Extrait d`un cours de Physique

CHAPITRE 1. CIN´ EMATIQUE 7
Chapitre 1
Cin´ematique
Plan du chapitre
La Cin´ematique est la partie de la M´ecanique qui ´etudie la description des mou-
vements, sans se demander quelles en sont les causes (ce sera l’objet du chapitre
«Dynamique »).
•Fiche 1 : d´efinition de la notion de r´ef´erentiel.
•Fiches 2 et 3 : caract´erisation de la position d’un mobile.
•Fiches 4 `a 8 : d´efinition du vecteur vitesse et expression dans diff´erents syst`emes
de coordonn´ees.
•Fiches 9 `a 11 : d´efinition du vecteur acc´el´eration et expression dans diff´erents
syst`emes de coordonn´ees.
•Fiches 12 `a 17 : ´etude de quelques mouvements particuliers.
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CHAPITRE 1. CIN´ EMATIQUE 8
Fiche 1 - Les r´ef´erentiels : d´efinition, quelques r´ef´eren-
tiels courants
D´efinition d’un r´ef´erentiel
La description du mouvement doit toujours se faire par rapport `a un objet de
r´ef´erence (ou syst`eme de r´ef´erence). Ainsi, on appelle r´ef´erentiel un objet par
rapport auquel le mouvement de tous les syst`emes est ´etudi´e. On peut citer en
exemple les r´ef´erentiels terrestre, g´eocentrique, h´eliocentrique... De plus, pour ca-
ract´eriser le mouvement, il faut se munir d’une horloge d´efinissant le temps. On
peut donc retenir la d´efinition g´en´erale :
R´ef´erentiel : corps solide suppos´e ind´eformable, `a partir du-
quel on d´efinit un syst`eme d’axes de coordonn´ees li´e `a un
observateur muni d’une horloge d´efinissant un temps.
Il est important de retenir que dans tous les exercices de M´ecanique, il faut
pr´eciser le r´ef´erentiel d’´etude.
Quelques r´ef´erentiels courants
On va d´efinir quelques r´ef´erentiels souvent utilis´es en M´ecanique.
R´ef´erentiel terrestre : r´ef´erentiel li´e `a la Terre. Il accompagne
la Terre dans ses mouvements de rotation et de r´evolution
autour du Soleil (figure 1.1).
Ce r´ef´erentiel est le plus souvent utilis´e dans les exercices, en dehors du chapitre
«Satellites et plan`etes ».
Figure 1.1: r´ef´erentiel terrestre.
On peut remarquer que l’origine du r´ef´erentiel terrestre n’est pas n´ecessairement
un point de la surface de la Terre. Elle peut ˆetre, par exemple, le centre de la Terre.
Il ne faut alors pas confondre le r´ef´erentiel terrestre et le r´ef´erentiel g´eocentrique.
La diff´erence est que le r´ef´erentiel terrestre, li´e `a la Terre, accompagne celle-ci dans
son mouvement de rotation.
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CHAPITRE 1. CIN´ EMATIQUE 9
R´ef´erentiel g´eocentrique : r´ef´erentiel dont le centre est le centre
de masse de la Terre et dont les axes sont dirig´es vers trois
´etoiles tr`es ´eloign´ees pratiquement fixes dans la voˆute c´e-
leste (figure 1.2).
En fait, on peut g´en´eraliser la notion de r´ef´erentiel g´eocentrique `a toutes les pla-
n`etes. On parle alors de r´ef´erentiel plan´etocentrique. Ces r´ef´erentiels sont uti-
lis´es dans le chapitre «Satellites et plan`etes », lors de l’´etude du mouvement
des satellites autour d’une plan`ete.
Figure 1.2: r´ef´erentiel g´eocentrique.
R´ef´erentiel h´eliocentrique (ou de Kepler) : r´ef´erentiel dont le
centre est le centre de masse du Soleil et dont les axes sont
dirig´es vers trois ´etoiles tr`es ´eloign´ees (figure 1.3).
