Extrait d`un cours de Physique

CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
7
Chapitre 1
Cinématique
n
i
k
a
p
espace
Plan du chapitre
La Cinématique est la partie de la Mécanique qui étudie la description des mou-
e
r
vements, sans se demander quelles en sont les causes (ce sera l’objet du chapitre
« Dynamique »).
p
.
• Fiche 1 : définition de la notion de référentiel.
• Fiches 2 et 3 : caractérisation de la position d’un mobile.
w
w
• Fiches 4 à 8 : définition du vecteur vitesse et expression dans différents systèmes
de coordonnées.
• Fiches 9 à 11 : définition du vecteur accélération et expression dans différents
w
systèmes de coordonnées.
• Fiches 12 à 17 : étude de quelques mouvements particuliers.
espace
t
e
n
.
e
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
8
t
e
n
.
e
référentiel lié à la Terre. Il accompagne
Fiche 1 - Les référentiels : définition, quelques référen-
Référentiel terrestre :
tiels courants
la Terre dans ses mouvements de rotation et de révolution
autour du Soleil (figure 1.1).
Définition d’un référentiel
Ce référentiel est le plus souvent utilisé dans les exercices, en dehors du chapitre
La description du mouvement doit toujours se faire par rapport à un objet de
référence (ou système de référence). Ainsi, on appelle
« Satellites et planètes ».
n
i
k
a
p
référentiel un objet par
rapport auquel le mouvement de tous les systèmes est étudié. On peut citer en
exemple les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique... De plus, pour ca-
ractériser le mouvement, il faut se munir d’une horloge définissant le temps. On
peut donc retenir la définition générale :
Référentiel :
e
r
corps solide supposé indéformable, à partir du-
quel on définit un système d’axes de coordonnées lié à un
p
.
observateur muni d’une horloge définissant un temps.
w
w
Figure 1.1: référentiel terrestre.
Il est important de retenir que dans tous les exercices de Mécanique, il faut
préciser le référentiel d’étude.
Quelques référentiels courants
w
On va définir quelques référentiels souvent utilisés en Mécanique.
On peut remarquer que l’origine du référentiel terrestre n’est pas nécessairement
un point de la surface de la Terre. Elle peut être, par exemple, le centre de la Terre.
Il ne faut alors pas confondre le référentiel terrestre et le référentiel géocentrique.
La différence est que le référentiel terrestre, lié à la Terre, accompagne celle-ci dans
son mouvement de rotation.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
9
t
e
n
.
e
Référentiel géocentrique : référentiel dont le centre est le centre
Référentiel héliocentrique (ou de Kepler) :
de masse de la Terre et dont les axes sont dirigés vers trois
centre est le centre de masse du Soleil et dont les axes sont
étoiles très éloignées pratiquement fixes dans la voûte cé-
dirigés vers trois étoiles très éloignées (figure 1.3).
leste (figure 1.2).
référentiel dont le
Ce référentiel est utilisé dans le chapitre « Satellites et planètes », lors de l’étude
En fait, on peut généraliser la notion de référentiel géocentrique à toutes les pla-
n
i
k
a
p
nètes. On parle alors de référentiel planétocentrique. Ces référentiels sont utilisés dans le chapitre « Satellites et planètes », lors de l’étude du mouvement
des satellites autour d’une planète.
e
r
p
.
w
w
Figure 1.2: référentiel géocentrique.
w
du mouvement des planètes autour du Soleil.
Figure 1.3: référentiel héliocentrique.
Référentiel de Copernic : référentiel
dont le centre est le centre
de masse du système solaire et dont les axes sont dirigés vers
trois étoiles très éloignées
La masse du système solaire étant essentiellement portée par le Soleil, le centre du
référentiel de Copernic est très proche de celui du référentiel héliocentrique.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
10
étudiés peuvent être décrits à l’aide de trois coordonnées (celui du centre d’inertie 1 ).
« Relativité » du mouvement
La nature du mouvement dépend du choix du référentiel (relativité du mouvement). Par exemple, la trajectoire d’un point d’une roue de vélo, dans un référentiel
lié au (cadre du) vélo, est
est
circulaire. Dans le référentiel terrestre, la trajectoire
t
e
n
.
e
Le solide est donc (le plus souvent) réduit à son centre d’inertie et repéré par le
−−→
vecteur position OM (t) où O est l’origine du repère, M le point où se trouve le
(centre d’inertie du) mobile, et t le temps.
Les mouvements des solides dans leur ensemble sont étudiés en compléments.
une cycloı̈de.
Figure 1.4: trajectoire dans le référentiel du vélo.
