliser) la notation :
1
x dx  xArctan x  ln( 1  x 2 )  cte
Arctan
2

 

intégraleindéfinie

Pour tout x  R * ,

x
1
t ln t 1x  1 dt  x ln x  x  1
x

ln tdt

1
t
g ( t ) t
f ( t ) ln t f '( t ) 
g '( t ) 1
Ainsi, une primitive de ln sur R * est x  x ln x  x .
Pour tout n  N (voire même Z \ 1) :
x

x
1
n 1
x t
 t n1

1
1  n1
x n1 
 x ln x 
  cte
t ln tdt  
ln t   
dt 

n 1
n  1 
1
 n  1 1 1 n  1 t
n
( n 1) 2
pour n  1 :
x ln t
x ln t
x
2
1 t dt  ln t 1  1 t dt , d’où



x
1
ln t
1
dt  ln 2 x
t
2
x
Pour tout x  R , n  N on note I n ( x)   t n e t dt
0
Alors :

x
I n1 ( x)   t n1e t dt  t n1e t
0




0


x
x
0

 (n  1) t n e t dt  x n1e x  (n  1) I n ( x)

0

x sin xdx   x cos x 0   2 x cos xdx
2
2
0
et


0
2 x cos xdx  x sin x0   sin xdx  cos x0 . Donc



0


0
x 2 sin xdx   2  4
C) Formule de Taylor avec reste intégral
Théorème :
Soient a, b  R , n  N .
Soit f de classe C n 1 sur [a, b] .

Alors :
f (b)  f (a)  (b  a) f ' (a) 
n
b (b  x)
(b  a) 2
(b  a) n ( n )
f ' ' (a)  ... 
f (a)  
f ( n 1) ( x)dx
a
2!
n!
n!
Démonstration : par récurrence sur n.
Pour n  0 : le théorème dit que pour f de classe C 1 sur [a, b] :

b
f (b)  f (a)   f ' (t )dt . Ok
a
Soit n  N , supposons le théorème vrai pour n.
Déjà, f est de classe C n 1 , donc :
n
b (b  x)
(b  a) n ( n )
f (b)  f (a)  (b  a) f ' (a)  ... 
f (a)  
f ( n1) (a)dx
a
n!
n!

Rn
b
b  (b  t )
  (b  t )

f ( n 1) (t )  
Or, Rn  
(n  1)!

 a a (n  1)!



n 1
n 1
f ( n  2) (t )dt
( b  a ) n1 ( n1)
f
(t )
( n 1)!
Ce qui achève la récurrence.
Intérêt de la formule : très simple à démontrer par rapport aux autres.
IV Changement de variable
A) Le théorème
Théorème :
Soient a, b  R .
Soit  : [a, b]  R de classe C 1 .

Soit f une fonction continue sur un intervalle I contenant  ([ a, b]) (et à valeurs

réelles)
Alors

b
a
 (b )
f ( (t )) ' (t )dt  
 (a)
f ( x)dx
 x   (t )
On dit qu’on a fait le changement de variable 
dx   ' (t )dt
Démonstration :
 La fonction t  f ( (t )) ' (t ) est continue sur [a, b] .

En effet,  est de classe C sur [a, b] , et f est continue sur I, contenant  ([ a, b]) .
1


Donc f   est continue sur [a, b] .

Enfin,  est de classe C sur [a, b] , donc  ' est continue sur [a, b] .
1


Donc, par produit, t  f ( (t )) ' (t ) est continue sur [a, b] .

 La fonction f est continue sur I. Elle y admet donc une primitive F.
Alors t  F ( (t )) est dérivable sur [a, b] , de dérivée t  F ' ( (t )) ' (t ) , soit

t  f ( (t )) ' (t )
 Ainsi, la fonction continue t  f ( (t )) ' (t ) admet la primitive t  F ( (t )) .
Donc

b
a
f ( (t )) ' (t )dt  F ( (t ))a
b
Or, F ( (t )) a  F ( (b))  F ( (a))  F (t ) ( a )  

 (b )
b
 (b )
 (a)
f ( x)dx .
(Puisque f est continue sur I, qui contient  (a ) et  (b) etF en est une primitive)
B) Exemples

