Cadre :
On va parler de suites et séries de termes généraux
EAun:
A est une partie d’un evn, et
E est un evn.
I Convergence simple
A) Définition
Suite de fonctions :
On dit que la suite de fonctions
Nnn
f)(
,
EAfn:
converge simplement sur A
lorsque pour tout
Ax
, la suite de terme général
Nnn xf ))((
converge.
La fonction g définie sur A par
)(lim)(, xfxgAx n
n
s’appelle limite simple
de
Nnn
f)(
.
Séries de fonctions :
On dit que la série de terme général
EAun:
converge simplement sur A
lorsque pour tout
Ax
, la série de terme général
)(xun
converge, c'est-à-dire si la suite
des sommes partielles
n
kkn uS 0
converge simplement sur A.
Domaine de convergence simple :
Il peut arriver qu’il n’y ait pas convergence simple sur tout le domaine de
définition des fonctions (ici A)
Dans ce cas, l’ensemble des x en lesquels la série converge s’appelle le domaine de
convergence simple.
Dans le cadre des séries, le domaine de convergence simple est le domaine de
définition de la fonction somme totale.
B) En pratique
L’étude de la convergence simple correspond à celle d’une suite ou d’une série
avec un paramètre.
Exemples sur les séries :
Série géométrique :
Le domaine de convergence simple complexe de
est le disque unité (ouvert)
Exponentielle :
Le domaine de convergence simple complexe de

0!
n
n
n
x
est C.
(D’après le critère de d’Alembert pour
0x
:
0
1
n
n
u
u
)

0n
n
n
x
: domaine de définition complexe ?
D’après le critère de D’Alembert (pour
0z
), la série converge si
1z
, diverge
si
1z
.
Pour
1z
:
- Cas réel :
Pour
1z
, la série diverge, pour
1z
, elle converge (critère de Leibniz)
Suites et séries de fonctions
- Cas complexe : (
1z
,
1z
)
On a, pour tout
*Nn
,
1
0
1
1dtt
nn
. Donc :
n
dt
tz
tz
z
tz
dt
zdt
tz
tz
z
dtztzdtt
k
z
n
A
n
n
k
kk
n
k
kk
n
k
k
1
0
1
0
1
0
1
01
1
1
1
0
1
1
1)(
11 )(1
.
A est l’intégrale d’une fonction continue, donc définie (
01 tz
)
Et
111
1
0
1
0
1
0
nM
dttMdt
tz
t
dt
tz
tz
zn
n
n
n
M
,
tz
t11
:
bornée.
Ainsi,
0
n
, donc la série converge et

1
0
11tz
dt
z
k
z
n
k
.
Calcul :
Comme
1z
, on a
i
ez
 
 
\2,0
. Ainsi :
 
 
)tan(Arctan
cossin2 sin2
Arctansin2ln
tan
1
Arctan
sin
cos1
Arctan1ln
sin
cos
Arctanln
sin
cos
Arctanln
1
2
22
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
ii
iie
t
iet
t
iet
et dt
te
dt
e
i
i
i
ii
i
Pour
 
,0
,
)(sin2ln)(sin2ln
122222
1
0
i
i
ii
te
dt
e
Etude de

1
)( n
s
ns
pour
Si
, la série converge si et seulement si
1s
.
Pour
:
On pose
s
nn
su 1
)(
; ainsi,
)Re(
1
)( s
nn
su
Si
1)Re( s
, il y a convergence absolue.
Si
0)Re( s
, il y a divergence grossière (la suite ne tend pas vers 0).
Si
 
1;0)Re( s
:
On pose
1
)( n
ns
nt
dt
sv
Etude de
n
v
:
On pose
)1(
11
)( 1
1
1
1
s
n
s
n
k
k
ks
nn
st
dt
t
dt
sV
Ainsi, la série de terme général
)(svn
converge si et seulement si la suite de terme
général
)(sVn
converge.
Si
 
1;0)Re( s
,
)Re(11 ss nn
, et la série diverge.
Si
1)Re( s
(
1s
),
ibs1
*Rb
et
nibibsenn ln1
.
Supposons que
nib
neln
converge vers
Cl
.
Alors
l
n
n2
)(
2
. Donc
2
ll
, soit
1l
(car
1l
)
Soit
0k
réel.
On pose
)1()()( OknknEn
Alors
1.~ )ln(2)ln(2)/1()ln(2))1(ln(2
)( kib
n
kibnOknibOknib
neleee
Donc
1,0 )ln(2 kib
ek
, ce qui est impossible.
Donc la suite
1
)( nn
diverge, et donc
*
))(( Nnn sV
aussi.
Ainsi,
1)(
nnsv
a pour domaine de définition
 
1)Re(, zz C
Etude de la série de terme général
1
1n
nss
nt
dt
n
w
pour
1)Re(0 s
et
1s
.
On a
11 111 n
nss
n
nss
ndt
tnt
dt
n
w
D’après le théorème des accroissements finis appliqué à
s
u
uf 1
:
sur
 
1,, nntn
, on a
1)Re(
)0()(
s
n
snt
fnf
(Car
1)Re(
)()(
s
n
snt
tfnf
)
Donc
1)Re(
1
1)Re(
1
1)Re(
s
n
n
s
n
ns
nn
s
dtnt
n
s
dt
n
snt
w
, terme général d’une série
convergente.Donc la série de terme général
n
w
converge absolument, donc converge.
Ainsi, le domaine de définition de
est
 
