Suites et séries de fonctions

Cadre :
On va parler de suites et séries de termes généraux
EAun:
où A est une partie d’un evn, et
E est un evn.
I Convergence simple
A) Définition
 Suite de fonctions :
On dit que la suite de fonctions
Nnn
f)(
,
EAfn:
converge simplement sur A
lorsque pour tout
Ax
, la suite de terme général
Nnn xf ))((
converge.
La fonction g définie sur A par
)(lim)(, xfxgAx n
n
s’appelle limite simple
de
Nnn
f)(
.
 Séries de fonctions :
On dit que la série de terme général
EAun:
converge simplement sur A
lorsque pour tout
Ax
, la série de terme général
)(xun
converge, c'est-à-dire si la suite
des sommes partielles
n
kkn uS 0
converge simplement sur A.
 Domaine de convergence simple :
Il peut arriver qu’il n’y ait pas convergence simple sur tout le domaine de
définition des fonctions (ici A)
Dans ce cas, l’ensemble des x en lesquels la série converge s’appelle le domaine de
convergence simple.
Dans le cadre des séries, le domaine de convergence simple est le domaine de
définition de la fonction somme totale.
B) En pratique
L’étude de la convergence simple correspond à celle d’une suite ou d’une série
avec un paramètre.
Exemples sur les séries :
 Série géométrique :
Le domaine de convergence simple complexe de
0n
n
x
est le disque unité (ouvert)
 Exponentielle :
Le domaine de convergence simple complexe de
0! n
n
n
x
est C.
(D’après le critère de d’Alembert pour
0x
:
0
1
n
n
u
u
)
0n
n
n
x
: domaine de définition complexe ?
D’après le critère de D’Alembert (pour
0z
), la série converge si
1z
, diverge
si
1z
.
Pour
1z
:
- Cas réel :
Pour
1z
, la série diverge, pour
1z
, elle converge (critère de Leibniz)
Suites et séries de fonctions

- Cas complexe : (
1z
,
1z
)
On a, pour tout
*Nn
,
1
0
1
1dtt
nn
. Donc :
n
dt
tz
tz
z
tz
dt
zdt
tz
tz
z
dtztzdtt
k
z
n
A
n
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
1
0
1
0
1
0
1
01
1
1
1
0
1
1
1)( 11 )(1
.
A est l’intégrale d’une fonction continue, donc définie (
01 tz
)
Et
111
1
0
1
0
1
0
 nM dttMdt
tz
t
dt
tz
tz
zn
n
n
n
Où
M
,
tz
t11 :
bornée.
Ainsi,
0
n
, donc la série converge et
1
0
11tz
dt
z
k
z
n
k
.
Calcul :
Comme
1z
, on a
i
ez 
où
\2,0
. Ainsi :
)tan(Arctan
cossin2 sin2
Arctansin2ln
tan
1
Arctan
sin
cos1
Arctan1ln
sin
cos
Arctanln
sin
cos
Arctanln
1
2
22
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ii
iie
t
iet
t
iet
et dt te
dt
e
i
i
i
ii
i
Pour
,0
,
)(sin2ln)(sin2ln
122222
1
0
i
i
ii
te
dt
e
 Etude de
1
)( n
s
ns
pour
Cs
Si
Rs
, la série converge si et seulement si
1s
.
Pour
Cs
:
On pose
s
nn
su 1 )( 
; ainsi,
)Re(
1
)( s
nn
su 
Si
1)Re( s
, il y a convergence absolue.
Si
0)Re( s
, il y a divergence grossière (la suite ne tend pas vers 0).
Si
1;0)Re( s
:
On pose
1 )( n
ns
nt
dt
sv
Etude de
n
v
:
On pose
)1(
11
)( 1
1
1
1
s
n
s
n
k
k
ks
nn
st
dt
t
dt
sV
Ainsi, la série de terme général
)(svn
converge si et seulement si la suite de terme
général
)(sVn
converge.
Si
1;0)Re( s
,
  )Re(11 ss nn
, et la série diverge.
Si
1)Re( s
(
1s
),
ibs1
où
*Rb
et
nibibsenn ln1
.
Supposons que
nib
neln
converge vers
Cl
.
Alors
l
n
n 2
)(
2
. Donc
2
ll 
, soit
1l
(car
1l
)

