Diagonalisabilité des polynômes en un endomorphisme

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Diagonalisabilité des polynômes en un
endomorphisme
Exercice 1 [ 00859 ] [correction]
Soient P∈K[X]et uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension
finie.
a) On suppose que uest diagonalisable, montrer que P(u)l’est aussi.
b) Que dire de la réciproque ?
Exercice 2 [ 00860 ] [correction]
Soit fun endomorphisme d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie.
a) On suppose que fest diagonalisable. Montrer que f2est diagonalisable et
ker f= ker f2.
On étudie désormais la propriété inverse.
b) Par un exemple, montrer que si f2est diagonalisable, fn’est pas
nécessairement diagonalisable.
c) Montrer que si f2est diagonalisable et si ker f= ker f2alors fest
diagonalisable.
Exercice 3 [ 00861 ] [correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie n∈N?et u∈ L(E).
a) Enoncer un critère de diagonalisabilité en terme de polynôme annulateur.
b) On suppose u∈GL(E). Montrer que uest diagonalisable si, et seulement si, u2
l’est.
c) Généralisation : Soit P∈C[X]. On suppose P0(u)∈GL(E)
Montrer que uest diagonalisable si, et seulement si, P(u)l’est.
Exercice 4 [ 00862 ] [correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme de E.
Soit Pun polynôme complexe, on suppose que P(u)est diagonalisable et que la
valeur prise par Psur toute racine complexe de P0n’est pas valeur propre de
l’endomorphisme P(u).
Montrer que uest diagonalisable.
Exercice 5 [ 02524 ] [correction]
Soient A, B ∈GLn(C)telles que B=Ap.
Montrer que Aest diagonalisable si, et seulement si, Bl’est.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) Une base de vecteur propre de uest aussi une base de vecteur propre de P(u).
b) La réciproque n’est pas vraie en toute généralité comme le montre le cas d’un
polynôme constant.
En revanche, on peut montrer que la réciproque est vraie si deg P= 1.
Exercice 2 : [énoncé]
a) Une base diagonalisant fdiagonalise aussi f2et permet d’affirmer
rgf=rgf2
Sachant ker f⊂ker f2, on obtient ker f= ker f2par égalité des dimensions.
b) Posons
A=0 1
0 0 
Un endomorphisme représenté par An’est pas diagonalisable alors que son carré
est nul et donc diagonalisable.
c) Supposons fdiagonalise et ker f= ker f2. Soit Ple polynôme minimal de f2.
Celui-ci est scindé à racines simples car f2est diagonalisable.
Cas 0 n’est pas racine de P.
On peut écrire
P=
p
Y
i=1
(X−λi)avec ∀16i6n, λi6= 0
Pour chaque λi, posons δiet −δiles deux solutions complexes de l’équation
z2=λi
Considérons ensuite
Q=
p
Y
i=1
(X−δi)(X+δi)
Le polynôme Qest scindé à racines simples et Q(f) = P(f2)=0.
On en déduit que fest diagonalisable.
Cas 0 est racine de P.
On peut écrire
P=X
p
Y
i=1
(X−λi)avec ∀16i6n, λi6= 0
En reprenant les notations ci-dessus, et on considérant le polynôme
Q=
p
Y
i=1
(X−δi)(X+δi)
on a
f2Q(f) = P(f2)=0
Ainsi
ImQ(f)⊂ker f2
or ker f2= ker fdonc
fQ(f)=0
Ainsi fannule le polynôme scindé à racines simples
R=X
p
Y
i=1
(X−δi)(X+δi)
On en déduit à nouveau fdiagonalisable.
Exercice 3 : [énoncé]
a) uest diagonalisable si, et seulement si, uannule un polynôme scindé à racines
simples.
ou encore :
uest diagonalisable si, et seulement si, le polynôme minimal de uest scindé à
racines simples.
b) Si uest diagonalisable, il est clair que u2l’est aussi.
Inversement, si u2est diagonalisable alors son polynôme annulateur est scindé à
racines simples : (X−λ1)...(X−λp).
Puisque u∈GL(E):∀16i6p, λi6= 0 car 0n’est pas valeur propre de u.
Notons αiet βiles deux solutions de l’équation z2=λi.
Puisque (u2−λ1Id)◦. . . ◦(u2−λpId)=0on a
(u−α1Id)◦(u−β1Id)◦. . . ◦(u−αpId)◦(u−βpId)=0.
Ainsi uannule un polynôme scindé à racines simples. Par suite uest
diagonalisable.
c) Si uest diagonalisable alors P(u)l’est aussi.
Inversement, si P(u)est diagonalisable alors son polynôme minimal est scindé à
racines simples (X−λ1). . . (X−λp)où les λisont les valeurs propres de P(u).
Le polynôme (P(X)−λ1). . . (P(X)−λp)est alors annulateur de u.
Les facteurs P(X)−λisont sans racines communes.
Le polynôme minimal Mde udivise (P(X)−λ1). . . (P(X)−λp).
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Si ωest racine au moins double de Malors ωest racine au moins double de l’un
des facteurs P(X)−λidonc racine de P0.
Or ωest aussi valeur propre de udonc P0(ω)=0est valeur propre de P0(u).
Cependant P0(u)∈GL(E), c’est donc impossible.
Par suite les racines de Msont simples et uest donc diagonalisable.
Exercice 4 : [énoncé]
Soient λ1, . . . , λnles valeurs propres deux à deux distinctes de P(u).
Posons
Q=
n
Y
k=1
(X−λk)
Qest un polynôme annulateur de P(u)donc
n
Y
k=1
(P(u)−λkIdE) = ˜ 0
Posons Qk=P−λk. Le polynôme
n
Q
k=1
Qkest annulateur de uet les racines d’un
polynôme Qksont distinctes de celles d’un polynôme Q`avec k6=`car λk6=λ`.
De plus si αest racine multiple de Qkalors P(α) = λket Q0
k(α) = P0(α)=0ce
qui est exclu par hypothèse.
Par conséquent le polynôme
n
Q
k=1
Qkest scindé simple donc uest diagonalisable.
Exercice 5 : [énoncé]
Si Aest diagonalisable, on peut écrire A=P DP −1avec Pinversible et D
diagonale. On a alors B=Ap=P−1DpPavec Dpdiagonale et donc Best
diagonalisable.
Inversement, si Best diagonalisable alors il existe un polynôme annulateur de B
scindé à racines simple de la forme
m
Y
k=1
(X−λk)
De plus, puisque Best inversible, on peut supposer les λktous non nuls.
Sachant B=Ap, le polynôme
m
Y
k=1
(Xp−λk)
est annulateur de A. Or ce dernier est scindé à racines simples car
- les facteurs Xp−λket Xp−λ`(avec k6=`) ont des racines deux à deux
distinctes ;
- les racines de Xp−λksont toutes simples (car λk6= 0).
On en déduit que Aest diagonalisable.
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