corrigé

Préliminaires
1.c.f.cours:Unefamille(¡! xi)n
i=1estunefamillelibresietseulementsi :
8(¸i)n
i=12Kn,Ãn
X
i=1
¸i¡! xi=¡! 0)8¸i=0!
laseule combinaisonlinéairenulleatous sescoe¢cientsnuls.
2.1.Lapremièrefamille(x7! 1;x7! x;x7! x2;x7! x3)estlibre:
SiP4
i=1¸ifi=0alorslepolynômeP4 i=1¸ixi¡1admetunein…nitéderacines.Ilestdoncnulet tous sescoe¢cients
sontnuls.
2.Lasecondefamille(f1:x7! 1;f2:x7! cos(x);f3:x7! cos(2x);f4:x7! cos2(x)) n’estpaslibre.
Ene¤et, larelationtrigonométrique classiquecos(2x)=2cos2(x)¡1,valablepourtoutx2Rmontrequef3est
combinaisonlinéairedef1etdef4
3.Montronsquelatroisièmefamille(f1:x7! 1;f2:x7! x3+1;f3:x7! jx3j)estlibre:
Soient®;¯;°2Rtelsque®:f1+¯:f2+°:f3=0.
Alorspourtoutréelx,®+¯(x3+1)+°jx3j=0.Cequidonne,avec x=0,x=1etx=¡1lesystèmelinéaire:
®+¯=0;®+2¯+°=0;®+°=0
lapremière etlatroisième équation donne¯=°=¡®etdonc enreportantdanslaseconde:®=¯=°=0
remarqueledéterminantdusystème vaut26=0ce quipermetausside conclure.
3.Lapremière etlatroisièmefamille étantlibre,ellesengendrentdes sous-espacesvectorielsdedimensionleurcardinal,
c’estàdirerespectivement4et3.
Ladeuxièmefamille étantliée,elle engendreun sous-espace vectorieldedimensionau plus3.Montronsquelafamille
(f1;f2;f3)estlibre,ce quinouspermettrad’a¢rmerqueladimensiondusous-espace engendrépar(c1;c2;c3;c4)est
supérieureà3,donc égaleà3.
Soient®;¯;°2Rtelsque®:f1+¯:f2+°:f3=0:
Alorspourtoutréelx,®+¯cos(x)+°cos(2x)=0.Cequidonne,avec x=0,x=¼etx=¼
2lesystèmelinéaire:
®+¯+°=0;®¡¯+°=0;®¡°=0
lesdeuxpremièreséquatiosdonnent¯=0.Onen déduitalorsfacilement®=°=0
rg(F1)=4;rg(F2)=3;rg(F3)=3
PartieI
1.MontronsqueGestun sous-espace vectorieldeC2([¡1;1];R),R-espace vectorieldesapplicationsde classeC2de[¡1;1]
dansR.
Remarquonsque0C2([¡1;1])2G,doncG6=;.DeplusGestun sousensembledel’espace vectorielC2([¡1;1];R):
Soientf;g2Get®;¯2R:f;g2C2([¡1;1])etil existeP1;P2;Q1;Q22R3[X]telsque
²8x2[¡1;0[,f(x)=P1(x)etg(x)=Q1(x);
²8x2]0;1],f(x)=P2(x)etg(x)=Q2(x).
®:P1+¯:Q12R3[X]etpourtoutx2[¡1;0[,(®:f+¯:g)(x)=(®:P1+¯:Q1)(x).
Demême,®:P2+¯:Q22R3[X]etpourtoutx2]0;1],(®:f+¯:g)(x)=(®:P1+¯:Q1)(x).
Cecimontreque®:f+¯:g2G.
2.²Commençonsparsupposerquef2G:festalorsde classe2sur[¡1;1].
–Lacontinuité en0defimpliquelimx!0¡(f(x)) =limx!0+(f(x)),d’où±1=±2.
–8x2[¡1;0[,f0(x)=3®1x2+2¯1x+°1et8x2]0;1],f0(x)=3®2x2+2¯2x+°2.
Parsuite, lacontinuité en0def0(carfestC1sur[¡1;1])implique°1=°2.
–Unmêmeargumentsurlacontinuitédef00 en0donne¯1=¯2.
