Notes de Cours PS 91 Cinématique du point I. Description du

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Notes de Cours PS 91
Cinématique du point
La cinématique du point est l’étude du mouvement d’un point matériel indépendamment des causes
de ce mouvement. En pratique l’approximation du point matériel peut être utilisée dans 2 cas très
importants : (i) si les dimensions du corps matériel sont très petites devant la distance parcourue
(Terre autour su Soleil) et (ii) on peut parfois associer le point matériel au centre d’inertie (trajectoire
d’un ballon).
I. Description du mouvement
Référentiel : Un référentiel d’espace est un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux
autres qui occupent l’ensemble de l’espace. On peut également le voir comme un solide indéformable
avec ou sans réalité physique. En mécanique classique, le temps est considéré comme absolu, c’est à
dire identique dans tous les référentiels.
Pour décrire le mouvement d’un point, il faut un référentiel R et un repère, c’est à dire un point O
et une base vectorielle de l’espace. Le repère le plus classique est le repère cartésien (O, ~ex , ~ey , ~ez ).
Vecteur position : Etant donné un référentiel R et un repère, la position du point matériel M à un
instant t est donné par le vecteur position :
−−→
~r(M, t) = OM (t).
(Quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~r(t) ou bien ~r). En coordonnées
cartésiennes, on a
~r(t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez .
Les composantes x(t), y(t) et z(t) du point M sont des fonctions du temps et constituent les
équations horaires du mouvement. Lorsque cela est possible, l’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps t entre les différentes éuations horaires.
Vecteur vitesse : on définit le vecteur vitesse instanée par
−−→
~r(t + δt) − ~r(t)
d~r
dOM
~v (M, t) = lim
=
=
.
δt→0
δt
dt
dt
(de même, quand il n’y pas confusion sur le point, on peut utiliser simplement ~v (t) ou bien ~v ). Le
vecteur vitesse est ainsi tangent à la trajectoire et on note en général v = ||~v || la vitesse du point
M . En coordonnées cartésiennes, on a
~v (t) = ẋ(t)~ex + ẏ(t)~ey + ż(t)~ez .
Vecteur accélération : on définit le vecteur accélération par
−−→
d2~r
d2 OM
~a(M, t) = 2 =
.
dt
dt2
(ici encore, on peut utiliser simplement ~a(t) ou bien ~a). En coordonnées cartésiennes, on a
~a(t) = ẍ(t)~ex + ÿ(t)~ey + z̈(t)~ez .
Remarque : on peut avoir une vitesse ||~v || constante (mouvement uniforme) et une accélération
non nulle. Prenons par exemple le mouvement circulaire dans le plan Oxy : x(t) = a cos(ωt),
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y(t) = a sin(ωt) et z(t) = 0. Le point tourne à la vitesse angulaire ω (en rad/s) sur un cercle de
rayon a. On trouve ||~v || = aω et ~a = −ω 2~r . L’accélération est donc de norme égale à v 2 /a et
orientée vers le centre du cercle.
Abscisse curviligne : On définit l’abscise curviligne, la fonction du temps s(t) qui vérifie : δs =
s(t − δt) − s(t) où δt est un intervalle de temps et δs représente la longueur de la trajectoire décrite
par le point M entre les instants t et t + δt. En faisant tendre δt vers 0, on trouve que la dérivée de
s par rapport au temps est donnée par la vitesse :
ṡ =
ds
= v.
dt
Par conséquent :
s(t) − s(t0 ) =
Z
t
v(t′ ) dt′ =
t0
Z tp
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt′ ,
t0
où t0 est un instant initial quelconque (souvent on prend t0 = 0).
Base de Frenet : Il est utile d’introduire le vecteur unitaire T~ et tangent à la trajectoire dirigé
dans le même sens que le vecteur vitesse. Ainsi, on peut écrire
~v = v T~ = ṡT~ .
Note : on peut voir ce vecteur comme une fonction de l’abscisse curviligne, T~ = T~ (s(t)). En calculant
l’accélération on trouve :
~a =
d(v T~ )
dT~
dT~
= v̇ T~ + v
= v̇ T~ + v 2
.
dt
dt
ds
Comme T~ est unitaire sa dérivée est forcément perpendiculaire à T~ . On montre que dT~ /ds est
contenu dans le plan osculateur et dirigé vers le centre de courbure. On introduit ainsi la normale
~ de telle sorte que :
unitaire à la trajectoire N
~
N
dT~
= ,
ds
R
où R est le rayon de courbure. En résumé :
v2 ~
~a = v̇ T~ + N
.
R
On note aT = v̇ la composante tangentielle et aN = v 2 /R la composante normale de l’accélération.
