Le dipôle électrostatique

Le dipôle électrostatique
I Champ et potentiel d’un dipôle
A) Définitions
Doublet :
Système de deux charges opposées  q en N,  q en P ( q  0 )
q
q
P
N

On définit le moment dipolaire électrique du doublet : P  q NP .
Un dipôle est un doublet pour lequel a  NP  distances caractéristiques.
Approximation dipolaire : on confond le doublet et le dipôle. (ainsi, la distance au
doublet est  a )
 q q
N P
M
B) Potentiel électrique du dipôle
q
q
N O P
r


P


e
e
 r
M e
z
On note O le milieu de [NP] , a  NP
On définit l’axe (Oz par la droite (NP) orientée par NP .
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées sphériques r ,  ,  .
On prend comme ½ plan   cte le plan de la feuille.
Potentiel créé en M :
q
q
V (M ) 

40 NM 40 PM
PM 2  ( PO  OM ) 2  PO 2  OM 2  2OM  PO 
Pour un dipôle, on a r  a .
  a
1
a2 
 ( PM 2 ) 1/ 2   r 2 1  cos   2  
PM
4r  
  r

1/ 2
a2
a
 r 2  2 r cos 
4
2
1 a
a2 
 1  cos   O( 2 ) 
r r
r 
1/ 2
1
a
a2 
1  cos   O( 2 ) 
r  2r
r 
1
1
a
a2 
a2
a
 1  cos   O( 2 )  .
 r 2  2 r cos  et
4
2
PM r  2r
r 
q  
a
a2 
a
a2 
  1  cos   O( 2 )   1  cos   O( 2 ) 
Ainsi, V ( M ) 
40 r   2r
2r
r 
r 
De même, NM 2 
a
a2 
 cos   O( 2 ) 
40 r  r
r 
Donc, à des termes en 1 / r 3 près :
 
P  er
qa cos 
V (M ) 

40 r 2
40 r 2

On l’appelle le potentiel du dipôle P en O.
On a une décroissante en 1 / r 2 , caractéristique du dipôle.

q
C) Champ électrique du dipôle



V  1 V 
1 V 
E ( M )  grad M V  
er 
e 
e  Er (r )er  E (r )e .
r
r 
r sin



 
V (M ) 
Donc
0
P cos 
.
40 r 2
V
r


 2P cos
V
et
3

40 r

r
 P sin 
40 r 2
2 P cos 
40 r 3

1 P sin 
Donc E ( M ) 
; Er , E décroissent en 1 / r 3
2
r 40 r
0

Avec r  OM :
  




3( P  r )r  r 2 P  3 pr cos  .r.er  r 2 ( p cos  .er  p sin  .e )


 2 pr 2 cos  .er  pr 2 sin  .e
  


3( P  r )r  r 2 P
Donc E ( M ) 
; cette formule peut ainsi être utilisée dans
40 r 5

n’importe quel système de coordonnées : r  OM et r  OM .
D) Lignes de champ et équipotentielles
1) Lignes de champ



Equation différentielle d’une ligne de champ : dM  E ( M )  0 .

E (M )
M
M’
dr
Er
  E r sin d  0


d  E  0   Er r cos d  0
E dr  E rd  0 (1)
r sin d 0
r
 
Les deux premières équations impliquent que d  0 , soit que   cte .
p sin 
2 p cos 
(1) 
dr 
rd  0
3
40 r
40 r 3
 sin  .dr  2r cos  .d
dr
cos 

2
d
r
sin 
 ln r  2 ln sin   cte
 r  Ksin 2
2) Equipotentielles
p cos 
 cte  r 2  K ' cos 
40 r

E (M )
V constant

P
O
V ( M )  cte 
z
Ligne de
champ
Remarque :
Pour une ligne de champ fermée  , parcourue « en suivant la flèche » :


E
(
M
)

d
M
   0
C 0


Mais E est à circulation conservative, donc C r ( E )  0 ( !?!)
En réalité, l’approximation dipolaire n’est pas valable au voisinage de O ;
plus précisément, on a pas, entre N et P, C  0 :

E (M )

E (M )

dM
N

dM
P
II Action d’un champ électrique uniforme sur un dipôle
On considère un doublet :
q
G
q

P  q NP

E0
P
N
On suppose de plus le doublet rigide, c'est-à-dire que a  NP  cte .