Ilenrésultequ’une condition nécessairedel’appartenance defàGest:
¯1=¯2;°1=°2et±1=±2:

²Montronsque cette conditionestsu¢sante.Supposonsdonc¯1=¯2,°1=°2et±1=±2.
D’aprèsladé…nition def,pourqu’elleappartienneàG, il su¢tdevéri…erqu’elle estde classeC2sur[¡1;1].De
plus,commefestclairementde classeC2sur[¡1;0[etsur]0;1],ilsu¢tdes’intéresseràlarégularitédefen0.
–Pardé…nition,f(0)=±2,festcontinueàdroite en0etcomme
limx!0¡(f(x)) =±1=±2=f(0),festcontinue en0.
–festcontinue en0deplusladérivée admeten0lalimite°1=°2(àdroite età gauche).D’aprèslethéorème
deprolongementd’unedérivée festdérivable en0,f0(0)=°1etf0estcontinue en0.
–Unraisonnementsimilaire(àpartirdef0)démontrequefestdeuxfoisdérivable en0,quef00(0)=2¯2,etque
f00 estcontinue enO.
Finalement,(¯1=¯2;°1=°2et±1=±2)estuneC.N.S.pourquefappartienneàG
.
²Montronslalibertédelafamille(f0;f1;f2;f3;f4):
Soient®0,®1,®2,®3et®4desréelstelsque®0:f0+®1:f1+®2:f2+®3:f3+®4:f4=0G:
Alorspourtoutx2[¡1;0[,®0+®1x+®2x2+®3x3=0,etun polynômeayantunein…nitéderacinesétantnul, il
enrésulteque®0=0,®1=0,®2=0et®3=0.(cfpréliminaire2)
Puislarelationappliquée enx=1donne®4=0.
²Montronsmaintenantque(f0;f1;f2;f3;f4)engendreG:
Soitf2G:f2C2([¡1;1])etlarestriction defà[¡1;0[et[0;1]estun polynômededegréinférieurouégalà3et
doncd’aprèslaquestion précédente,ilexistedesréels®1,®2,¯,°et±telsque
f:x7! ½®1x3+¯x2+°x+±six<0
®2x3+¯x2+°x+±six¸0
defaçonévidente;: 8x2[¡1;0[f(x)=±f0(x)+°f1(x)+¯f2(x)+®1f3(x)
Sionseplace sur[0;1]onobtientalors:
f=±:f0+°:f1+¯:f2+®1f3+(®2¡®1):f4;
Lafamille(f0;f1;f2;f3;f4)estunebasedeGquiestdoncdedimension5
PartieII
1.UnraisonnementsimilaireàceluiutilisépourmontrerqueGestun sous-espace vectorieldeC2([¡1;1])permetde conclure:
²S¾ncontientlafonction nulle etestun sousensembledeC2([x0;xn])
²Surchaque]xi;xi+1[lacombinaisonlinéairededeuxfonctionspolynômesestun polynôme.
2.Nousavons¾1=(x0;x1),doncf2S¾1signi…ef2C2([x0;x1])etfj]x0;x1[estun polynômededegréinférieurouégalà
3.
Dèslors,ilestimmédiatqueS¾1estdedimension4,f0:x7! 1,f1:x7! x,f2:x7! x2etf3:x7! x3dé…nissantune
basedeS¾1.
3.1.Commef2S¾n+1,ilestfaciledevéri…erquelarestrictionfj[x0;xn]appartientàS¾n(festde classeC2sur[x0;xn+1]
doncfj[x0;xn]l’estaussisur[x0;xn],etsii2f0;:::;n¡1g, larestriction defj[x0;xn]à]xi;xi+1[estégaleàfj]xi;xi+1[).
Parsuite,comme(f1;:::;fd)estunebasedeS¾n,ilexisteun uniqued-upletderéels(a1;:::;ad)telque
fj[x0;xn]=
d
X
i=1
ai:fi;
c’estàdiretelque
8x2[x0;xn];f(x)=
d
X
i=1
aifi(x):
2

2.F=f¡
d
P
i=1
ai:~ fi.