  2t sin( t 2 )dt
0
2
1
x
1
ln t
dt 

t
u ln t
2
0

changement de variable
2
x t
dx  2 tdt
  t 3 ln( 1  t 4 )dt






x 1t 4
dx 4t 3dt
ln x
0
sin xdx   cos x 0  1  cos( 2 )
2
1 17
1
1
17
ln xdx  x ln x  x2  (17 ln 17  17  2 ln 2  2)

2
4
4
4
ln x
1
1 
udu   u 2   ln 2 x
2
 2 0
t
du  dt
t
1
  1  t dt
0

2

t  cos 
dt   sind

0
2
  1  cos  sin d   2 
sin
 sin d 



2
0
2
 sin
pour  0 , 2
 

pour   ,t  0
2
pour  0 ,t 1

4
(dans ce dernier, on va « de droite à gauche », contrairement aux autres exemples.)
Ici,  :   cos  (de classe C 1 sur R), f : t  1  t 2 (continue sur  1,1 )
1
1
Remarque : on pouvait voir que  1  t 2 dt correspond aussi à
de l’aire du
0
4
cercle trigonométrique…



1 dt
(1  tan 2 2 )d
d
d
2
 2
 2


2
2
2



0 2  cos 
0
0
0 3 t2

1  tan 2
3  tan 2

t

tan
2
2
dt  12 (1 tan 2 2 ) d
1  tan 2 2

2 1
3 0
dt
2

2 3 1 / 3 du
2 3

Arctan (1 / 3 )
2

3 0 1 u
3
 t  u t/ 3
1  
 du  dt / 3
 3
Variante : on peut faire aussi plutôt le changement de variable :
   2Arctan t

d  2dt

1 t2

1 t 2
(on a cos  
; pour t  0,   0 , pour t  1,   )
2
2
1 t
2
dt

2
1
d

1

t
2
0 2  cos  0 1  t 2  ...
2
1 t2
C) Application aux fonctions paires, impaires, périodiques
Proposition :
Soit I un intervalle de R contenant 0 et symétrique par rapport à 0.
Soit f : I  R continue. Alors :
x
Si f est paire, alors x  I ,  f (t )dt  
0
x
0
x
Si f est impaire, alors x  I ,  f (t )dt  
0
f (t )dt (et
x
0

f (t )dt (et
x
x
x
x
f (t )dt  2 f (t )dt )

x
0
f (t )dt  0 )
Démonstration :
Pour tout x  I , on a :

x
0
f (t )dt 

x
0

u t
du   dt
 f (u )du , et on obtient le résultat voulu dans les deux cas.
Proposition :
Soit f une fonction T-périodique sur R et continue. Alors :

(1) pour tout a, b  R ,
b T
a T
b
f (t )dt   f (t )dt
a
(L’intégrale de f est invariante par translation de vecteur T de l’intervalle
d’intégration)
(2) pour tout a  R ,

a T
a
T
f (t )dt   f (t )dt
0
(L’intégrale de f sur un segment d’amplitude T ne dépend pas de ce segment)
Démonstration :
(1) On fait le changement de variable u  t  T ( du  dt )
(2) Relation de Chasles :

a T
a
0
T
a T
T
f  f  f  f  f
a
0
T

 0
a
 f
0
Application :
3

3

d
d
d
d



 2
 2  cos 
 2  cos 
 2  cos 
 2  cos 

d
2  cos 
1
car  
est
2  cos 
2 - périodique
 
Et : 

0


1
2  cos 
est paire
car  
4

0
d
2  cos 
x
a
d
d
d
 lim 
car x  
est continue, (et même
0
0
a


2  cos 
2  cos  a 
2  cos 
dérivable)
Pour tout a  0,   :

a
0
tan a
d
dt
2 3
 2 2

2
0
2  cos 
3 0
3t
Donc
3
d
  2  cos


1
3
tan a2
 tan a2 
du
2 3
3

 a

Arctan



2
3
3
1 u
 3 
4 3

3
V Un théorème de la moyenne
Théorème :
Soit f : a, b  R , continue.
Alors il existe c  a, b (et même a, b si a  b ) tel que :

b
a
f (t )dt  (b  a) f (c) .
Démonstration :
C’est le théorème des accroissements finis appliqué à une primitive de F de la fonction
continue f.
(Le théorème est horsprogramme, il faut donc le redémontrer à chaque fois…)
Ainsi, la valeur moyenne de f sur a, b est une valeur atteinte (d’où le nom du
théorème). Attention, ce théorème ne se généralise pas aux fonctions à valeurs dans C !
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