On considère un champ électrique extérieur E0 uniforme.
A) Mouvement du centre de masse
D’après le théorème de la résultante cinétique dans ( Rlab ) galiléen appliqué au
doublet  q en N ,q en P :







dvG
dP
m
 F q  F q  qE ( N )  qE ( P)  0
dt
dt
Donc G décrit un mouvement rectiligne uniforme.




Remarque : si E n’est pas uniforme,  Fext  q( E ( P)  E ( N ))
B) Théorème du moment cinétique
Théorème du moment cinétique appliqué à ce doublet dans ( Rlab ) , en un point
Afixe dans ( Rlab ) :

P
A
P
N

 
 
d
 M A ( F q )  M A ( F q )
dt


 AN  (qE0 )  AP  (qE0 )

 q( AN  AP)  E 0

 q NP  E 0
 
 P  E0

 
Soit M ext  P  E0




  Fext  0

  .
On dit que le champ E0 exerce sur le doublet un couple 
M

P
 E0


O


P
 

k  E0
  ( E0 ,̂ P)  0

C

k

E0



C
P
 
  ( E0 ,̂ P)  0

  
C  P  E0  PE0 sin  .k


Le couple a ainsi tendance à ramener le dipôle de façon à ce que P et E0 soient
alignés.
Positions d’équilibre :
 
E  0  sin   0 ; Si   0 , l’équilibre est stable, si    , il est instable.
III Développement multipolaire
A) Champ créé à grande distance par une distribution de charge donnée
V contenant la distribution
M
O
l
l  OM
QV   qi ou   ( P)dV( P )
qi V
V
1er cas : QV  0
Il crée à grand distance un champ identique à celui d’une charge ponctuelle Qv
située au barycentre G des charges ;
 q OM
i
i
i


   qi OG .
i
Qv
On parle alors de champ monopolaire.
Exemple de distribution de charge monopolaire :
petite échelle :
grande échelle :
2ème cas : QV  0 , et P, barycentre des charges positives, n’est pas confondu avec
N, barycentre des charges négatives :




qi OM i    qi OP et  qi OM i    qi ON

i tq qi  0
i tq qi  0 
i tq qi  0
i tq qi  0 








Q 0
Q 0
La distribution se comporte comme le dipôle  Q en N,  Q en P lorsqu’on en est
situé à grande distance.
Exemple de distribution de charge dipolaire : H 2 O
petite échelle :
grande échelle :
3ème cas : QV  0 et les barycentres sont confondus.


1
1
On obtient un champ de type quadripolaire, ( E  4 ), octopolaire ( E  5 )…
r
r
Exemple de distribution de charge quadripolaire : CO2
petite échelle :
grande échelle :
B) Application


Les molécules se comportent comme des dipôles, par exemple :
H  Cl  : Cl est plus électronégatif que H. Cette molécule équivaut à :


N
P

P   NP ; la molécule est dite dipolaire
(c’est un dipôle indépendamment de l’environnement)
 Forces de Van der Waals :
O1

P1
O2

P2
E1 (O2 )


Molécule en O2 , moment dipolaire P2 dans le champ créé par P1 en O1 .


1ère action : orientation ; P2 tend à s’aligner sur E1 (O2 )
2ème action : le champ est inhomogène, la résultante des forces est donc non nulle.

F q
N2
O2 P

2
F q Ligne de champ de P1


F q  qE1 ( N 2 )


F q  qE1 ( P2 )




F P2  q( E1 ( P2 )  E1 ( N 2 )) , dirigée comme  P2


(E décroît en 1 / r 3 , donc E1 ( N 2 )  E1 ( P2 ) )

Ainsi, F P2 est dirigée en moyenne vers O1 , on a donc une force attractive,
décroissante en 1 / r 7 . L’action a donc lieu à très courte distance.
 Action sur un diélectrique
Diélectrique : matériau composé de molécules polaires.
Exemple : eau, papier, isolants.
Bâton de verre chargé positivement

P
diélectrique

E
Molécules, orientées
dans le sens du champ

(1) Les dipôles (molécules) s’orientent dans le sens de E

(2) Le champ E n’est pas uniforme.

E

P

 qE (N )
q N
q P 
qE (P )


N est plus proche que P du bâton. Donc E ( N )  E ( P)


Donc Fdipôle est de sens opposé à E .

Fdiélectrique

Donc Fdiélectrique est dirigée vers le bâton. C’est vrai aussi pour une charge

négative (bâton d’ambre…), puisque alors E sera dans l’autre sens, mais N et P seront
aussi inversés, ce qui fait que la force exercée sur le dipôle sera dans le même sens que

E , c'est-à-dire vers le bâton.