Figure 1.5: trajectoire dans le référentiel terrestre.
e
r
p
.
Les repères (ou systèmes de coordonnées)
n
i
k
a
p
Une fois fixée le référentiel, on peut choisir différents systèmes de coordonnées
w
w
(ou repères), c’est-à-dire différentes façons d’écrire un même vecteur (fiches suivantes).
Cinématique du point
w
Dans ce cours (programme du Lycée), on se place presque uniquement dans le
cadre de la Mécanique classique du point, c’est-à-dire dans le cas où les solides
1. Le centre d’inertie est le centre des masses. Rigoureusement, ce n’est pas le centre de gravité,
qui est le point d’application de la résultante du poids. Si le champ de pesanteur est supposé
homogène (cas le plus courant), ces deux centres coı̈ncident.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
11
Fiche 2 - Repérage en coordonnées cartésiennes
Définition - Ecriture du vecteur position
Pour décrire la position d’un mobile ponctuel M , on peut donner ses coordonnées,
→, −
→ −
→ 2
à chaque instant t, dans le repère (O, −
u
x uy , uz ) (figure 1.6) :
⎛
n
i
k
a
p
⎞
x (t)
⎜
⎟
−−→ ⎜
⎟
OM (t)
⎝ y (t) ⎠
z (t)
(1.1)
t
e
n
.
e
Figure 1.6: coordonnées cartésiennes.
Les expressions x (t), y (t) et z (t) sont les équations horaires (ou paramé-
e
r
triques) du mouvement. On peut aussi écrire 3 :
−−→
→
−
OM = xux
−
−
+ y→
uy + z →
uz
p
.
(1.2)
Dans le cas général, ce vecteur possède trois coordonnées. En pratique, dans les
w
w
exercices, il n’y a besoin que d’une coordonnée (mouvement rectiligne) ou deux
coordonnées (mouvement plan).
2. Il s’agit d’un repère orthonormé.
3. Très souvent, on n’écrit pas explicitement le temps t dans les expressions. Ce paramètre est
alors implicite.
w
Utilisation dans les exercices
On peut déjà retenir que les coordonnées cartésiennes sont utilisées dans les problèmes
de mouvements rectilignes (sur un plan horizontal, sur un
plan incliné...), de mouvements de chute (chute verticale ou dans
le plan).
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
12
Fiche 3 - Repérage en abscisse curviligne
Si la trajectoire du mobile est connue, on peut utiliser une abscisse qui précise la
position du mobile sur la trajectoire. C’est
l’abscisse curviligne. Si un mobile
M se déplace le long d’une trajectoire, et si l’on choisit une origine des abscisses
O, un sens positif de parcours (en général celui de la trajectoire), alors on définit
de coordonnées (coordonnées cartésiennes, base de Frenet).
Définition du vecteur vitesse
Soit la trajectoire d’un mobile M (figure 1.8). Soient M (t) et M 0 (t0 ) les positions
−−−→
aux temps t et t0 . Le vecteur M M 0 représente le déplacement du mobile. Si M 0 se
rapproche de M , c’est-à-dire si t0 − t tend vers 0, le mobile décrit alors une portion
⌢
s = OM
w
On va définir le vecteur vitesse instantanée et l’écrire dans différents systèmes
n
i
k
a
p
⌢
l’abscisse curviligne s du mobile par la valeur algébrique de l’arc orienté OM :
(1.3)
de droite 4 . On parle alors de déplacement élémentaire 5 .
e
r
p
.
w
w
Figure 1.7: abscisse curviligne.
t
e
n
.
e
Fiche 4 - Définition générale du vecteur vitesse
Figure 1.8: construction du vecteur vitesse.
4. Selon la direction de la tangente en M .
5. Elémentaire est synonyme de infiniment petit.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
13
−
On définit donc le vecteur vitesse instantanée →
v du mobile par 6 :
→
−
v
=
=
−−−→0
−−→ −−→0
M O + OM
MM
=
lim
lim
t0 →t
t0 →t t0 − t
t0 − t
−−→0 −−→
−−→
−−→
OM − OM
∆OM
dOM
lim
= lim
=
t0 →t
∆t→0 ∆t
t0 − t
dt
Ainsi, le vecteur vitesse (instantanée) est tangent à la trajectoire. C’est la
−−→
dérivée de OM (t) par rapport au temps :
→
−
v =
−−→
dOM
dt
n
i
k
a
p
(1.4)
Application :
e
r
C’est la définition générale du vecteur vitesse (instantanée), indépendante de
tout système de coordonnées. Une fois établie cette définition, on peut écrire
p
.
ce vecteur dans les différents systèmes de coordonnées.
