[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Diagonalisabilité endomorphisme des polynômes Enoncés en 1 un Exercice 1 [ 00859 ] [correction] Soient P ∈ K [X] et u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. a) On suppose que u est diagonalisable, montrer que P (u) l’est aussi. b) Que dire de la réciproque ? Exercice 2 [ 00860 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’un C-espace vectoriel E de dimension finie. a) On suppose que f est diagonalisable. Montrer que f 2 est diagonalisable et ker f = ker f 2 . On étudie désormais la propriété inverse. b) Par un exemple, montrer que si f 2 est diagonalisable, f n’est pas nécessairement diagonalisable. c) Montrer que si f 2 est diagonalisable et si ker f = ker f 2 alors f est diagonalisable. Exercice 3 [ 00861 ] [correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N? et u ∈ L(E). a) Enoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur. b) On suppose u ∈ GL(E). Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, u2 l’est. c) Généralisation : Soit P ∈ C [X]. On suppose P 0 (u) ∈ GL(E) Montrer que u est diagonalisable si, et seulement si, P (u) l’est. Exercice 4 [ 00862 ] [correction] Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit P un polynôme complexe, on suppose que P (u) est diagonalisable et que la valeur prise par P sur toute racine complexe de P 0 n’est pas valeur propre de l’endomorphisme P (u). Montrer que u est diagonalisable. Exercice 5 [ 02524 ] [correction] Soient A, B ∈ GLn (C) telles que B = Ap . Montrer que A est diagonalisable si, et seulement si, B l’est. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Corrections 2 En reprenant les notations ci-dessus, et on considérant le polynôme Exercice 1 : [énoncé] a) Une base de vecteur propre de u est aussi une base de vecteur propre de P (u). b) La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un polynôme constant. En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si deg P = 1. Q= p Y (X − δi )(X + δi ) i=1 on a f 2 Q(f ) = P (f 2 ) = 0 Ainsi ImQ(f ) ⊂ ker f 2 Exercice 2 : [énoncé] a) Une base diagonalisant f diagonalise aussi f 2 et permet d’affirmer rgf = rgf 2 Sachant ker f ⊂ ker f 2 , on obtient ker f = ker f 2 par égalité des dimensions. b) Posons 0 1 A= 0 0 Un endomorphisme représenté par A n’est pas diagonalisable alors que son carré est nul et donc diagonalisable. c) Supposons f diagonalise et ker f = ker f 2 . Soit P le polynôme minimal de f 2 . Celui-ci est scindé à racines simples car f 2 est diagonalisable. Cas 0 n’est pas racine de P . On peut écrire p Y P = (X − λi ) avec ∀1 6 i 6 n, λi 6= 0 i=1 Pour chaque λi , posons δi et −δi les deux solutions complexes de l’équation z 2 = λi Considérons ensuite Q= p Y (X − δi )(X + δi ) i=1 Le polynôme Q est scindé à racines simples et Q(f ) = P (f 2 ) = 0. On en déduit que f est diagonalisable. Cas 0 est racine de P . On peut écrire p Y P =X (X − λi ) avec ∀1 6 i 6 n, λi 6= 0 i=1 or ker f 2 = ker f donc f Q(f ) = 0 Ainsi f annule le polynôme scindé à racines simples R=X p Y (X − δi )(X + δi ) i=1 On en déduit à nouveau f diagonalisable. Exercice 3 : [énoncé] a) u est diagonalisable si, et seulement si, u annule un polynôme scindé à racines simples. ou encore : u est diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de u est scindé à racines simples. b) Si u est diagonalisable, il est clair que u2 l’est aussi. Inversement, si u2 est diagonalisable alors son polynôme annulateur est scindé à racines simples : (X − λ1 )...(X − λp ). Puisque u ∈ GL(E) : ∀1 6 i 6 p, λi 6= 0 car 0 n’est pas valeur propre de u. Notons αi et βi les deux solutions de l’équation z 2 = λi . Puisque (u2 − λ1 Id) ◦ . . . ◦ (u2 − λp Id) = 0 on a (u − α1 Id) ◦ (u − β1 Id) ◦ . . . ◦ (u − αp Id) ◦ (u − βp Id) = 0. Ainsi u annule un polynôme scindé à racines simples. Par suite u est diagonalisable. c) Si u est diagonalisable alors P (u) l’est aussi. Inversement, si P (u) est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à racines simples (X − λ1 ) . . . (X − λp ) où les λi sont les valeurs propres de P (u). Le polynôme (P (X) − λ1 ) . . . (P (X) − λp ) est alors annulateur de u. Les facteurs P (X) − λi sont sans racines communes. Le polynôme minimal M de u divise (P (X) − λ1 ) . . . (P (X) − λp ). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Corrections Si ω est racine au moins double de M alors ω est racine au moins double de l’un des facteurs P (X) − λi donc racine de P 0 . Or ω est aussi valeur propre de u donc P 0 (ω) = 0 est valeur propre de P 0 (u). Cependant P 0 (u) ∈ GL(E), c’est donc impossible. Par suite les racines de M sont simples et u est donc diagonalisable. 3 est annulateur de A. Or ce dernier est scindé à racines simples car - les facteurs X p − λk et X p − λ` (avec k 6= `) ont des racines deux à deux distinctes ; - les racines de X p − λk sont toutes simples (car λk 6= 0). On en déduit que A est diagonalisable. Exercice 4 : [énoncé] Soient λ1 , . . . , λn les valeurs propres deux à deux distinctes de P (u). Posons n Y Q= (X − λk ) k=1 Q est un polynôme annulateur de P (u) donc n Y (P (u) − λk IdE ) = 0̃ k=1 Posons Qk = P − λk . Le polynôme n Q Qk est annulateur de u et les racines d’un k=1 polynôme Qk sont distinctes de celles d’un polynôme Q` avec k 6= ` car λk 6= λ` . De plus si α est racine multiple de Qk alors P (α) = λk et Q0k (α) = P 0 (α) = 0 ce qui est exclu par hypothèse. n Q Par conséquent le polynôme Qk est scindé simple donc u est diagonalisable. k=1 Exercice 5 : [énoncé] Si A est diagonalisable, on peut écrire A = P DP −1 avec P inversible et D diagonale. On a alors B = Ap = P −1 Dp P avec Dp diagonale et donc B est diagonalisable. Inversement, si B est diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B scindé à racines simple de la forme m Y (X − λk ) k=1 De plus, puisque B est inversible, on peut supposer les λk tous non nuls. Sachant B = Ap , le polynôme m Y (X p − λk ) k=1 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD