sujet

Concours Centrale - Supélec 200 1
Épreuve : MATHÉMATIQUES II Filières
PC I
Notations
On désigne par AP, 9( C) l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont
les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice A E AP, 4( C) on
note ‘A la matrice transposée de A, A la matrice obtenue en conjuguant tous
les coefficients de la matrice A et rg(A) le rang de A.
On fixe un entier n 2 2 et on considère V =J&?~, ,(C) , E =An. n( C) munis des
opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement 0, et 0,.
L’espace vectoriel V admet pour base canonique
(1) (0
0 1
e,= 0 , e2 = 0
(0) (0
\
>..., e, =
/
0)
0
0 .
IJ
Pour (k,m)e [I 1,121’ onpose E,,, = ek ‘e,, ce qui donne une matrice à n lignes
et n colonnes dont le coefficient d’indice (i,j) vaut 1 si (ij) = (k, m) et 0 sinon.
La base canonique de E est constituée des n.* matrices E,, m, 1 2 k 5 n , 1 5 m I n .
On note Z la matrice identité, Z = c E, k.
l<k<n ’
Si A est une matrice élément de E et W un sous-espace vectoriel de V, A(W)
désigne l’ensemble {Awlw E W).
Si F est un sous-ensemble de E , on dit que W est stable par F si
VAG F,A(W)cW.
Pour tout sous-ensemble ,=!$? de E on s’intéresse aux propriétés suivantes :
PI : 2 contient (au moins) une matrice de rang 1 ,
Pz : 2 contient (au moins) une matrice de rang n ,
PS : 9 contient Z,
P4 : 2 est un sous-espace vectoriel de E ,
P5 : 2 est stable par produit de matrices :A,B E -!h AB E 2,
P6 : si W est un sous-espace vectoriel de V stable par 2, alors soit W = {Ov}
soit W = V .
Partie I - Étude de quelques exemples
1.A - Dans cette section IA - ,p est l’ensemble des A E E qui sont inversibles :
.di? = GL,(C).
I.A.l) Soit x un vecteur non nul de V. Montrer que pour tout vecteur y non
nul de V il existe une matrice inversible A telle que Ax = y.
Indication : on peut considérer deux cas,
a) la famille (x, y) est liée,
b) la famille (x, y) est libre.
En déduire que la propriété P6 est vérifiée par 2.
I.A.2) Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par 2 ; jus-
tifier les réponses.
1.B - Dans cette section 1.B - ,p est l’ensemble des matrices T = (tk,m) l E qui
sont triangulaires inférieures, c’est-à-dire telles que
m>k*tkm=O
I.B.l) Montrer que e, est vecteur propre de tout T E 2. Que peut-on dire de
la propriété PS pour 9 ?
I.B.2) Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par .-k? ; jus-
tifier les réponses.
1.C - Dans cette section 1.C - , n = 2 et 2 est un sous-ensemble de E pour
lequel PS et P4 sont vérifiées.
I.C.1) On suppose que PI n’est pas vérifiée par .=!? (les matrices 2 x 2 de rang
1 appartiennent donc toutes à E\d? le complémentaire de 2 dans E ). Soit
A E 2 et h E C . Quelles sont les valeurs possibles du rang de A - hZ ? Montrer
que 2 est l’ensemble des homothéties vectorielles.
I.C.2) On suppose que PG est vérifiée par 2. Montrer qu’alors la propriété
P, est vérifiée par 3.
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MATHÉMATIQUES II
Dans toute la suite du problème, P4 et PS sont supposées vérifiées :
3 est donc un sous-espace vectoriel de E stable par produit matriciel.
Partie II -
Dans cette partie, les propriétés PS et Ps sont supposées vérifiées par 2 (en
plus de PA et PS). On veut montrer qu’alors PI aussi est vérifiée.
On note
m = min i rg(M) 1 M~~\(OE} ,
i
et on se propose de montrer que m = 1 , ce qui établira P,.
On suppose dans un premier temps que m 2 2 . On note alors M, un élément de
2 qui vérifie rg(M,) = m et on considère une base (zi), <i <m de M,(V). On
note x,,..., n, des éléments de V tels que vi E I[ 1, m] , Moxi = zi .
ILA-Montrerque {ZVz,iNt2”} = V.
On note alors N, un élément de 2 qui vérifie NO.z, = x2 et on pose
M, = M,N, M, . Montrer que (M,, M, ) est une famille libre.
1I.B - Montrer que M,(V) est stable par M,N, puis que
3(a, 2) E C x M,(V), tel que 2 f 0, et MoNo = a2 .
En déduire que o < rg(M, - aM,) < rg(M,) .
Conclure que m = 1 .
Partie III -
Dans cette partie on suppose que n > 2 et que la dimension de 2 est supérieure
ou égale à n2 - 1 . On veut montrer que PS et Ps sont vérifiées, puis que .=$? =
E ,
c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’hyperplan de E stable par produit matriciel.
1II.A - Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par 9 ; on note k la dimen-
sion de W . Montrer que {M l E 1 M(W) c W} est un sous-espace vectoriel de E
qui contient ,=$? et dont la dimension vaut n2 - k(n - k) . En déduire que
W = {Ov} ou W = V . On a donc démontré Ps.
1II.B -
III.B.l) On suppose ici :
(*)3k,mE [ 1,n12, k#m et Ek,mE E\d?.
On note alors x= Vect( E k,m,Z) le sous-espace vectoriel de E engendré par
E,,, et Z.
Montrer que dim(znp) 2 1 puis que 2 contient une matrice inversible.
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Filières PC
IiI.B.2) On suppose ici que c’est le contraire de (*) qui est vrai, donc
k#m*Ek,mE 9.
Trouver une combinaison linéaire de ces
E
k m qui donne une matrice inversible.
En déduire que dans tous les cas 2 contient une matrice inversible A.
IIIE - Montrer que pour
(
la matrice A définie ci-dessus, la famille
A,A2, . . ..An’+’ >
est une famille liée.
En déduire qu’il existe un entier p > 0 et des nombres complexes (hi), < i <p tels
que h,h, f 0 et
h,Z+lL,A+...+hpAP = 0.
Montrer alors que Z l 2.
On a donc démontré P3.
Compte tenu de la partie II -, la propriété PI est donc satisfaite. On note alors
M, une matrice de rang 1 qui appartient à y, matrice que l’on peut écrire
M, = I+le, où u(). wg E v \ {Ov} .
On introduit le produit scalaire canonique sur V , (u, w) H $w et pour u l V on
pose
A, = {Lu,Ld?},
B, = {QL&Y},
c, = (B,) L .
1II.D - Soit u E V , u f 0,. Montrer que C, est un sous-espace vectoriel de V sta-
ble par 2 et que B, n’est pas réduit à {Ov) .
Montrer alors que C, = {Ov} et B, = V .
Montrer que A, = V . En déduire que pour tout (x. y) E V2 il existe L, M E 2
tels que Lu, = x et tMw 0 = y, puis que toute matrice
A l E de rang 1 appar-
tient à 2 . Montrer que 2 = E .
. . . FIN . . .