Les unités
La vitesse s’exprime en
w
w
m.s−1 (unité SI). On peut aussi l’exprimer en km.h−1 .
La conversion entre ces deux unités est donnée par le schéma suivant :
6. On rappelle que
f (t0 ) − f (t)
df
∆f
= lim
= lim
.
0
∆t→0 ∆t
t →t
dt
t0 − t
w
t
e
n
.
e
8, 0 m.s−1 ←→
29
19 km.h−1 ←→
5, 3
km.h−1 .
m.s−1 .
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
14
Application 1 :
Fiche 5 - Loi de composition des vitesses
t
e
n
.
e
−
L’eau d’un fleuve s’écoule à la vitesse →
v1 , de norme v1 = 2, 3 m.s−1 . Un canot
La vitesse dépend du choix du référentiel. Il faut parfois déterminer la vitesse
dans un référentiel la connaissant dans un autre. Par exemple, si un train roule à la
−
se déplace, dans le sens du courant, à la vitesse →
v2 par rapport au fleuve. On
donne v2 = 3, 1 m.s−1 .
−
vitesse →
v1 (dans le référentiel terrestre R0 ) et qu’un individu marche dans ce train
1. Quelle est la vitesse du canot par rapport au sol ?
−
à la vitesse →
v2 (dans le référentiel du train R), alors la vitesse de l’individu dans le
Le canot part maintenant de la rive et traverse le fleuve pour arriver en face
n
i
k
a
p
référentiel terrestre s’écrit :
−
du point de départ. Il se déplace à la vitesse →
v3 , de norme v3 = 3, 4 m.s−1 ,
par rapport au fleuve. La traversée dure 14 min.
→
−
v3 =
→
−
−
v1 + →
v2
(1.5)
−
Le canot se deplace maintenant a la vitesse →
v4 par rapport au fleuve. Cette
De façon générale 7 :
vitesse, de norme v4 = 3, 1 m.s−1 , fait un angle α = 26° par rapport à la
La vitesse d’un mobile M dans un référentiel
•
•
2. Quelle est la largeur du fleuve ?
R0
−−→
la vitesse de ce mobile dans un référentiel R : vM/R
−−−→0
la vitesse de R par rapport à R0 : v
p
.
R/R
Ainsi :
e
r
est égale à la somme de :
w
w
−→ + −
−→
−
−−→0 = −
vM/R
vM/R
v−
R/R0
(1.6)
direction d’écoulement du fleuve.
3. a) Quelle est la vitesse du canot par rapport au sol ?
b) Quelle est la direction du canot par rapport au sol (on donnera l’angle
que fait cette direction avec celle d’ecoulement du fleuve) ?
Corrigé :
1. On note C pour le canot, S pour le sol et F pour le fleuve. La loi de
7. On se restreint à l’étude de référentiels en translation l’un par rapport à l’autre.
w
composition des vitesses donne :
−
→ −−→ −−→
v−
C/S = vC/F + vF/S
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
15
→ →
− →
−
Ainsi, avec les notations de l’énoncé : −
v−
C/S = v2 + v1 .
Le théorème de pythagore donne : vC/S =
√
v32 − v12 .
t
e
n
.
e
La largeur du fleuve est donc : d = vC/S tAB .
Finalement :
d=
√
√
v32 − v12 tAB = 3, 42 − 2, 32 × 14 × 60 ' 2, 1.103 m
3. a) La loi de composition des vitesses donne toujours :
n
i
k
a
p
On en déduit : vC/S = v2 + v1 = 5, 4 m.s−1
→ →
− →
−
Ainsi, avec les notations de l’énoncé : −
v−
C/S = v4 + v1 .
2. La loi de composition des vitesses donne encore :
e
r
−
→ −−→ −−→
v−
C/S = vC/F + vF/S
→ →
− →
−
Ainsi, avec les notations de l’énoncé : −
v−
C/S = v3 + v1 .
p
.
w
−
→ −−→ −−→
v−
C/S = vC/F + vF/S
w
w
2
Le théorème d’Al-Kashi donne : vC/S
= v42 + v12 − 2v1 v4 cos (π − α).
Finalement (comme cos (π − α) = − cos α) :
√
v42 + v12 + 2v1 v4 cos α
√
'
3, 12 + 2, 32 + 2 × 3, 1 × 2, 3 × cos 26° ' 5, 3 m.s−1
vC/S =
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
16
b) Il faut calculer l’angle β. On peut utiliser la règle des sinus :
Application 2 :
vC/S
v4
v4
=
⇐⇒ sin β =
sin (π − α)
sin (π − α)
sin β
vC/S
t
e
n
.
e
Une pierre est projetée vers l’arrière d’un camion. A l’instant t = 0, cette
−
pierre a une vitesse →
v0 , par rapport au camion, faisant un angle α avec
l’horizontale.