D’unepart,8x2[xn;xn+1],F(x)=t(x)¡
d
P
i=1
aipi(x),oùtestlepolynômededegréinférieurouégalà 3 telque
fj]xn;xn+1[=t(en prolongeantparcontinuitél’égalité enxnetxn+1).Ceciprouvequesur[xn;xn+1],Festun
polynômededegréinférieurouégalà 3.
D’autrepart,remarquonsquesur]xn¡1;xn+1[,F(x)=f(x)¡
d
P
i=1
aipi(x),doncFestde classeC2sur[xn¡1;xn+1].
Etsur]xn¡1;xn[,pardé…nition despietai,F(x)=0,donc égalementF0(x)=0etF00(x)=0.
Lescontinuitésà gauche enxndeF,F0etF00 montrentalorsqueF(xn)=F0(xn)=F00(xn)=0.
3.Fj[xn;xn+1]estun polynômededegréinférieurouégalà3dontxnestracined’ordredemultiplicitéaumoinségalà
3.Parsuite,sur[xn;xn+1],Festnécessairementdelaforme®(x¡xn)3.
CommeF(x)=0pourtoutx2[x0;xn[,nousavons
F=®:~ fd+1;
d’où …nalement,avec ad+1=®,
f=
d
X
i=1
ai:~ fi:
festdonc combinaisonlinéairedes³e fi´:
Ilresteàmontrerque cesfonctions sontdansS¾n+1:
²pardé…nition desfilesfonctionse fisontC2sur[x0;xn[etleur restrictionsà]xi;i+1[estun polynômededegré
·3pourtouti·n¡1:
²larestriction dee fià]xn;xn+1]estun polynômededegré·3,ce quiassureaussiquelafonctionyestC2:
²pouri·donasur]xi;xn+1],e fi=pipolynômededegré·3.CequiassurelaclasseC2enxn
²pouri=d+1,onafacilement,fd+1(x+
n)=fd+1(x¡ n)=fd+1(xn)=0;f0
d+1(x+
n)=f0
d+1(x¡
n)=0;f"d+1(x+ n)=
f"d+1(x¡
n)=0
Ilenrésulteque~ f0;:::; ~ fd+1engendreS¾n+1
Resteàprouveque cettefamille estlibre:Soitlacombinaisonlinéaire:
d+1
X
i=0
¸ie fi=0
sur[x0;xn]onaP¸ifi=,donc8i·,¸i=0carlafamille(fi)estlibredansS¾n.Sur[xn;xn+1]il restealors
¸d+1(x¡xn)3=0donc¸d+1=0
lafamille³e fi´d+1
i=1estunebasedeS¾n+1
4.L’étudeprécédentemontrequepourtoutentiern¸1,siS¾nestun espace vectorieldedimension …nie,S¾n+1est
égalementdedimension …nie etdim(S¾n+1)=dim(S¾n)+1.
Unerécurrence immédiatesurl’entiern¸1,utilisantlefaitqueS¾1estdedimension …nie égaleà 4,montre:
8n¸1,S¾nestdedimension …nie égaleàn+3.
4.1.Choisissonsunebaseadaptée au problèmedeR3[X].Parexemple¡1;X¡a;(X¡a)2;(X¡a)3¢.C’estunefamille
étagée en degrédoncunebase.Toutpolynômesedécomposedanscettebasesouslaforme:
P(X)=a0+a1(X¡a)+a2(X¡a)2+a3(X¡a)3
Lesystèmeimposéaux(ai)estalors:
a0=®;a1=¯;2a2=°;(b¡a)3a3=¡a0¡a1(b¡a)¡a2(b¡a)2
quiadmetuneuniquesolution defaçonévidente cara6=b
2.Montrons,par récurrence surn2N¤,quepourtout(n+3)-upletderéels(y0;:::;yn;®;¯),ilexisteuneunique
fonctionsplinef2S¾ntelleque
8i2f0;:::;ng;f(xi)=yi;
f0(x0=®;
f00(x0)=¯:
3

²n=1:soit(y0;y1;®;¯)2R4.
D’aprèslaquestion précédente, il existeun uniquepolynômefdedegréinférieurouégalà 3 telquef(x0)=y0,
f(x1)=y1,f0(x0)=®etf00(x0)=¯,ce quirépond exactementàlaquestion.