~ sont orthogonaux), puis
En pratique,
à partir de ~v et ~a, on peut calculer aT = v̇ = ~a · T~ (car T~ et N
q
~ = T~ ∧ N
~ et
aN = ||~a||2 − a2 . La base de Frenet peut être complétée par le vecteur binormal B
T
~
~ où τ est la torsion.
on montre que dN/ds
= −T~ /R − τ B
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Trajectoire
T~
M
~ez
O
~
N
−−→
~r = OM
~ey
~ex
Figure 1 – Trajectoire du point M et base de Frenet.
II. Description dans divers systèmes de cordonnées
Coordonnées cylindro-polaires (ou cylindriques)
Etant donné un point M de composantes x, y et z dans le repère cartésien. On introduit ρ =
p
x2 + y 2 la distance du point à l’axe Oz et θ = arctan(y/x) (voir Figure 2). On définit le vecteur
radial unitaire ~eρ = cos θ~ex + sin θ~ey et le vecteur orthoradial unitaire ~eθ = − sin θ~ex + cos θ~ey . On
peut alors poser :
~r = x~ex + y~ey + z~ez = ρ~eρ + z~ez .
Pour calculer la vitesse et l’accélération en coordonnées cylindriques, il faut réaliser que les vecteurs
~eρ et ~eθ dépendent de la position angulaire du point et sont donc des fonctions du temps et
d~eρ
= θ̇~eθ
dt
et
d~eθ
= −θ̇~eρ .
dt
Ainsi, après calcul, on trouve que :
~v =
d~r
= ρ̇~eρ + ρθ̇~eθ + ż~ez .
dt
De la même façon,
~a =
d~v
= (ρ̈ − ρθ̇ 2 )~eρ + (ρθ̈ + 2ρ̇θ̇)~eθ + z̈~ez .
dt
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M
φ
r
z
~ez
~ey
O
~ex
ρ
θ
Figure 2 – Définition des coordonnées cylindrique (ρ, θ, z) et sphériques (r, θ, φ).
Coordonnées sphériques
Etant donné un point M de composantes x, y et z dans le repère cartésien. On introduit r = ||~r|| =
p
x2 + y 2 + z 2 la distance du point à l’origine. On introduit un deuxième angle φ entre le vecteur
−−→
position ~r = OM et l’axe Oz. Le vecteur unitaire ~er est définit de telle sorte que :
~r = x~ex + y~ey + z~ez = r~er .
Un simple calcul trigonométrique aboutit à
x = r cos θ sin φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos φ
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III. Composition des vitesses - Changement de référentiel
On considère deux référentiels R et R′ dotés des repères respectifs (O, ~ex , ~ey , ~ez ) et (O′ , ~ex′ , ~ey′ , ~ez ′ ).
Considérons la trajectoire d’un point M dans l’espace. Sa position dans le repère R s’écrit :
−−→
OM = x~ex + y~ey + z~ez .
et dans R′ :
−−′−→
O M = x′~ex′ + y ′~ey′ + z ′~ez ′ .
Pour calculer la vitesse du point M , il faut préciser dans quel référentiel on se place. Ainsi, la
vitesse dans R s’écrit
−−→
dOM
= ẋ~ex + ẏ~ey + ż~ez .
~v/R =
dt R
Dans R′ , la vitesse s’écrit
~v/R′
−
−−→
dO ′ M
=
= ẋ′~ex′ + ẏ ′~ey′ + ż ′~ez ′ .
dt R′
Loi de composition des vitesses
Pour simplifier la présentation, on peut interprèter le référentiel R comme fixe et R′ en mouvement
par rapport à R. Ainsi, on note simplement ~va = ~v/R (a pour vitesse absolue) et ~vr = ~v/R′ (r pour
vitesse relative). La loi de composition des vitesses consiste à écrire la relation entre ~va et ~vr . Pour
−−→ −−→ −−−→
cela on utilise la relation de Chasles : OM = OO′ + O′ M et on doit considérer l’origine O′ et les
vecteurs ~ex′ , ~ey′ et ~ez ′ comme dépendant du temps. Au cours du mouvement de R′ , les vecteurs
unitaires ~ex′ , ~ey′ et ~ez ′ sont en rotation autour d’un axe (celui-ci peut aussi varier avec le temps).
On montre que
d~ex′
→
−
= Ω e ∧ ~ex′ ,
dt R
d~ey′
→
−
= Ω e ∧ ~ey′ ,
dt R
d~ez ′
→
−
= Ω e ∧ ~ez ′ .
dt R
On trouve ainsi,
−−→
−−−→
−−→
−
−−→
−−′−→ dO′ M
→
−
dOO′
dO ′ M
dOO′
~va =
+
=
+ Ωe ∧ O M +
dt R
dt R
dt R
dt R′
En résumé :
~va = ~ve + ~vr
−−→
−−−→
→
−
dOO′
où ~ve =
+ Ω e ∧ O′ M .
dt R
La vitesse ~ve est appelée vitesse d’entraı̂nement composée d’une translation (vitesse de O′ ) et
→
−
d’une rotation (vecteur rotation Ω e ).