Finalement (comme sin (π − α) = sin α) :
−
Le camion roule à la vitesse constante →
v1 .
β = sin
−1
(
v4
vC/S
)
sin α
' sin
−1
(
3, 1
× sin 26°
5, 26
)
' 15°
p
.
e
r
w
w
w
n
i
k
a
p
1. Ecrire les coordonnées de la vitesse initiale de la pierre, dans le référentiel
du camion auquel on associe le repère (O, x, z) ?
2. Ecrire les coordonnées de la vitesse initiale de la pierre, dans le référentiel
terrestre auquel on associe le repère (O, x0 , z 0 ) coı̈ncidant avec (O, x, z) au
temps t = 0 ?
Corrigé :
1. La vitesse de la pierre dans le référentiel du camion, a pour coordonnées :
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
⎛
17
⎞
⎜ v0,x = v0 cos α ⎟
→
−
v0 = ⎝
⎠
v0,z = v0 sin α
t
e
n
.
e
Fiche 6 - Expression du vecteur vitesse en coordonnées
cartésiennes
2. On note P pour la pierre, C pour le camion et S pour le sol. La loi de
composition des vitesses donne :
Expression des coordonnées
→, −
→ −
→
On travaille de la repère (O, −
u
x uy , uz ) (figure 1.6) :
−
→ −−→ −−→
v−
P/S = vP/C + vC/S
n
i
k
a
p
−−→
dOM
→
−
v = dt =
→ →
− →
−
Ainsi, avec les notations de l’énoncé : −
v−
P/S = v0 + v1 .
)
d ( →
−
−
x−
ux + y →
uy + z →
uz
dt
→, −
→ −
→
8
Or −
u
x uy et uz sont des vecteurs constants (fixes dans le temps), donc :
→
−
v =
e
r
p
.
La vitesse de la pierre dans le référentiel du camion, a pour coordonnées :
⎛
w
w
⎞
−
→ ⎜ vP/S,x = v0 cos α − v1 ⎟
v−
⎠
P/S = ⎝
vP/S,z = v0 sin α
w
dx →
dy −
dz −
−
−
−
−
ux + →
uy + →
uz = ẋ→
ux + ẏ →
uy + ż →
uz
dt
dt
dt
−
→+v −
→
−
→
→
−
Par définition, →
v = vx −
u
x
y uy + vz uz . Le vecteur vitesse v a donc pour coordonnées cartésiennes :
⎛
⎜ vx = ẋ
⎜
→
−
v ⎜ vy = ẏ
⎜
⎝
vz = ż
df
8. On rappelle la notation f˙ =
.
dt
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(1.7)
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
18
Expression de la norme
La
valeur 9
Corrigé :
⎛
−
de la vitesse v (norme de →
v ) s’écrit :
−
v = k→
vk=
2
⎜ vx = 6t − 2t ⎟
−
v ⎝
1. →
⎠
vy = 8t − 3
√
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2
(1.8)
⎛
Comme vu précédemment, elle s’exprime en
m.s−1 ou km.h−1 .
n
i
k
a
p
Les équations horaires de la trajectoire d’un mobile, dans un répère cartésien
→, −
→
(O, −
u
x uy ), sont (en unités SI) :
⎝
x (t) =
−
t2
e
r
+1
p
.
y (t) = 4t2 − 3t + 2
1. Déterminer les coordonnées de la vitesse.
w
w
2. Quelle est la valeur de la vitesse en t = 2, 0 s ?
9. Il faut faire attention à l’ambiguité des notations et du vocabulaire. v désigne parfois la
norme de la vitesse, parfois la valeur algébrique (la coordonnée selon un axe). Dans l’idéal, il
faudrait toujours utiliser un indice lorsqu’on parle de valeur algébrique (vx ...), mais ce n’est pas
souvent fait, par simplicité d’écriture. En général, quand on demande la valeur de la vitesse, il
s’agit de la norme.
w
⎞
Application 2 : trouver la position à partir de la vitesse
Application 1 : trouver la vitesse à partir de la position
2t3
2
⎜ vx = 6 × 2 − 2 × 2 = 20 ⎟
−
2. →
v (t = 2, 0 s) ⎝
⎠.
vy = 8 × 2 − 3 = 13
√
−
v (t = 2, 0 s)k = 202 + 132 ' 24 m.s−1
Ainsi : v (t = 2, 0 s) = k→
Exercices d’application : mouvement plan
⎛
t
e
n
.
