Chapitre 8: Equations différentielles

Universit´e de Bourgogne Licence de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques Compl´ements d’analyse
Chapitre 8: Equations diff´erentielles
1. Le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz
Soit Uun ouvert de R×Rnet (t0, x0) un point de U. Une ´equation diff´erentielle est une
´equation de la forme:
(y0=f(t, y)
y(t0) = x0
(1)
o`u fest une application continue de Udans Rn. (t0, x0) s’appelle la condition initiale, une solution
est une application d´erivable ϕ:I−→ Rntelle que pour tout tde I, (t, ϕ(t)) appartienne `a Uet
(ϕ0(t) = f(t, ϕ(t))
ϕ(t0) = x0.
Une solution est donc une fonction, c’est `a dire un objet beaucoup plus complexe qu’un nombre.
Nous nous restreignons aux ´equations du premier ordre, car les ´equations d’ordre plus ´elev´e se
ram`ene `a des ´equations du premier ordre par une transformation bien connue. En effet l’´equation:
y(m)=f(t, y, y0, . . . , y(m−1))
se transforme en posant
Y=
y
y0
.
.
.
y(m−1)
, Y 0=
y0
y00
.
.
.
y(m)
en Y0=F(t, Y ) avec:
F(t, Y ) = 
y0
.
.
.
y(m−1)
f(t, y, . . . , y(m−1))
.
Les conditions initiales se lisent y(t0) = x0, . . . , y(m−1) =xm−1ou
Y(t0) = 
x0
x1
.
.
.
xm−1
.
1

Enfin, dans un premier temps, on pourra se restreindre au cas n= 1, si on veut.
D´efinition (Fonction localement lipschitzienne)
On fixe une norme k k sur Rn. Une fonction fd´efinie sur un ouvert Ude R×Rnest dite
lipschitzienne par rapport `a sa deuxi`eme variable si il existe C > 0tel que pour tout (t, x)et tout
(t, y)de U, on a:
kf(t, x)−f(t, y)k ≤ Ckx−yk.
Une fonction fd´efinie sur Uest dite localement lipschitzienne par rapport `a sa deuxi`eme
variable si pour tout (t0, x0)de U, il existe a,bet Cpositifs tels que
Q= [t0−a, t0+a]×B(x0, b)⊂U
et pour tout (t, x)et tout (t, y)de Q, on a:
kf(t, x)−f(t, y)k ≤ Ckx−yk.
Il est clair que si la fonction fest de classe C1, elle est localement lipschitzienne, de mˆeme si
fest continue et x7→ f(t, x) est lin´eaire, fest localement lipschitzienne.
Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz (Existence de solution locale)
On suppose que fest continue et localement lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable.
On garde les notations ci-dessus. Soit M > 0tel que:
kf(t, x)k ≤ M, ∀(t, x)∈Q= [t0−a, t0+a]×B(x0, b)⊂U,
soit T= inf(a, b
M). Alors l’´equation (1) a une solution et une seule ϕsur [t0−T, t0+T].
Preuve
Quitte `a poser t=t0+set x=x0+y, on peut supposer t0= 0 et x0= 0, donc Q=
[−a, a]×B(0, b)⊂Uet notre ´equation est:
(y0=f(t, y)
y(0) = 0 (2)
Alors, ϕest solution si et seulement si, pour tout t∈[−T, T ],
ϕ(t) = Zt
0
f(s, ϕ(s)) ds.
Cette ´equation est de la forme ϕ=A(ϕ). On la r´esout par la m´ethode des approximations
successives, c’est `a dire on pose:
ϕ0(t) = 0, ϕk+1(t) = Zt
0
f(s, ϕk(s)) ds.
Nos hypoth`eses impliquent kϕk(s)k ≤ bet:
kϕk+1(t)k=
Zt
0
f(s, ϕk(s)) ds ≤Zt
0
kf(s, ϕk(s))kds ≤ |t|M≤b.
2

Donc ϕk+2(t) est bien d´efini et on peut construire la suite (ϕk) par r´ecurrence.
Montrons par r´ecurrence que, pour tout k≥1,
kϕk(t)−ϕk−1(t)k ≤ MCk−1|t|k
k!.
