´Equations différentielles ordinaires

´
Equations diff´ erentielles ordinaires
Sylvie Benzoni
11 mai 2007

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Chapitre I
Introduction
La forme la plus g´ en´ erale d’une ´ equation diff´ erentielle ordinaire (en abr´ eg´ e´ E.D.O.) est
F(t, u, u0, . . . , u(k))=0,
o` uuest une fonction inconnue de la variable r´ eelle t` a valeurs dans Rnou plus g´ en´ eralement
dans un espace de Banach X,u0,...,u(k)d´ esignent les d´ eriv´ ees successives de u, et Fest une
fonction donn´ ee, suppos´ ee «r´ eguli` ere »(on pr´ ecisera comment par la suite) sur I×U×U1×
···Uko` uIest un intervalle ouvert de R,U,U1, ..., Uksont des ouverts connexes de X. On ne
s’int´ eressera dans ce cours qu’` a des ´ equations diff´ erentielles r´ esolues, pour lesquelles il existe
une fonction G, r´ eguli` ere sur I×U×U1× ···Uk−1telle que
F(t, u, u0, . . . , u(k))=0 ⇔u(k)=G(t, u, u0, . . . , u(k−1)).
On observe de plus que
u(k)=G(t, u, u0, . . . , u(k−1))⇔U0=G(t, U),
U:= 
u
u0
.
.
.
u(k−1)
,G(t, U) := 
0I . . . 0
.......
.
.
I
0. . . 0
U+
0
0
.
.
.
G(t, u, u0, . . . , u(k−1))
,
la fonction G´ etant ´ evidemment aussi r´ eguli` ere que G. On supposera donc sans perte de g´ en´ eralit´ e
k= 1.
D´ esormais, on consid` ere «une »1´ equation dite d’ordre 1, de la forme
du
dt=f(t, u)
o` uuest une fonction inconnue de la variable r´ eelle t` a valeurs dans un espace de Banach X, et
fest une fonction donn´ ee sur I×U, ouvert connexe non vide de R×X. Lorsque fne d´ epend
pas de t, l’´ equation diff´ erentielle est dite autonome.
Remarque I.1 On peut toujours se ramener, par une astuce, ` a une ´ equation autonome. En effet,
il suffit de consid´ erer l’´ equation ´ etendue
d
dsu
t=f(t, u) 1.
1Les guillemets sont l`
a pour souligner qu’en g´ en´ eral il s’agit en fait d’un syst` eme d’´ equations!
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4CHAPITRE I. INTRODUCTION
Cette approche, parfois utile, est malgr´ e tout artificielle. Il faut savoir ´ etudier directement
certaines propri´ et´ es des ´ equations dites ` a coefficients variables, o` ufd´ epend vraiment de t. Ce
sera le cas au moins dans les deux premiers chapitres.
Exemples et contre-exemples. De nombreux mod` eles physiques (en m´ ecanique, ´ electricit´ e,
chimie, ´ ecologie, etc.) s’expriment au moyen d’´ equations diff´ erentielles ordinaires en dimen-
sion finie. Citons simplement l’´ equation de la m´ ecanique des points mat´ eriels :
md2x
dt2=F(x),
qui s’´ ecrit de fac¸on ´ equivalente dans le plan de phase
dx
dt=v ,
dv
dt=1
mF(x).
Dans cette ´ equation, pos´ ee dans R2et autonome, F(x)repr´ esente la r´ esultante des forces ap-
pliqu´ ees au point x, suppos´ e de masse m. Des exemples d’´ equations diff´ erentielles en dimen-
sion infinie peuvent venir de la discr´ etisation d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. Prenons par
exemple l’´ equation de la chaleur
∂tv=∂2
xxv .
Une fac¸on d’approcher les solutions de cette ´ equation est de chercher v(j∆x, t)'uj(t)(o` u
∆xest un pas de discr´ etisation et j∈Z) avec
duj
dt=1 ∆x2uj+1 −2uj+uj−1.
Ceci est une ´ equation diff´ erentielle ordinaire dans l’espace de suites `p(Z), qui est un espace
de Banach quel que soit p∈[1,...,+∞]. Attention, pour voir l’´ equation de la chaleur elle-
mˆ eme comme une ´ equation diff´ erentielle ordinaire, il faudrait disposer d’un espace fonctionn-
nel qui soit un espace de Banach stable par ∂2
xx ! De fac¸on g´
en´ erale, la th´ eorie des ´ equations
diff´ erentielles ordinaires ne s’applique pas aux ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles. (Toutefois, les
´
equations aux d´ eriv´ ees partielles d’´ evolution lin´ eaires pos´ ees dans tout l’espace se ram` enent ` a
des ´ equations diff´ erentielles ordinaires grˆ ace ` a la transformation de Fourier...)
«R´ esolution »des ´ equations diff´ erentielles. Dans le chapitre II, on va s’int´ eresser ` a l’exis-
tence, ` a l’unicit´ e, et ` a la d´ ependance des solutions par rapport aux «conditions initiales »
u(t0) = u0. On (re)verra des r´ esultats essentiellement th´ eoriques, car il y a tr` es peu d’´ equations
diff´ erentielles dont on connaˆ ıt explicitement les solutions, en dehors des ´ equations lin´ eaires ` a
coefficients constants (dont les solutions s’expriment ` a l’aide de l’exponentielle de matrice) et
des ´ equations scalaires d’ordre 1 autonomes (dont le calcul des solutions se ram` ene ` a un calcul
de primitive). Le chapitre III sera consacr´ e aux propri´ et´ es sp´ ecifiques des ´ equations lin´ eaires, en
insistant sur le cas ` a coefficients variables. ` A partir du chapitre IV, on s’attaquera aux propri´ et´ es
qualitatives des ´ equations diff´ erentielles : sans pr´ etendre r´ esoudre ces ´ equations, on peut en effet
obtenir beaucoup d’informations sur le comportement de leurs solutions. (Cette id´ ee g´ en´ erale
remonte ` a Poincar´ e.) On ´ etudiera notamment l’existence et la stabilit´ e de solutions particuli` eres,
comme les solutions stationnaires et les solutions p´ eriodiques (qui jouent un grand rˆ ole dans les
applications).