e
⎞
→, −
→
Dans un plan muni d’un repère cartésien (O, −
u
x uy ), un mobile M est en
un point de coordonnées x0 = 1, 0 m et y0 = −1, 0 m, à la date t = 0. Les
coordonnées du vecteur vitesse sont (en unités SI) :
⎛
→
−
v ⎝
vx = 2
⎞
⎠
vy = −3t + 2
1. Donner les équations horaires x (t) et y (t) du mouvement.
→, −
→
2. Donner l’équation de la trajectoire et la tracer dans le repère (O, −
u
x uy ).
Corrigé :
1. On détermine les coordonnées x (t) et y (t) par primitives de vx (t) et vy (t).
x (t) = 2t + A. La constante A dépend de la condition :
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
19
x (0) = x0 ⇐⇒ A = x0
Ainsi : x (t) = 2t + 1
(1)
3
y (t) = − t2 + 2t + B. La constante B dépend de la condition :
2
y (0) = y0 ⇐⇒ B = y0
3
Ainsi : y (t) = − t2 + 2t − 1
2
(2)
n
i
k
a
p
2. On détermine l’équation de la trajectoire en exprimant t à l’aide de (1) :
t=
x−1
. On remplace ensuite dans (2) :
2
(
)2
(
)
3 x−1
3 3
x−1
3
y (x) = −
+2
− 1 = − x2 − + x + x − 2
2
2
2
8
8 4
7
19
3
Finalement, après simplification : y (x) = − x2 + x −
8
4
8
p
.
e
r
3
Il s’agit d’une parabole, orientée « ∩ » à cause du signe négatif de − .
8
On retrouve ce genre d’équations et de trajectoire dans l’étude du mouvement
de chute libre dans le plan.
w
w
w
t
e
n
.
e
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
20
• l’origine est au point M (centre de gravité du mobile).
→
−
• t est tangent à la trajectoire en M et orienté dans
Fiche 7 - Expression du vecteur vitesse dans la base de
Frenet
t
e
n
.
e
le sens des
abscisses curvilignes s croissantes (en général le sens positif est
On a étudié le vecteur vitesse dans la base de coordonnées cartésiennes. On va
maintenant l’étudier dans la base de Frenet.
→
−
celui du mouvement). t est
−
• →
n est
unitaire (de norme unité).
normal à la trajectoire en M
et orienté
vers l’intérieur de la
−
concavité de la trajectoire. →
n est unitaire.
n
i
k
a
p
Définition de la base de Frenet
Ces deux vecteurs 10 constituent une base 11 appelée
base de Frenet.
Expression de la vitesse dans la base de Frenet
Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse s’écrit :
A chaque instant, on peut utiliser la base de vecteurs
(figure 1.9), telle que :
w
p
.
w
w
Figure 1.9: base de Frenet.
e
r
(→
)
− →
t ,−
n , liée au point M
→
−
v =
−−→
−−→
dOM ds ds →
dOM
−
=
=
t
dt
ds dt
dt
Ainsi :
→
−
v =
→
−
vt,
avec v =
ds
dt
(1.9)
→
−
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire (selon t ). La vitesse v est la
→
−
dérivée par rapport au temps de l’abscisse curviligne. Si le vecteur t de
→ −
→, orthogonal aux deux vecteur −
10. On peut ajouter un vecteur unitaire −
u
t et →
n , afin d’obtenir
z
un repère à 3 dimensions.
11. Base locale car elle évolue avec le point M . Elle « suit » le point M lors de son mouvement.
−
→
→
Les vecteurs t et −
n dépendent donc du temps, contrairement aux vecteurs de base du repère
cartésien.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
21
la base de Frenet est orienté dans le sens du mouvement alors v > 0.
Utilisation dans les exercices
On a déjà vu, dans les problèmes avec des mouvements rectilignes ou de chutes,
qu’on utilise plutôt la base de coordonnées cartésiennes. La base de Frenet est
utile dans l’étude des mouvements circulaires. En fait, dans les exercices, lors de
l’étude de mouvements circulaires, on n’utilise pas exactement la base de Frenet
→
−
car le vecteur t n’est pas nécessairement dans le sens du mouvement.
n
i
k
a
p
Par exemple, dans le cas du pendule simple (figure 1.10), on utilise un général
→
−
−
un vecteur →
n (identique à celui de la base de Frenet) et un vecteur t orienté
→
−
dans le sens des θ croissants (et non dans celui du mouvement). t n’est alors pas
→
−
−
nécessairement dans le sens du mouvement. Dans cette base, on a toujours →
v =vt
e
r
mais v est algébrique (positif ou négatif). Dans le cas du pendule simple, cette
vitesse vaut v = lθ̇.
p
.