On vient de le prouver si k= 1. Si c’est vrai en k−1, si t≥0,
kϕk(t)−ϕk−1(t)k ≤ Zt
0
kf(s, ϕk−1(s)) −f(s, ϕk−2(s))kds
≤Zt
0
Ckϕk−1(s)−ϕk−2(s)kds
≤Zt
0
MCk−1sk−1
(k−1)! ds =MCk−1tk k!.
Le cas t≤0 se traite de la mˆeme fa¸con et est laiss´e en exercice.
On a donc pour tout k, une fonction ϕktelle que pour tout tde [−T, T ],
ϕk(t)∈B(0, b),kϕk(t)−ϕk−1(t)k ≤ M
C
(CT )k
k!.
Posons kψk∞= sup
t∈[−T,T ]
kψ(t)k. On a pour tout K, pour tout k≥Ktout `,
kϕk+`−ϕkk∞≤M
C
k+`
X
j=k+1
(CT )j
j!<M C
∞
X
j=K+1
(CT )j
j!=M CRK
o`u RKest le reste d’ordre Kde la s´erie convergente eCT =P(CT )j
j!. Ce reste tend vers 0, donc:
∀ε > 0,∃Ktel que 
∀k, k ≥K
∀`
=⇒ kϕk+`−ϕkk∞< ε.
La suite (ϕk) est de Cauchy dans l’espace de Banach des fonctions ψcontinues sur [−T, T ], `a
valeurs dans Rn.
La suite (ϕk) converge donc vers une fonction ϕ. Comme on a kϕkk∞≤b, l’image de ϕest
dans B(0, b). Avec l’in´egalit´e ci-dessus, on a pour tout sde [−T, T ],
k≥K=⇒ kϕk(s)−ϕ(s)k ≤ ε=⇒ kf(s, ϕk(s)) −f(s, ϕ(s))k ≤ Cε.
Donc, pour tout ε > 0 et tout tde [−T, T ],
ϕ(t)−Zt
0
f(s, ϕ(s)) ds <(T C + 1)ε.
On a donc:
ϕ(t) = Zt
0
f(s, ϕ(s)) ds
3

et ϕest solution de (2) sur [−T, T ].
Montrons l’unicit´e de la solution. Soit ψune autre solution de (2). Posons
g(t) = Zt
0
kψ(s)−ϕ(s)kds.
gest une fonction de classe C1sur [−T, T ]. Soit h(t) = e−C|t|g(t). hest de classe C1sur [0, T ],
positive ou nulle et s’annule en 0. Si t≥0 sa d´eriv´ee est:
h0(t) = e−Ct −CZt
0
kψ(s)−ϕ(s)kds +kψ(t)−ϕ(t)k.
Mais on a aussi:
kψ(t)−ϕ(t)k=
Zt
0
f(s, ψ(s)) −f(s, ϕ(s)) ds ≤Zt
0
kf(s, ψ(s)) −f(s, ϕ(s))kds
≤CZt
0
kψ(s)−ϕ(s)kds.
Ou h0(t)≤0 sur [0, T ], hd´ecroˆıt, h(t)≤h(0) = 0, ou h(t) = 0, g(t) = 0, ψ(t) = ϕ(t).
hest de classe C1sur [−T, 0], n´egative ou nulle et s’annule en 0. Si t≤0 la d´eriv´ee de hest:
h0(t) = eCt CZt
0
kψ(s)−ϕ(s)kds +kψ(t)−ϕ(t)k.
Mais on a aussi:
kψ(t)−ϕ(t)k=
Zt
0
f(s, ψ(s)) −f(s, ϕ(s)) ds ≤Z0
t
kf(s, ψ(s)) −f(s, ϕ(s))kds
≤CZ0
t
kψ(s)−ϕ(s)kds.
La d´eriv´ee de hest donc encore n´egative, hest nulle sur [−T, 0], ψ=ϕ.
Remarques
En g´en´eral, on a T < a : notre th´eor`eme ne donne qu’une solution locale, on ne peut pas esp´erer
un th´eor`eme donnant une solution globale (sur [−a, a]) sans des hypoth`eses beaucoup plus fortes.