Vecteur rotation dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz
Dans le cas d’une rotation autour de l’axe Oz, il suffit de projeter les vecteurs de la base tournante
~ex′ et ~ey′ dans le repère fixe ~ex et ~ey . On a (voir Figure 3) :
~ex′ = cos φ ~ex + sin φ ~ey
~ey′ = − sin φ ~ex + cos φ ~ey
Après dérivation on trouve,
d~ex′
= φ̇~ey′ = φ̇~ez ∧ ~ex′
dt R
et
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d~ey′
= −φ̇~ex′ = φ̇~ez ∧ ~ey′ .
dt R
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M
~e y′
~e x′
φ(t)
′
O
~ey
O
~ex
Figure 3 – Cas d’une translation dans le plan Oxy et d’une rotation autour de l’axe Oz.
Dans ce cas, on trouve que
→
−
Ω e = φ̇~ez .
Ainsi, le vecteur rotation est le produit de la vitesse de rotation φ̇ par le vecteur unitaire de l’axe de
rotation Oz.
Loi de composition des vitesses entre deux points d’un solide rigide
Ceci est une conséquence importante de la loi de composition des vitesses. En effet, on peut “voir” le
référentiel R′ comme un solide rigide en translation et en rotation dans R′ . Prenons deux points du
solide M et M ′ (c’est à dire deux points fixes dans R′ ). Leur vitesse relative est donc nulle. Ainsi,
la loi de composition pour chacun des points s’écrit :
−−→
−−→
−−′−
→
−−−→
dOO′
→
−
dOO′
→
−
′
~va (M ) =
+ Ω e ∧ O M et ~va (M ) =
+ Ω e ∧ O′ M ′ .
dt R
dt R
Par conséquent :
−−−→
→
−
~va (M ) = ~va (M ′ ) + Ω e ∧ M ′ M .
Ainsi, si on connaı̂t la vitesse en un seul point du solide, on peut calculer sa vitesse en tout point.
Lorsqu’il existe un point (apppelons-le I) dont la vitesse est nulle (roulement sans glissement par
→
−
−−→
exemple, Fig. 4), alors on a simplement : ~va (M ) = Ω e ∧ IM .
M
I
Figure 4 – Cylindre roulant sans glisser.
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IV. Eléments de cinétique
Notion de masse
La masse d’un corps est une grandeur scalaire, positive et conservative qui ne dépend ni de l’état du
système, ni du référentiel. Elle caractérise la quantité de matière d’un système [unité : kg].
Système discret : N corps assimilables à des points matériels. La masse totale m système, s’obtient
en sommant :
N
X
m=
mj .
j=1
On peut définir le centre d’inertie (ou de masse) G tel que :
N
−−→ X −−−→
mOG =
mj OMj .
j=1
M2
M1
M
M3
~r
O
O
M4
Figure 5 – Système discret (gauche) et continu (droite).
Système continu : On décompose le système en petits éléments de volume δV (~r) (le vecteur ~r
est là pour spécifier la position de l’élément de volume) et de masse δm(~r). Lorsqu’on fait tendre
l’élément de volume vers 0, on définit la masse volumique :
δm(~r)
δV →0 δV (~
r)
ρ(~r) = lim
La masse totale vaut
m=
ZZZ
système
dm =
ZZZ
volume
ρ(~r)dV.
Le centre d’inertie se calcule à partir de :
ZZZ
ZZZ
−−→
−−→
−−→
mOG =
OM dm =
ρ(~r)OM dV.
système
volume
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Quantité de mouvement
La quantité de mouvement est le produit de la masse par le vecteur vitesse d’un corps supposé
ponctuel. Il s’agit d’une grandeur vectorielle, définie par
[unité :kg.m.s−1 ].
p~ = m~v ,
Notons que ~
p dépend du référentiel d’étude. Par addidivité, il est possible de définir la quantité de
mouvement d’un système matériel. Dans le cas d’un système discret on a :
p~ =
N
X
mj ~vj .
j=1
En utilisant, la définition du centre de d’inertie G d’un système, on trouve simplement :
p~ = m~vG ,
où ~vG est la vitesse du point G. La relation reste vraie pour un système continu.
Moment cinétique
Le moment cinétique d’un point matériel M est le moment de la quantité de mouvement ~p par
rapport à un point O. On note
−→
~O = −
L
OM ∧ ~
p,
[unité :kg.m2 .s−1 ].
On peut étendre la définition dans le cas d’un système discret ou continu.
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