En conclusion :
• repère cartésion :
w
w
mouvements rectilignes et mouvements de
chutes (verticale ou dans le plan).
• repère « type » Frenet :
mouvements circulaires.
w
t
e
n
.
e
Figure 1.10: base
ment circulaire.
(→
)
− →
t ,−
n dans l’étude d’un mouve-
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
22
Corrigé :
Fiche 8 - Vitesse moyenne
t
e
n
.
e
d1 + d2
où d1 est la longueur du plat, d2
t1 + t2
est la longueur de la montée, t1 la durée du plat et t2 la durée de la montée.
La vitesse moyenne peut s’écrire v =
On a étudié le vecteur vitesse instantanée. On peut aussi définir la vitesse
moyenne lors d’un parcours quelconque :
vmoy =
Ainsi :
v=
d −→ distance du parcours
∆t −→ durée du parcours
d1 + d2
=
t1 + t2
n
i
k
a
p
=
Il ne faut pas confondre vitesse moyenne et vitesse instantanée. Par exemple, dire
que la vitesse instantanée est la distance totale sur le temps est en général faux. Cela
n’est vrai que si la vitesse instantanée est constante 12 , c’est-à-dire si le mouvement
e
r
est uniforme. De façon générale, la vitesse instantanée est la vitesse moyenne lors
d’un déplacement élémentaire (infiniment petit) 13 .
p
.
Application :
Un cycliste parcourt un trajet formé de deux parties distinctes :
w
w
• un « plat » de 20 km à la vitesse moyenne v1 = 32 km.h−1 .
• une montée de 10 km à la vitesse moyenne v2 = 5, 2 m.s−1 .
Calculer la vitesse moyenne du cycliste (en km.h−1 et en m.s−1 ).
w
12. La vitesse instantanée est alors égale à la vitesse moyenne.
13. Ce qu’indique le compteur d’une voiture est la vitesse instantanée, qui est une vitesse
moyenne calculée sur une très petite distance (la vitesse n’a alors pas le temps de changer).
20
32
20
32
20 + 10
' 26 km.h−1
10
+
5, 2 × 3, 6
1
20 + 10
×
' 7, 2 m.s−1
10
3, 6
+
5, 2 × 3, 6
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
23
Fiche 9 - Définition générale du vecteur accélération
t
e
n
.
e
Fiche 10 - Expression du vecteur accélération en coordonnées cartésiennes
Les variations du vecteur position sont caractérisés par le vecteur vitesse. Les variations du vecteur vitesse sont caractérisées par
le vecteur accélération.
Expression des coordonnées
→, −
→ −
→
On travaille dans le repère cartésien (O, −
u
x uy , uz ) (figure 1.6) :
Définition du vecteur accélération
n
i
k
a
p
Par définition, le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du
vecteur vitesse :
→
−
a =
−
d→
v
dt
(1.10)
)
d2 ( →
−
→
−
→
−
x
u
+
y
u
+
x
u
x
y
z
dt2
−
−
−
ẍ→
u + ÿ →
u + z̈ →
u
=
=
x
y
z
−
Ainsi, les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération →
a sont :
−−→
d
OM
−
Or, →
v =
, d’où :
dt
→
−
a =
−−→
d2 OM
→
−
a = dt2
−−→
d2 OM
dt2
p
.
e
r
(1.11)
⎛
⎜ ax = ẍ
⎜
→
−
a ⎜ ay = ÿ
⎜
⎝
az = z̈
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(1.12)
Le vecteur accélération est la dérivée seconde par rapport au temps du
w
w
vecteur position. C’est une définition générale, indépendante de tout système
de coordonnées.
Unité
w
L’accélération s’exprime en
−2
m.s
(unité SI).
Expression de la norme
−
La valeur de l’accélération a (norme de →
a ) s’écrit :
−
a = k→
ak=
√
ẍ2 + ÿ 2 + z̈ 2
(1.13)
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
24
avec :
Fiche 11 - Expression du vecteur accélération dans la
base de Frenet
et :
Expression des coordonnées
n
i
k
a
p
R est une longueur appelée
t
e
n
.
e
at =
dv
dt
(1.15)
an =
v2
R
(1.16)
rayon de courbure de la trajectoire en M . Plus R
est grand et plus la courbure est faible. Le rayon de courbure d’un cercle de rayon
R vaut
R. Le rayon de courbure d’une droite vaut +∞.
Norme de l’accélération
e
r
p
.
Figure 1.11: vecteur accélération dans la base de Frenet.
w
w
(→
)
− →
−
Dans la base de Frenet t , n , l’accélération possède deux composantes 14
→
−
−
(tangentielle et normale) selon t et →
n (figure 1.11) :
w
→
−
a =
→
−
−
→
−
−
at + →
an = at t + an →
n
−
Les vecteur →
at et −
a→
n sont orthogonaux donc la norme de l’accélération peut s’écrire,
en fonction de at et an :
−
a = k→
ak=
√
a2t + a2n
(1.17)
Interprétation physique des coordonnées
Le vecteur accélération est lié à la variation du vecteur vitesse. Il y a deux façons
(1.14)
−
→
→
dv −
d−
v
d ( −
dt
→)
→
−
→
→
=
vt =
t +v
. Or, t n’étant pas un vecteur constant, sa
14. En effet, −
a =
dt
dt
dt
dt
dérivée n’est pas nulle. Il y a donc deux composantes à l’accélération.
de faire varier le vecteur vitesse :
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
• en changeant
25
→
−
−
a ·→
v caractérise la nature
sa norme (on parle de mouvement accéléré si |v| aug-
mente et ralenti (ou freiné, retardé) si |v| diminue). C’est l’acdv
célération tangentielle at =
qui caractérise ce changement. Si le
dt
mouvement est uniforme, at = 0. Ainsi, pour tout mouvement uniforme, l’accélération est purement
• en changeant
sa direction.
normale
est
normale an =
v
R
purement
. Ainsi, pour tout mouvement rectiligne, l’accélération est
Nature du mouvement (accéléré ou freiné)
On en déduit :
e
r
p
.
On peut remarquer que :
(
• ~a · ~v
< 0 ⇔ |v| diminue (mouvement freiné).
peut rajouter quelques remarques sur les coordonnées :
*
• dans la base de Frenet (avec t dans le sens du mouvement), at > 0 ⇔ |v|
*
augmente et at < 0 ⇔ |v| diminue. Ceci n’est plus vrai si t n’est pas dans le
sens du mouvement (voir la remarque faite dans la fiche 7 - Utilisation dans les
exercices) et le signe de at ne donne alors aucune information. En revanche, ce
−
−
qui est toujours vrai est que si le vecteur →
at est dans le sens de →
v , le mouvement
tangentielle.
(→
− →
−) →
−
→
−
−
a .→
v = at + an . v =
> 0 ⇔ |v| augmente (mouvement accéléré).
n
i
k
a
p
v2
faible (courbure élevée), plus l’accélération normale an =
R
grande . De plus, si le mouvement est rectiligne, an = 0 (car
R → +∞)
• ~a · ~v
2
qui caractérise ce changement. A vitesse fixée, plus le rayon de courbure
est
du mouvement :
Ceci est un résultat général (indépendant de tout repère) important. On
.
C’est l’accélération
t
e
n
.
e
accélérée ou retardée
w
w
)
( 2)
dv →
v2 →
dv
d
v
−
→
−
t + −
n .v t = v =
dt
R
dt
dt 2
w
−
est accéléré, s’il est dans le sens opposé de →
v , le mouvement est ralenti.
• an > 0 donc le vecteur accélération est toujours dirigé vers l’intérieur de la
concavité.
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
26
Exercices d’application :
t
e
n
.
e
Application 2 : mouvement plan
Les équations horaires du mouvement d’un mobile se déplaçant dans un plan
Application 1 : vecteur accélération
→, −
→
muni d’un repère cartésien (O, −
u
x uy ) sont (en unités SI) :
⎛
⎝
n
i
k
a
p
x = 5t
y = −3t2 + 4t
1. Déterminer l’équation cartésienne de la trajectoire.
2. Calculer l’abscisse du mobile lorsque celui-ci repasse par l’ordonnée y = 0.
3. Calculer la vitesse en ce point.
4. Déterminer les coordonnées du sommet de la trajectoire.
5. Déterminer le vecteur accélération, la norme de l’accélération, l’accéléra-
e
r
−
−
1. Les vecteur →
a et →
v peuvent-ils être disposés comme l’indique la figure ?
−
2. Le mouvement étant retardé, tracer correctement l’allure de →
a.
p
.
Corrigé :
w
w
−
−
1. →
a est toujours dirigé vers l’intérieur de la concavité et →
v est toujours
−
−
tangent à la trajectoire. Ainsi, →
v peut être disposé comme sur la figure et →
a
ne le peut pas.
w
−
−
−
2. Le mouvement est retardé donc →
a .→
v < 0. →
a doit être dans le quart de
plan 1.
tion tangentielle et l’accélération normale.