Soit
0k
réel.
On pose
)1()()( OknknEn 
Alors
1.~ )ln(2)ln(2)/1()ln(2))1(ln(2
)(   kib n
kibnOknibOknib
neleee
Donc
1,0 )ln(2  kib ek
, ce qui est impossible.
Donc la suite
1
)( nn
diverge, et donc
*
))(( Nnn sV
aussi.
Ainsi,
1)( nnsv
a pour domaine de définition
1)Re(,  zz C
Etude de la série de terme général
 1
1n
nss
nt
dt
n
w
pour
1)Re(0  s
et
1s
.
On a
 11 111 n
nss
n
nss
ndt
tnt
dt
n
w
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à
s
u
uf 1 :
sur
1,,  nntn
, on a
1)Re(
)0()(   s
n
snt
fnf
(Car
1)Re(
)()(   s
n
snt
tfnf
)
Donc
1)Re(
1
1)Re(
1
1)Re( 
 s
n
n
s
n
ns
nn
s
dtnt
n
s
dt
n
snt
w
, terme général d’une série
convergente.Donc la série de terme général
n
w
converge absolument, donc converge.
Ainsi, le domaine de définition de est
1)Re(,  zz C
(
11 nn nnvw
)
C) Inconvénients de la convergence simple
En général, par passage à la limite simple, on perd les propriétés analytiques des
fonctions.
Exemple :
La série de terme général
nx
nxenxu 
:
.
Pour
0x
la série converge.
Si
0x
,
xx
n
nee
n
n
xu xu 
)1(
)( )(
1
Donc le domaine de convergence est
,0
Dans le cas particulier où
0
, on a
0 si
1
0 si 0
)( x
e
xx
xs x
Et donc
)0(1)(lim
0sxs x
, donc la continuité est perdue.
Pour
2
21
)( n xxfn
, la suite de terme général
n
f
converge simplement vers
xx 
qui n’est pas dérivable en 0 alors que les
n
f
sont de classe
C
.
Donc le caractère dérivable peut se perdre par passage à la limite simple.
Lien avec les intégrales :
Problème :
A t’on
 b
an
n
b
an
ndttfdttf )(lim)(lim
, ou
b
ann
n
b
anuu 00
?
Réponse : non en général. Il faut des hypothèses supplémentaires, la convergence
simple ne suffit pas.
Exemple :

On pose
nx
nxenxf 
)(
. Pour quels a-t-on
 1
0
1
0limlim n
n
n
nff
?
Pour
1;0x
, on a
0lim 
n nf
Donc pour tout ,
0lim
1
0
n
nf
Mais pour
1n
,
 1
0
.1
1
0
.
1
0
.
1
0
1dtente
n
ndttenf tntntn
n
Soit
221
1
0~)1( 
nenenf n
nn
n
Conclusion :
Si
2
, on a bien l’égalité.
Si
2
,
1lim 1
0
n nf
et
0lim
1
0
n
nf
.
Si
0
,
1
0
lim n
nf
En général, on ne peut donc pas intervertir l’intégrale et la limite.
Explication :
Graphe de
n
f
pour
2
:
)1()(' 2ntentf nt
n 
10
n/1
n
f'
0+ -
n
f
0
n
n
en 2
1n
2n
On a un phénomène de bosse glissante :
- Justification de la convergence simple :
En
0x
, ok
Pour
0x
: au bout d’un certain temps, la bosse est à gauche de x et à partir d’un
certain rang,
)(xfn
décroît vers 0.
- Minoration de
1
0n
f
: la bosse a une largeur en
n
1
, une hauteur en n, donc
1
0n
f
est minorée par une constante.
II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale des séries
A) Définition
 Suites de fonctions :
On dit que la suite de terme général
Nnn
f)(
où
EAfn:
converge
uniformément sur A vers g si elle vérifie :
(1)
 E
nxgxfAxNnN )()(,,,,0 N
(2) C'est-à-dire si
)( gfn
est bornée à partir d’un certain rang
0
n
et si
0lim
0
gfn nn
n
Montrons l’équivalence :
Supposons (1) : pour tout
0
, on peut trouver
)( N
tel que

 E
nxgxfAxNn )()(,),(
- Pour
1
: cela montre qu’à partir du rang
)1(N
,
gfn
est bornée par 1.
- De plus, pour tout
0
et
)( Nn 
,
gfn
est bornée par .
Donc
gfNn n ),(
, c'est-à-dire (2).
Supposons (2)
Soit
0
. Il existe alors
0
nN 
tel que
gfNn n ,
.
Alors, pour tout
Nn 
et tout
Ax
,
gfxgxf n
E
n)()(
 Convergence uniforme des séries :
Définition :
On dit que la série de terme général
Nnn
u)(
converge uniformément sur A si la
suite des somme partielles
n
kkn uS 0
converge uniformément sur A.
 Convergence normale des séries :
Définition :
On dit que la série de terme général
Nnn
u)(
est normalement convergente si pour
tout n,
n
u
est bornée et si la série de réels positifs
n
u
converge.
 Illustrations :
(1) Soit
RR :f
continue. On pose
)()( 1
n
nxfxf 
.
n
f
converge uniformément sur R si et seulement si f est uniformément continue.
(2)
0nn
u
où
nx
nxenxu 
:
(le domaine de convergence de la série est
,0
)
Etude de la convergence normale :
11
1)( 
 enuu n
nn
On a donc convergence normale si et seulement si
11 
c'est-à-dire
0
.
A-t-on convergence uniforme ?
Pour
0
, il y a convergence normale donc uniforme (car R est complet, vu
après)
Si
0
:
Posons
0
)( n
nx
xenxS
On veut savoir si
0 
n
SS
Pour
0x
,
11
)()( nk
kx
nk
kx
nxexekxSxS
Si
0x
,
x
xn
ne
xe
xSxS   1 )()( )1(
Donc
 1
)1/(1
1
1
11)1/(1
))((  n
n
nn en
eSSSS
Donc il n’y a pas convergence uniforme.
Ainsi, dans ce cas, il y a convergence uniforme si et seulement si il y a
convergence normale c'est-à-dire si et seulement si
0
.
B) Cas des fonctions bornées : interprétation topologique
On note
),( EAB
l’ensemble des fonctions bornées de A dans E, muni de avec
E
Aa aff )(sup
.
Pour une suite de fonctions bornées
Nnn
f)(
:
Nnn
f)(
converge uniformément vers
g signifie que
Nnn
f)(
converge vers g dans
)),,((  EAB