Concours Épreuve : Centrale MATHÉMATIQUES - Supélec 200 1 II Filières Partie Notations On désigne par AP, 9( C) l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes dont les coefficients sont des nombres complexes. Pour toute matrice A E AP, 4( C) on note ‘A la matrice transposée de A, A la matrice obtenue en conjuguant tous les coefficients de la matrice A et rg(A) le rang de A. On fixe un entier n 2 2 et on considère V =J&?~,,(C) , E =An. n( C) munis des opérations usuelles. Les vecteurs nuls sont notés respectivement 0, et 0,. e,= (0) (0 \ 1 0 >..., e2 = .di? = GL,(C). I.A.l) Soit x un vecteur non nul de V. Montrer que pour tout vecteur y non nul de V il existe une matrice inversible A telle que Ax = y. Indication : on peut considérer deux cas, I.A.2) Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par 2 tifier les réponses. ; jus- 1.B - Dans cette section 1.B - ,p Pour (k,m)e [I 1,121’ onpose E,,, = ek ‘e,, ce qui donne une matrice à n lignes et n colonnes dont le coefficient d’indice (i,j) vaut 1 si (ij) = (k, m) et 0 sinon. La base canonique de E est constituée des n.* matrices E,, m, 1 2 k 5 n , 1 5 m I n . On note Z la matrice identité, Z = c E, k. ’ Si A est une matrice élément de E et W un sous-espace vectoriel de V, A(W) désigne l’ensemble {Awlw E W). Si F est un sous-ensemble de E , on dit que W est stable par F si VAG est l’ensemble des A E E qui sont inversibles : En déduire que la propriété P6 est vérifiée par 2. IJ l<k<n exemples b) la famille (x, y) est libre. 0) 0 e, = 0 . (0 / 1.A - Dans cette section IA - ,p de quelques I a) la famille (x, y) est liée, L’espace vectoriel V admet pour base canonique (1) 0 0 , I - Étude PC F,A(W)cW. sont triangulaires est l’ensemble des matrices T = (tk,m) l E qui inférieures, c’est-à-dire telles que m>k*tkm=O I.B.l) Montrer que e, est vecteur propre de tout T E2. la propriété PS pour 9 Que peut-on dire de ? I.B.2) Indiquer celles des propriétés PI,..., P5 qui sont vérifiées par .-k? ; justifier les réponses. 1.C - Dans cette section 1.C - , n = 2 et 2 est un sous-ensemble de E pour Pour tout sous-ensemble ,=!$?de E on s’intéresse aux propriétés suivantes : lequel PS et P4 sont vérifiées. PI : 2 contient (au moins) une matrice de rang 1 , Pz : 2 contient (au moins) une matrice de rang n , PS : 9 contient Z, P4 : 2 est un sous-espace vectoriel de E , I.C.1) On suppose que PI n’est pas vérifiée par .=!? (les matrices 2 x 2 de rang 1 appartiennent donc toutes à E\d? le complémentaire de 2 dans E ). Soit A E2 et h E C . Quelles sont les valeurs possibles du rang de A - hZ ? Montrer que 2 est l’ensemble des homothéties vectorielles. P5 : 2 est stable par produit de matrices :A,B E -!h AB E 2, P6 : si W est un sous-espace vectoriel de V stable par 2, soit W = V . I.C.2) On suppose que PG est vérifiée par 2. P, est vérifiée par 3. alors soit W = {Ov} Page 112 Montrer qu’alors la propriété MATHÉMATIQUES Dans 3 toute la suite est donc Filières PC II du problème, un sous-espace P4 et PS sont vectoriel supposées de E stable Partie vérifiées par produit IiI.B.2) : matriciel. k#m*Ek,mE par 2 (en En déduire que dans tous les cas 2 IIIE On note ( 1 M~~\(OE} i que M,(V) 3(a, 2) E C x M,(V), . . ..An’+’ Montrer pour la matrice A définie ci-dessus, la famille > est une famille liée. alors que = 0. Z l 2. On a donc démontré P3. Compte tenu de la partie II -, la propriété PI est donc satisfaite. On note alors = V. M, une matrice de rang 1 qui appartient qui vérifie NO.z, = x2 et on pose On note alors N, un élément de 2 M, = M,N, M, . Montrer que (M,, M, ) est une famille libre. 1I.B - Montrer A,A2, que h,Z+lL,A+...+hpAP On suppose dans un premier temps que m 2 2 . On note alors M, un élément de 2 qui vérifie rg(M,) = m et on considère une base (zi), <i <m de M,(V). On note x,,..., n, des éléments de V tels que vi E I[ 1, m] , Moxi = zi . {ZVz,iNt2”} - Montrer contient une matrice inversible A. En déduire qu’il existe un entier p > 0 et des nombres complexes (hi), <i <p tels que h,h, f 0 et , et on se propose de montrer que m = 1 , ce qui établira P,. ILA-Montrerque 9. Trouver une combinaison linéaire de ces E k m qui donne une matrice inversible. II - Dans cette partie, les propriétés PS et Ps sont supposées vérifiées plus de PA et PS). On veut montrer qu’alors PI aussi est vérifiée. m = min rg(M) i On suppose ici que c’est le contraire de (*) qui est vrai, donc M, = I+le, On introduit pose est stable par M,N, puis que tel que 2 f 0, et MoNo = a2 . En déduire que o < rg(M, - aM,) < rg(M,) . à y, matrice que l’on peut écrire où u().wg E v \ {Ov} . le produit scalaire canonique sur V , (u, w) H $w et pour u l V on A, = {Lu,Ld?}, Conclure que m = 1 . Partie III - B, = {QL&Y}, Dans cette partie on suppose que n > 2 et que la dimension de 2 est supérieure ou égale à n2 - 1 . On veut montrer que PS et Ps sont vérifiées, puis que .=$? = E , c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’hyperplan de E stable par produit matriciel. 1II.A - Soit W un sous-espace vectoriel de V stable par 9 ; on note k la dimension de W . Montrer que {M l E 1M(W) c W} est un sous-espace vectoriel de E qui contient ,=$? et dont la dimension vaut n2 - k(n - k) . En déduire que W = {Ov} ou W = V . On a donc démontré Ps. 1II.B III.B.l) On suppose ici : On note alors x= E,,, et Z. Montrer que dim(znp) (*)3k,mE [ 1,n12, k#m et Ek,mE Vect( E k,m,Z) le sous-espace vectoriel 2 1 puis que 2 c, L . 1II.D - Soit u E V , u f 0,. Montrer que C, est un sous-espace vectoriel de V stable par 2 et que B, n’est pas réduit à {Ov) . Montrer alors que C, = {Ov} et B, = V . Montrer que A, = V . En déduire que pour tout (x. y) E V2 il existe L, M E 2 tels que Lu, = x et tMw 0 = y, puis que toute matrice A l E de rang 1 appartient à 2 E\d?. = (B,) de E engendré par contient une matrice inversible. Page 2/2 . Montrer que 2 = E . . . . FIN . . .