→, −
→
6. Tracer la trajectoire dans le repère (O, −
u
x uy ).
Corrigé :
x
1. On exprime t en fonction de x à l’aide de la relation : x = 5t ⇐⇒ t = .
5
(x)
( x )2
+4
Remplaçant dans y : y (x) = −3
5
5
3
4
Finalement : y (x) = − x2 + x
25
5
3
Il s’agit d’une parabole, orientée « ∩ » à cause du signe négatif de − .
25
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
27
4. Le sommet S de la trajectoire est caractérisée par vy = 0 (parabole orientée
2. Il faut résoudre :
⇐⇒
x
= 0 ou
5
il faut résoudre :
dy
= 0 (la vitesse est horizontale)). Ainsi,
dt
vy = 0 ⇐⇒ −6t + 4 = 0 ⇐⇒ t =
3
− x+4=0
5
2
= tS
3
Remplaçant dans les coordonnées x (t) et y (t) : xS = 5tS =
20
⇐⇒ x = 0 ou x =
3
n
i
k
a
p
yS = −3t2S + 4ts =
La solution x = 0 correspond au point de départ. L’abscisse cherchée est
20
donc : x1 =
' 6, 7 m
3
3. On peut trouver la vitesse en déterminant d’abord l’instant t1 auquel le
e
r
mobile est en ce point. Le plus simple est de résoudre :
p
.
20
4
20
⇐⇒ 5t =
⇐⇒ t = = t1
3
3
3
⎛
⎞
⎜ vx = 5
⎟
−
Les coordonnées de la vitesse sont : →
v ⎝
⎠.
vz = −6t + 4
⎛
⎞
⎟
⎜ vx = 5
−
En t1 : →
v (t1 ) ⎝
⎠.
4
vz = −6 × + 4 = −4
3
√
√
−
v (t1 )k = 52 + (−4)2 = 41 ' 6, 4 m.s−1
Ainsi : v1 = k→
x1 =
w
t
e
n
.
e
« ∩ » : en S, y est maximal donc
3
4
y (x) = 0 ⇐⇒ − x2 + x = 0
25
5
(
)
3
x
⇐⇒
− x+4
=0
5
5
w
w
10
' 3, 3 m et
3
4
' 1, 3 m
3
On aurait pu aussi utiliser l’équation de la trajectoire pour trouver ces coordonnées. En effet, au sommet :
dy
= 0. Ainsi :
dx
6
4
6
10
dy
= 0 ⇐⇒ − x + = 0 ⇐⇒ − x + 4 = 0 ⇐⇒ x =
= xS
dx
25
5
5
3
Remplaçant dans y (x) :
3
yS = y (xS ) = − ×
25
⎛
(
10
3
)2
4
+ ×
5
(
10
3
)
4 8
4
=− + =
3 3
3
⎞
⎜ ax = 0 ⎟
−
−
5. Par dérivation de →
v : →
a ⎝
⎠
ay = −6
On constate que le vecteur accélération est constant.
−
On en déduit directement : a = k→
a k = 6 m.s−2
√
dv
Par définition : at = . Or : v = 52 + (−6t + 4)2 . Ainsi :
dt
CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE
d
at =
dt
28
(√
)
2 (−6t + 4) × (−6)
2
25 + (−6t + 4) = √
2 25 + (−6t + 4)2
Finalement : at = √
6.
36t − 24
25 + (−6t + 4)2
On constate qu’au sommet, at = 0. En effet, la vitesse est minimale au som−
−
met. On le voit aussi graphiquement car →
a .→
v < 0 avant S (|v| diminue),
n
i
k
a
p
→
−
−
−
−
a .→
v = 0 en S (|v| minimale) et →
a .→
v > 0 après S (|v| augmente).
√
−
La norme de l’accélération est donnée par : a = k→
a k = a2t + a2n . On en
déduit :
√
an
√
=
a2 − a2t =
=
=
(36t − 24)2
36 −
25 + (−6t + 4)2
√
(
)
36 × 25 + (−6t + 4)2 − (36t − 24)2
e
r
25 + (−6t + 4)2
√(
)
900 + (−36t + 24)2 − (36t − 24)2
p
.
25 + (−6t + 4)2
w
w
30
Finalement : an = √
25 + (−6t + 4)2
On pourrait aussi déterminer l’expression du rayon de courbure (qui n’est pas
v2
constant) en fonction du temps, en utilisant la relation R = .
an
w
t
e
n
.
e
To be continued ...