Par exemple on prend U=R×R,f(t, x) = x2,t0= 0, x0= 1. Nous sommes dans les hypoth`eses
du th´eor`eme pour tout segment [−a, a]. Cherchons les solutions ϕde y0=y2, Tant que ϕ(t)>0,
l’´equation est ´equivalente
1 = ϕ0(t)
ϕ2(t)=−1 ϕ0
(t).
Soit 1
ϕ(t)−1 ϕ(0) =1 ϕ(t)−1 = −Zt
0
ds =−t, ϕ(t) = 1
1−t.
On ne peut pas prolonger cette solution au del`a de t= 1, autrement dit on ne peut pas avoir de
th´eor`eme sur [−T, T ] avec T≥1.
Par exemple, on peut prendre a= 10, b= 1, alors M= 4, T=1
4dans notre th´eor`eme.
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La condition ’flocalement lipschitzienne’ est n´ecessaire pour l’unicit´e de la solution comme le
montre l’exemple du probl`eme de Cauchy:
(y0= 2p|y|
y(0) = 0 (∗)
Alors pour tout λ > 0, la fonction ϕλd´efinie sur Rpar
ϕλ(t) = ((t−λ)2, t ≥λ
0, t < λ
est solution de (∗).
2. Solutions maximales
On essaie maintenant de ‘tirer’ sur la solution locale trouv´ee ci-dessus. Dans ce paragraphe, on
suppose que fest de classe C1, donc localement lipschitzienne par rapport `a sa seconde variable
en tout point de l’ouvert Usur lequel elle est d´efinie.
Lemma (Unicit´e sur des intervalles)
Soient J1et J2deux intervalles non r´eduits `a un point tels que J1∩J26=∅et ϕj:Jj−→ Rn
deux solutions de l’´equation diff´erentielle y0=f(t, y). On suppose qu’il existe t0∈J1∩J2tels que
ϕ1(t0) = ϕ2(t0). Alors, pour tout tde J1∩J2,ϕ1(t) = ϕ2(t).
Preuve
Par d´efinition l’ensemble A={t∈J1∩J2;ϕ1(t) = ϕ2(t)}est une partie ferm´ee non vide de
l’intervalle J1∩J2. Mais si tappartient `a Aet qu’il existe α > 0 tel que [t, t +α]⊂J1∩J2ou
[t−α, t]⊂J1∩J2, alors le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz nous dit que sur [t, t +T] (resp. sur
[t−T, t]), la solution est unique, donc puisque ϕ1(t) = ϕ2(t), on a aussi ϕ1((s) = ϕ2(s) pour tout
sde [t, t +T] ou [t−T, t]. Ceci prouve que test int´erieur `a A(´etudier `a part les cas tint´erieur
`a J1∩J2et test une des bornes de J1∩J2,Aest ouvert dans J1∩J2. Comme J1∩J2est un
intervalle, il est connexe et donc A=J1∩J2, pour tout tde J1∩J2,ϕ1(t) = ϕ2(t).
Maintenant si on pose
ϕ(t) = (ϕ1(t) si t∈J1
ϕ2(t) si t∈J2,
on obtient une fonction bien d´efinie sur tout J1∪J2, on a (t, ϕ(t)) ∈Uet ϕ0(t) = f(t, ϕ(t)) pour
tout tde J1∪J2, mˆeme si J1∩J2={t0}. On a donc trouv´e une solution sur tout J1∪J2.
On d´efinit donc
D´efinition (Solution maximale)
Soit y0=f(t, y)une ´equation diff´erentielle avec f:U⊂R×Rn−→ Rnde classe C1sur l’ouvert
U. Une solution ϕ:I−→ Rnde cette ´equation est dite maximale si on ne peut pas la prolonger,
c’est `a dire si ψ:I0−→ Rnest une autre solution telle que I⊂I0et ψ|I=ϕ, alors I=I0,ϕ=ψ.
En fait il existe des solutions maximales.
Th´eor`eme (Existence et unicit´e des solutions maximales de condition initiale donn´ee)
Soit (t0, x0)∈U. Alors il existe une et une seule solution maximale ϕ:I−→ Rntelle que
ϕ(t0) = x0. Cette solution est d´efinie sur un intervalle ouvert. On obtient ainsi toutes les solutions
maximales de notre ´equation.
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