1)Re(, zz C
(


11 nn
nnvw
)
C) Inconvénients de la convergence simple
En général, par passage à la limite simple, on perd les propriétés analytiques des
fonctions.
Exemple :
La série de terme général
nx
nxenxu
:
.
Pour
0x
la série converge.
Si
0x
,
xx
n
nee
n
n
xu xu
)1(
)( )(
1
Donc le domaine de convergence est
 
,0
Dans le cas particulier où
, on a
0 si
1
0 si 0
)( x
e
xx
xs x
Et donc
)0(1)(lim
0sxs
x
, donc la continuité est perdue.
Pour
2
21
)( n
xxfn
, la suite de terme général
n
f
converge simplement vers
xx
qui n’est pas dérivable en 0 alors que les
n
f
sont de classe
C
.
Donc le caractère dérivable peut se perdre par passage à la limite simple.
Lien avec les intégrales :
Problème :
A t’on
b
an
n
b
an
ndttfdttf )(lim)(lim
, ou


b
ann
n
b
anuu 00
?
Réponse : non en général. Il faut des hypothèses supplémentaires, la convergence
simple ne suffit pas.
Exemple :
On pose
nx
nxenxf
)(
. Pour quels
a-t-on
1
0
1
0limlim n
n
n
nff
?
Pour
 
1;0x
, on a
0lim
n
nf
Donc pour tout
,
0lim
1
0
n
nf
Mais pour
1n
,
1
0
.1
1
0
.
1
0
.
1
0
1dtente
n
ndttenf tntntn
n
Soit
221
1
0~)1(

nenenf n
nn
n
Conclusion :
Si
, on a bien l’égalité.
Si
,
1lim 1
0
n
nf
et
0lim
1
0
n
nf
.
Si
,


1
0
lim n
nf
En général, on ne peut donc pas intervertir l’intégrale et la limite.
Explication :
Graphe de
n
f
pour
:
)1()(' 2ntentf nt
n
10
n/1
n
f'
0+ -
n
f
0
n
n
en 2
1n
2n
On a un phénomène de bosse glissante :
- Justification de la convergence simple :
En
0x
, ok
Pour
0x
: au bout d’un certain temps, la bosse est à gauche de x et à partir d’un
certain rang,
décroît vers 0.
- Minoration de
1
0n
f
: la bosse a une largeur en
n
1
, une hauteur en n, donc
1
0n
f
est minorée par une constante.
II Convergence uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale des séries
A) Définition
Suites de fonctions :
On dit que la suite de terme général
Nnn
f)(
EAfn:
converge
uniformément sur A vers g si elle vérifie :
(1)
E
nxgxfAxNnN )()(,,,,0 N
(2) C'est-à-dire si
)( gfn
est bornée à partir d’un certain rang
0
n
et si
0lim
0
gfn
nn
n
Montrons l’équivalence :
Supposons (1) : pour tout
0
, on peut trouver
)(
N
tel que
E
nxgxfAxNn )()(,),(
- Pour
1
: cela montre qu’à partir du rang
)1(N
,
gfn
est bornée par 1.
- De plus, pour tout
0
et
)(
Nn
,
gfn
est bornée par
.
Donc
gfNn n
),(
, c'est-à-dire (2).
Supposons (2)
Soit
0
. Il existe alors
0
nN
tel que
gfNn n
,
.
Alors, pour tout
Nn
et tout
Ax
,
gfxgxf n
E
n)()(
Convergence uniforme des séries :
Définition :
On dit que la série de terme néral
Nnn
u)(
converge uniformément sur A si la
suite des somme partielles
n
kkn uS 0
converge uniformément sur A.
Convergence normale des séries :
Définition :
On dit que la série de terme général
Nnn
u)(
est normalement convergente si pour
tout n,
n
u
est bornée et si la série de réels positifs
n
u
converge.
Illustrations :
(1) Soit
RR :f
continue. On pose
)()( 1
n
nxfxf
.
n
f
converge uniformément sur R si et seulement si f est uniformément continue.
(2)

0nn
u
nx
nxenxu
:
(le domaine de convergence de la série est
 
,0
)
Etude de la convergence normale :
11
1)(
enuu n
nn
On a donc convergence normale si et seulement si
11
c'est-à-dire
0
.
A-t-on convergence uniforme ?
Pour
0
, il y a convergence normale donc uniforme (car R est complet, vu
après)
Si
0
:
Posons

0
)( n
nx
xenxS
On veut savoir si
0
n
SS
Pour
0x
,


11
)()( nk
kx
nk
kx
nxexekxSxS
Si
0x
,
x
xn
ne
xe
xSxS
1
)()( )1(
Donc
1
)1/(1
1
1
11)1/(1
))((
n
n
nn en
eSSSS
Donc il n’y a pas convergence uniforme.
Ainsi, dans ce cas, il y a convergence uniforme si et seulement si il y a
convergence normale c'est-à-dire si et seulement si
0
.
B) Cas des fonctions bornées : interprétation topologique
On note
),( EAB
l’ensemble des fonctions bornées de A dans E, muni de
avec
E
Aa aff )(sup
.
Pour une suite de fonctions bornées
Nnn
f)(
:
Nnn
f)(
converge uniformément vers
g signifie que
Nnn
f)(
converge vers g dans
)),,((
EAB
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