Dynamique avec chocs - Jean

Dynamique avec chocs
DS : dynamique avec chocs, page 1
I73.
Deux corps M1 et M2, de masses m1 = 0,1 kg et m2 = 0,6 kg peuvent glisser sans
frottement sur une droite horizontale. Un ressort de raideur k = 70 N/m relie M1 à un point fixe A de cette droite.
Primitivement, M1 et M2 sont au repos. Un opérateur agit sur M2 et le lance à la vitesse . A l'instant 0, M
2
v2 heurte M1
et s'y accroche. Immédiatement après, l'ensemble, qu'on appellera M, a la vitesse v3 = 0,42 m/s.
M1M2
1) Quel est le travail de l'opérateur qui a lancé M2 ?
2) Quel est le déplacement extrême vers la gauche de M ?
3) Quand M1 et M2 ne sont plus pressés l’un contre l’autre, ils se séparent. A quel instant ?
4) Combien de temps après la séparation, qui s’effectue en douceur, M1 atteindra-t-il sa position extrême à gauche ?
II28.
A.
Deux particules de masses et sont mobiles sur une droite. On considère deux de leurs chocs élastiques
possibles. Dans le premier, leurs vitesses avant le choc sont
1
m2 m
1
v
G
et 2 v
G
et celles après le choc sont 1 v′
G
et 2 v′
G
. Dans le
second, leurs vitesses avant le choc sont 1
v′ −
G
et 2 v′ −
G
; quelles sont leurs vitesses après le choc ?
O
B.
Un fil de caoutchouc homogène, de masse négligeable, a pour longueur quand il n’est pas tendu.
Quand sa tension est , sa longueur est telle que . On le suspend en un point fixe O
par une de ces extrémités, l'autre supportant un corps de masse m. A l'équilibre, la longueur du fil est
.
0
A
FA0 (Fk=−AA)
m
0
2A
Données numériques : . On néglige tout frottement.
-2
020 cm ; 9, 8 m.sg==A
1) Calculer la pulsation des oscillations verticales de m, le fil restant toujours tendu.
0
ω
2) En O est disposé un corps de masse pouvant glisser sans frottement le long du fil qui le
traverse. On l'abandonne avec une vitesse initiale nulle, le fil et la masse m étant en équilibre. Il subit un choc
parfaitement élastique sur m ; avant le choc, il a la vitesse , après le choc, il a la vitesse , tandis que le corps de
masse m est lancé vers le bas avec la vitesse v, toutes ces vitesses étant comptées positivement vers le bas. Exprimer
et calculer numériquement en fonction de et g ; exprimer v et en fonction de λ et .
'm=λ
0
v'v
0
v0 A'v0 v
m'
m
0
2A
3) Déterminer λ pour que le choc suivant se produise au même endroit que le premier. Calculer dans ces conditions
les valeurs numériques de v et . 'v
4) On suppose réalisées les conditions définies au paragraphe précédent. Calculer numériquement la hauteur h du
premier rebondissement de ainsi que la longueur maximale L atteinte par le fil. 'm
5) Quelles sont les vitesses après le deuxième choc, lui aussi parfaitement élastique, les mouvements étant
parfaitement verticaux ?
6) Décrire qualitativement le mouvement ultérieur et calculer numériquement la valeur d’un temps caractéristique
.
1
T
C.
On recommence la même expérience avec un corps de masse '3
m
m=, mais le choc sur m est parfaitement mou (le
corps de masse reste collée à celui de masse m). 'm
1) Exprimer en fonction de et de g la vitesse V commune aux deux corps après le choc. Calculer sa valeur
numérique. 0
A
2) Déterminer en fonction de et de g la période du mouvement consécutif au choc. Calculer sa valeur numérique.
0
A
3) Exprimer et calculer numériquement les valeurs de la longueur maximale et de la longueur minimale
atteinte par le fil. Quelle est l’amplitude du mouvement ultérieur ? max
Amin A
4) Quelle est la perte relative d’énergie cinétique du système pendant le choc ?
Réponses
I. 1) ;
()
22 1 2 3
mv m m v=+ 2
122
20, 072 J
op
Wmv== ; 2) 12
30, 042 m
mm
xv
k
+
== ; 3)
12
0, 314 s
mm
tk
+
=π= ; 4) 1
30,178 s
2
m
tk
π
==
.
II.
A. 1
v−
G
et 2 v−
G
.