²Soitn2N¤etsupposonslapropriétévraiejusqu’àn.Soient(y0;:::;yn+1;®;¯)2Rn+4.
Parhypothèsederécurrence,ilexisteuneuniquefonctionf2S¾ntelleque
f(x0)=y0;:::;f(xn)=yn;f0(x0)=®etf00(x0)=¯:
Dèslors,unefonction~ f2S¾n+1véri…antlesconditionsrecherchéesestdu type:
~
f(x)=8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
f(x)six2[x0;xn]
p(x)six2]xn;xn+1]avec p2R3[X]et8
>
>
<
>
>
:
p(xn)=yn
p0(xn)=f0(xn)
p00(xn)=f00(xn)
p(xn+1)=yn+1:
Parsuite, l’existence etl’unicitéde~ festéquivalenteàcelledu polynômep,etdoncrésulte cettefoisencorede
laquestion4a
il existeuneuniquefonctionspinevéri…antlesconditionsf(xi)=y0,f0(x0)=®;f"(x0)=¯
3.MontronsqueS0
¾nestun sous-espace vectorieldeS¾n.
0S¾
n=0C2([x0;xn])2S0
¾ndoncS0 ¾n6=;etS0 ¾n½S¾n
Soientf;g2S0
¾net®;¯2R.
Pourtouti2f0;:::;ng,(®:f+¯:g)(xi)=®f(xi)+¯g(xi)=0.Donc®:f+¯:g2S0
¾n.
Choisissonslesfonctionsf1etf2deS0
¾ncommeles seulesfonctionsdeS¾ntellesque
8i2f0;:::;ng;f1(xi)=0;f10(x0)=1etf100(x0)=0;
8i2f0;:::;ng;f2(xi)=0;f20(x0)=1etf200(x0)=1:
Soient®et¯desréelstelsqueh=®:f1+¯:f2=0
Alorsh0(x0)=0=®eth00(x0)=0=¯.Cequiprouvequelafamille(f1;f2)estlibre.
Soith2S0
¾n.Posons®=h0(x0)et¯=h00(x0).Remarquonsalorsque®:f1+¯:f2ethappartiennentàS¾netque
8i2f0;:::;ng;(®:f1+¯:f2)(xi)=0=h(xi);
(®:f1+¯:f2)0(x0)=h0(x0)et(®:f1+¯:f2)00(x0)=h00(x0):
L’unicitédémontrée àlaquestion4bimpliquequeh=®:f1+¯:f2.Cequiprouveque(f1;f2)engendreS0
¾n.
Finalement,(f1;f2)estunebasedeS0
¾n,etparsuite,dim(S0
¾n)=2.
Fauteplan possible:SoitÁ:S¾n!Rn+1:f7! (f(xi))n
i=0,Áestun applicationlinéairedenoyauS0
¾n:OrÁ
estsurjective carpourtout(yi)n
i=02Rn+1il existeunefonctionf2S¾ntellequeÁ(f)=(yi):il su¢deprendre
®=¯=0danslaquestion4b
5.
1.Sur]xi;xi+1[,f=pi,oùpiestun polynômededegréinférieurouégalà 3.
Ilenrésultequefestde classeC1surcetintervalle,etquepourtoutx2]xi;xi+1[,f(4)(x)=pi(4)(x)=0.
2.Parintégration parparties:
Zxi+1
xi
(f00(x))2dx=[f0f"]xi+1
xi¡Zxi+1
xi
f0(x)f(3)(x)dx;
lesfonctionsf0etf"étantcontinueC1parmorceauxsur[xi;xi+1]:
Lafonctionf(3)étantconstantesur]xi;xi+1[peutyêtreprolongéparcontinuité.