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Unoutilindispensable. La th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles utilise abondamment le lemme
(ou l’in´ egalit´ e) de Gronwall. Ce chapitre introductif est l’occasion de le rappeler.
Parfois, on appelle (` a tort) lemme de Gronwall le fait suivant : si une fonction u` a valeurs
dans R, de classe C1, satisfait une in´ egalit´ e diff´ erentielle du type :
u0(t)≤b(t) + a(t)u(t),pour tout t∈[0, T ]
alors
u(t)≤eRt
0a(s) dsu(0) + Zt
0
b(τ)eRt
τa(s) dsdτ , pour tout t∈[0, T ].
En effet, l’in´ egalit´ e diff´ erentielle implique
d
dte−Rt
0a(s) dsu(t)≤e−Rt 0a(s) dsb(t),
et donc par int´ egration entre 0et ton obtient imm´ ediatement l’in´ egalit´ e annonc´ ee. Le lemme de
Gronwall est un peu plus subtil, puisqu’il suppose une in´ egalit´ e int´ egrale et non une in´ egalit´ e
diff´ erentielle (la seconde impliquant la premi` ere mais pas l’inverse). Or les estimations a priori
que l’on obtient en g´ en´ eral sont plutˆ ot du type int´ egral, d’o` u l’int´ erˆ et de ce lemme, dont la
preuve est n´ eanmoins ´ el´ ementaire.
Lemme I.1 (Gronwall) Si u∈ C([0, T ]; R+)est telle qu’il existe aet b∈ C([0, T ]; R+)avec
u(t)≤b(t) + Zt
0
a(τ)u(τ) dτ , pour tout t∈[0, T ],
alors
u(t)≤b(t) + Zt
0
b(τ)a(τ)eRt
τa(s) dsdτ , pour tout t∈[0, T ].
D´ em. La seule astuce consiste ` a majorer l’int´ egrale du second membre
v(t) = Zt
0
a(τ)u(τ) dτ
par la m´ ethode d´ ecrite pr´ ec´ edemment. Comme
v0(t) = a(t)u(t)≤a(t) ( b(t) + v(t) )
par hypoth` ese2, on a donc
d
dte−Rt
0a(s) dsv(t)≤e−Rt 0a(s) dsa(t)b(t),
d’o` u apr` es int´ egration (notez que v(0) = 0 par d´ efinition) :
v(t)≤Zt
0
a(τ)b(τ)eRt
τa(s) dsdτ , pour tout t∈[0, T ].
En majorant de cette fac¸on v(t)dans l’in´ egalit´ e de d´ epart, on obtient le r´ esultat. 2
2Attention, ici intervient de fac¸on cruciale le fait que asoit positive !