Intégration et probabilités TD 6 – Changement de variable et

Intégration et probabilités ENS Paris, 2016-2017
TD 6 – Changement de variable et convolution
1 – Changement de variable
Exercice 1. (Changement de variable polaire)
1. Soit f:R2→R+mesurable. Montrer que
ZRZR
f(x, y)dxdy=Z2π
0Z∞ 0
f(rcosθ, r sinθ)rdrdθ.
2. (Application) Utiliser la fonction f: (x,y)7→ e−x2−y2pour calculer R∞
0e−t2dt.
Exercice 2. (Changement de variable sphérique)
1. Soit f:R2→R+mesurable. Montrer que
ZR3
fdλ3=Zπ/2
−π/2Zπ −πZ∞ 0
f(rcosϕcosθ,r cosϕsin θ,r sinϕ)r2cos(ϕ) drdθdϕ.
On appelle θla longitude et ϕla latitude.
2. (Application) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur α∈Rpour que la fonction
x∈R37→ kxkα
2soit intégrable sur B(0,1). Et sur R3\B(0,1) ?
2 – Mesure de Lebesgue sur la sphère unité
Exercice 3. On se place sur Rdmuni de la mesure de Lebesgue λdet de la norme euclidienne. On
note Sd−1B{x∈Rd:kxk= 1}la sphère unité de Rd.
1. (Mesure de Lebesgue sur la sphère unité) Pour A∈ B(Sd−1), on pose
Γ(A)B{rx :r∈[0,1] et x∈A}et ωd(A)Bdλd(Γ(A)).
Montrer que ωdest une mesure finie sur Sd−1invariante par isométries vectorielles de Rd.
2. (Changement de variable radial) Soit f:Rd→R+mesurable. Montrer que
ZRd
f(x)dλ(x) = Z∞
0ZSd−1
f(rz)rd−1dωd(z)dr.
Indication. On pourra commencer par le cas où f=Bavec Bde la forme
B=(x∈Rd\ {0}:a < kxk≤bet x
kxk∈A),
où Aest un borélien de Sd−1et 0 < a ≤b.
Pour toute question, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à [email protected], ou bien à venir me voir au bureau V2.
1/3

3. (Un truc de physicien rendu rigoureux) En utilisant la fonction f:x7→ exp(−kxk2), calculer le
volume de la boule unité de Rd, en l’exprimant à partir de la fonction Γdéfinie à l’exercice 7.
3 – Convolution
Exercice 4. (Convolution et régularité) Soit d≥1 et f ,g :Rd→Rdes fonctions boréliennes. Pour x∈
Rd, si la fonction y7→ |f(x−y)g(y)|est intégrable sur (Rd,B(Rd),λ), alors on note
f∗g(x)BZRd f(x−y)g(y)dy,
qui est appelée la convolution de fet de gen x.
1. Soit f∈L1(Rd,B(Rd),λ) et ϕ:Rd→Rcontinue bornée. Montrer que f∗ϕest définie partout
et est continue bornée sur Rd.
2. Soit f∈L1
loc(Rd,B(Rd),λ), c’est-à-dire une fonction mesurable de Rd→Rintégrable sur tout
compact. Soit ϕ:Rd→Rde classe C∞à support compact. Montrer que f∗ϕest de classe C∞
sur Rdet que, pour tout p∈Nd,
∂p(f∗ϕ) = f∗∂pϕ,
où, pour p= (p1,...,pd)∈Nd, on note
∂pB∂|p|
∂xp1
1···∂xpd
d
,
avec |p|=p1+···+pd.
Exercice 5. (Convolution de fonctions L1)
1. Montrer que l’application
L1(Rd,B(Rd),λ)2−→ L1(Rd,B(Rd),λ)
(f ,g)7−→ f∗g
est bien définie et montrer que, pour f ,g ∈L1(Rd,B(Rd),λ),
ZRd
f∗gdλ=ZRd fdλZRd gdλ.
2. Montrer que le produit de convolution muni L1(Rd,B(Rd), λ) d’une structure de R-algèbre
associative et commutative.
3. Montrer que L1(Rd,B(Rd),λ) n’est pas une algèbre unitaire.
Indication. On pourra considérer la fonction indicatrice d’un pavé.
4 – À chercher pour la prochaine fois
Exercice 6. (Formule des compléments)
1. Calculer la mesure image de la mesure
xa−1yb−1e−(x+y){x,y≥0}dxdy,
par l’application (x,y)∈(R+)27→ (x+y,x/(x+y)).
2/3

2. En déduire la formule des compléments :
Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b)=Z1
0
ta−1(1 −t)b−1dt,
où la fonction Γest définie dans l’exercice 7.
Remarque. L’intégrale obtenue est généralement notée B(a,b) et la fonction Best appelée la
fonction bêta.
5 – Compléments (hors TD)
Exercice 7. (La fonction Γ) Pour tout t > 0, on pose
Γ(t)BZ∞
0
xt−1e−xdx.
1. Montrer que ceci définit une fonction de classe C∞sur R∗
+.
2. Montrer la formule d’Euler : pour tout t > 0,
Γ(t) = lim
n→∞
ntn!
t(t+ 1)...(t+n).
Indication. On pourra considérer la suite de fonctions (fn)n≥0définies par
fn:x∈]0,∞[7→ 1]0,n[(x)1−x
nn
xt−1.
Exercice 8. Soit A∈Rn×nune matrice symétrique définie positive. Calculer l’intégrale
ZRn
e−hAx,xiλn(dx),
où h·,·i désigne le produit scalaire usuel sur Rnet λndésigne la mesure de Lebesgue sur Rn.
Exercice 9. Soit f: (R+,B(R+)) →(R+,B(R+)) une fonction mesurable.
1. Montrer que l’on définit une fonction continue F:R+→Ren posant, pour x≥0,
F(x)BZ∞
0
arctan(xf (t))
1 + t2dt.
2. Calculer la limite de F(x) quand x→ ∞.
3. Montrer que Fest dérivable sur ]0,+∞[.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur fpour que Fsoit dérivable en 0.
Fin
3/3