unesecondeintégration parpartiesdonnealors
Zxi+1
xi
(f00(x))2dx=[f0(x)f00(x)]xi+1
xi¡[f(x)f000(x)]xi+1 xi+Zxi+1
xi
f(x)f(4)(x)dx;
lesfonctionsf0etf(3)(prolongés)étantC1sur[xi;xi+1]
soit,commef(xi)=f(xi+1)=0etcommef(4)=0sur]xi;xi+1[,
Zxi+1
xi
(f00(x))2dx=[f0(x)f00(x)]xi+1
xi=f0(xi+1)f00(xi+1)¡f0(xi)f00(xi):
4

Etparlarelation deChasles
Zxn
x0
(f00(x))2dx=
n¡1
X
i=0Zxi+1
xi
(f00(x))2dx=
n¡1
X
i=0
(f0(xi+1)f00(xi+1)¡f0(xi)f00(xi));
nousen déduisonspartélescopage:
Rxn
x0(f00(x))2dx=f0(xn)f00(xn)¡f0(x0)f00(x0):
Remarque: le calculnepeutpas sefairedirectementsur[x0;xn]carf(3)n’estpascontinue,C1
pmsurce segment,
etnepeutpasyêtreprolongé en unetellefonction.(l’hypothèsef(x0)=f(xn)=0su¢raitd’ailleurs siunetelle
I.P.P.étaitpossible)
3.L’applicationÁestlinéaire.
MontronsqueÁestinjective:
Soitg2ker(Á).C’estàdireg2S0
¾ntellequeÁ(g)=(0;0).
Celasigni…equeg0(x0)=g0(xn)=0.D’après5b,
Zxn
x0
(g00(x))2dx=g0(xn)g00(xn)¡g0(x0)g00(x0)=0:
Orl’applicationx7! (g00(x))2estcontinue etpositivesur[x0;xn],
donc8x2[x0;xn],'00(x)=0.'0estconstantesur[x0;xn]etcomme'0(x0)=0,8x2[x0;xn],'0(x)=0.'est
donc constantesur[x0;xn],etcomme'(x0)=0,'=0.
Áestuneinjection deS0
¾ndansR2.D’après4c,dim(S0 ¾n)=2=dim(R2),donc
Áestunebijection deS0
¾nsurR2
²Démontronsd’abordl’unicitéd’unetellefonctionspline:
Soientfetgdeuxfonctions splinesdeS¾nvéri…antlesconditionsdel’énoncé.
Ilestimmédiatquef¡g2S0
¾netdeplus,(f¡g)0(x0)=0et(f¡g)0(xn)=0.Doncf¡g2ker(Á).5c
montrequ’alorsf¡g=0S0
¾
nd’oùf=g.
²Établissonsmaintenantl’existence delafonctionsplinef.
Notonsgl’uniquefonction deS¾n(c.f.4b) telleque
8i2f0;:::;ng;g(xi)=yi;etg0(x0)=0=g00(x0):
Notonshl’uniqueantécédentde(®;¯)parÁ:h2S0
¾n½S¾neth0(x0)=®,h0(xn)=¯.
²Posonsf=h+g:f2S¾n(carS¾nestun espace vectoriel)etfvéri…ebienlesn+3conditionsrecherchées.
il existeuneuniquefonctionspinevéri…antlesconditionsf(xi)=y0,f0(x0)=®;f0(xn)=¯
PartieIII
1.1.Parconstruction,
²gest2-périodique,
²continuesurRcarcontinuesix2]0;1[etx2]¡1n;0,continue en0(carf(0+)=0etf(0¡)=¡f(0)=0)
continue en1(carf(1¡)=0etf(1+)=f(¡1+)=¡f(1¡)=0)
²de classeC1parmorceauxsurR,
²donclethéorèmedeDirichletassurelaconvergence,pourtoutréelx,delasériedeFourierdegenxversg(x).
Deplus,gestimpaire,doncles seulscoe¢cientsdeFouriernon nulsdegsontceux”ensinus”.En posant,pour
toutn2N¤,cn=R1
¡1g(t)sin(¼nt)dt=2R1 0g(t)sin(¼nt)dt,nousobtenons:
8x2R;g(x)=
+1
X
n=1
cnsin(¼nx):
2.RemarquonsquegestC2surR¡Z.
Commeg,g00 estimpaire.SasériedeFourierestdonc
8x2R;S(g00)(x)=
1
X
n=1
dnsin(¼nx);
où pourn2N¤,dn=cn=2R1
0g00(t)sin(¼nt)dt.
Commeg00 n’estpascontinuesurR,nide classeC1,g00 n’aaprioriaucuneraison d’être égaleàsasériedeFourier.
5