Exemples de champs électrostatiques

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme III - 1
Exemples de champs électrostatiques
A. Exemples simples
A.1. Charge ponctuelle unique
Le champ électrique et le potentiel absolu en un point M induits par une charge ponctuelle q
placée en O sont : 
où  représente le vecteur  et  est le vecteur unitaire porté par  .
Ce champ possède une symétrie sphérique autour de O. Les équipotentielles sont des sphères
et les lignes de champs des droites issues de O.
Fig. 1 : Charge ponctuelle en O.
A.2. Champ uniforme
Un champ électrique uniforme est tel qu’il est identique en tout point de l’espace :
où a est une constante et  un vecteur unitaire fixe. Les lignes de champ sont donc des droites
parallèles à  et les équipotentielles des plans perpendiculaires à  . Un champ uniforme peut
donc être réalisé par un condensateur plan infini (cf. chapitre 4).

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme III - 2
Fig. 2 : Champ uniforme.
Pour calculer le potentiel nous pouvons choisir un repère cartésien Oxyz avec l’axe Ox
parallèle à  . Dans ce repère nous avons :
Le potentiel ne dépend donc que de la variable x et nous pouvons écrire :
La constante V
0
représente le potentiel dans le plan x = 0
1
.
Dans un condensateur plan défini par deux armatures infinies, maintenues aux potentiels V
0
et
V
1
séparées d’une distance e, le champ électrique est :
le vecteur unitaire  étant dirigé de V
0
vers V
1
.
Si dans une région de l’espace dépourvue de charges les lignes de champ sont parallèles, le
champ électrique est uniforme. Pour le montrer choisissons un repère Oxyz avec l’axe Ox
parallèle aux lignes de champ. Dans ce repère nous avons :
1
Le potentiel absolu ne peut être utilisé : il y a des charges à l’infini dans un condensateur plan infini.

S. Tisserant – PHY11 : Electromagnétisme III - 3
Le potentiel ne dépend donc que de la variable x et il en est de même du champ électrique.
D’autre part, en l’absence de charge la loi de Poisson nous permet d’écrire :
Ce qui nous donne ici : 
Le champ électrostatique est uniforme.
B. Champ créé par une couche plane circulaire
Nous considérons une couche plane circulaire uniformément électrisée de rayon R et de
densité surfacique σ. Nous cherchons à calculer le champ et le potentiel en un point situé sur
l’axe perpendiculaire au disque et passant par son centre O.
Fig. 3 : Champ électrique induit par un disque uniformément chargé.
L’axe Ox est axe de symétrie de la distribution de charge. En tout point de cet axe le champ
est donc porté par celui-ci. La situation présentée sur la figure précédente permet de le
vérifier. Nous y considérons la résultante du champ induit par deux éléments de surface de
même aire dS et diamétralement opposés.
Calculons l’intensité de la composante axiale du champ créé en un point M, de coordonnée x,
sur l’axe par un élément de surface dS du disque :

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où a représente la distance du point M à l’élément de surface et α l’angle formé par le vecteur
et l’axe (Fig. 4). Cette distance et cet angle sont identiques pour tous les éléments de
surface situés dans une couronne de rayon r et de largeur dr. Nous pouvons donc sommer les
contributions d’une telle couronne. Il vient :
Fig. 4 : Calcul direct du champ électrique induit par un disque chargé.
Commençons par raisonner avec x > 0. Les trois variables x, a et α sont reliées par deux
équations :  
Ainsi, à une largueur dr correspond une ouverture dα telle que :
Ce qui nous donne pour le champ électrostatique créé par une couronne élémentaire :
Notons θ le demi-angle au sommet du cône défini par le point M et le disque (Fig. 5). Pour
calculer le champ induit par l’ensemble du disque nous devons donc sommer sur α entre 0 et
θ. Ce qui nous donne :
Soit :

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Fig. 5 : Cône de sommet M et ayant pour base le disque.
Nous pouvons exprimer cos θ en fonction de x et de R :
Ce qui nous donne pour le champ :
Sur la figure 4 nous avons raisonné avec x positif. Pour x négatif le champ serait de même
intensité mais de sens opposé. Ce que nous pouvons écrire :
Soit encore :  
Ou :  
La figure 6 présente l’allure de E(x) pour σ > 0, avec  . Remarquons qu’il y a une
discontinuité du champ électrique à la traversé du disque chargé.
Calculons le potentiel électrostatique en M. Celui-ci ne dépend que de la variable x (y = z = 0)
nous pouvons donc écrire :
Soit :