Ce r´ef´erentiel est utilis´e dans le chapitre «Satellites et plan`etes », lors de l’´etude
du mouvement des plan`etes autour du Soleil.
Figure 1.3: r´ef´erentiel h´eliocentrique.
R´ef´erentiel de Copernic : r´ef´erentiel dont le centre est le centre
de masse du syst`eme solaire et dont les axes sont dirig´es vers
trois ´etoiles tr`es ´eloign´ees
La masse du syst`eme solaire ´etant essentiellement port´ee par le Soleil, le centre du
r´ef´erentiel de Copernic est tr`es proche de celui du r´ef´erentiel h´eliocentrique.
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CHAPITRE 1. CIN´ EMATIQUE 10
«Relativit´e »du mouvement
La nature du mouvement d´epend du choix du r´ef´erentiel (relativit´e du mouve-
ment). Par exemple, la trajectoire d’un point d’une roue de v´elo, dans un r´ef´erentiel
li´e au (cadre du) v´elo, est circulaire. Dans le r´ef´erentiel terrestre, la trajectoire
est une cyclo¨ ıde.
Figure 1.4: trajectoire dans le r´e-
f´erentiel du v´elo.
Figure 1.5: trajectoire dans le r´e-
f´erentiel terrestre.
Les rep`eres (ou syst`emes de coordonn´ees)
Une fois fix´ee le r´ef´erentiel, on peut choisir diff´erents syst`emes de coordonn´ees
(ou rep`eres), c’est-`a-dire diff´erentes fa¸cons d’´ecrire un mˆeme vecteur (fiches sui-
vantes).
Cin´ematique du point
Dans ce cours (programme du Lyc´ee), on se place presque uniquement dans le
cadre de la M´ecanique classique du point, c’est-`a-dire dans le cas o`u les solides
´etudi´es peuvent ˆetre d´ecrits `a l’aide de trois coordonn´ees (celui du centre d’inertie 1).
Le solide est donc (le plus souvent) r´eduit `a son centre d’inertie et rep´er´e par le
vecteur position −−→ OM(t)o`u Oest l’origine du rep`ere, Mle point o`u se trouve le
(centre d’inertie du) mobile, et tle temps.
Les mouvements des solides dans leur ensemble sont ´etudi´es en compl´ements.
1. Le centre d’inertie est le centre des masses. Rigoureusement, ce n’est pas le centre de gravit´e,
qui est le point d’application de la r´esultante du poids. Si le champ de pesanteur est suppos´e
homog`ene (cas le plus courant), ces deux centres co¨ ıncident.
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CHAPITRE 1. CIN´ EMATIQUE 11
Fiche 2 - Rep´erage en coordonn´ees cart´esiennes
D´efinition - Ecriture du vecteur position
Pour d´ecrire la position d’un mobile ponctuel M, on peut donner ses coordonn´ees,
`a chaque instant t, dans le rep`ere (O, −→ ux,−→ uy,−→ uz)2(figure 1.6) :
−−→
OM(t)
x(t)
y(t)
z(t)
(1.1)
Les expressions x(t),y(t)et z(t)sont les ´equations horaires (ou param´e-
triques) du mouvement. On peut aussi ´ecrire 3:
−−→
OM =x−→ ux+y−→ uy+z−→ uz(1.2)
Dans le cas g´en´eral, ce vecteur poss`ede trois coordonn´ees. En pratique, dans les
exercices, il n’y a besoin que d’une coordonn´ee (mouvement rectiligne) ou deux
coordonn´ees (mouvement plan).
2. Il s’agit d’un rep`ere orthonorm´e.
3. Tr`es souvent, on n’´ecrit pas explicitement le temps tdans les expressions. Ce param`etre est
alors implicite.
Figure 1.6: coordonn´ees cart´esiennes.
Utilisation dans les exercices
On peut d´ej`a retenir que les coordonn´ees cart´esiennes sont utilis´ees dans les pro-
bl`emes de mouvements rectilignes (sur un plan horizontal, sur un
plan inclin´e...), de mouvements de chute (chute verticale ou dans
le plan).
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