B. 1) 1
00
/7rad.sg− ω==A ; 2) 1
00
42,8m.svg − ==A ;
()
0
1
1
v
vλ−
′=λ+ ; 0
2
1
v
vλ =λ+ ; 3)
40,1202
4
−π
λ==
+π ; ; 4)
11
0,6m.s 2,2m.svv
−−
′
==−
2
0, 25 m
2
v
hg
′
== ;
; 5) m est immobile et a la vitesse ; 6) période
00
2 / 0, 486 mLv=+ω=Am′0 v−0
1
22 1, 0 2 s vv
Tgg
′
=−+= .
C. 1) 01
0, 7 m . s
1
v
V−
λ
==
+λ ; 2)
()
0
1
21,02sT ; 3)
g
+λ
=π=
A0
min
50, 333 m
3
==
A
m
A et
; amplitude 0 ; 4) .
max 0
30,6==AA ,133 m 75%
DS : dynamique avec chocs, page 2

Corrigés
I.
1) Le choc conserve la quantité de mouvement :
()
()
22 1 2 3 2
0, 1 0, 6 0, 42 0, 49 m/s
0, 6
mv m m v v +× =+ ⇒==
.
L’opérateur a fourni 22
11
22
22
0, 6 0, 49 0, 072 J
op
Wmv==××=.
2) L’énergie 2
11
22
mv kx+2 est la même après le choc et à l’élongation maximale :
()
12
22
11
123 3
22
0, 7 0, 42 0, 042 m
70
mm
mmv kx x v
k
+
+=⇒==×=
.
3) Ils se séparent après une demi période ; alors, si la liaison était maintenue, l’accélération changerait de signe, donc
M1 attirerait M2 : 12
0, 314 s
2
Tmm
tk
π+
===π=
ω.
4) M2 atteint sa position extrême à gauche au bout de la durée 1
33 30,1
0,178 s
42 270
Tm
tk
ππ
== = = .
II.
A.
Il y a plusieurs manières de répondre en économisant les calculs :
• Comme un choc élastique linéaire est réversible, les vitesses après le second choc sont 1
v−
G
et 2 v−
G
.
• Pour le premier choc :
11 22 11 22
22 2
11 1 1
11 22 11 22
22 2 2
mv mv mv mv
mv mv mv mv
′′
⎧+=+
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪′′
+= +
⎪
⎪
⎩2
Soit et les vitesses après le second choc ; elles satisfont à :
1
v′′ −2 v′′ −
11 22 11 22
22 2
11 1 1
11 22 11 22
22 2 2
mv mv mv mv
mv mv mv mv
′ ′ ′′ ′′
⎧−− =−−
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪′′′′
+= +
⎪
⎪
⎩2
′′
D’où :
11 22 11 222
22 2
11 1 1
11 22 11 22
22 2 2
mv mv mv mv
mv mv mv mv
′′ ′′
⎧+=+
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪′′ ′′
+= +
⎪
⎪
⎩2
2
2
′′
2
Si on résout ce système en ,, l’élimination d’une des inconnues donne une équation du second degré qui a deux
solutions évidentes : , qui est à rejeter parce que signifiant qu’il n’y a pas eu de choc et
.
1
v′′ 2 v′′
112
,vvvv
′′ ′ ′′ ′
==
112
,vvvv
′′ ′′
==
• Un choc élastique linéaire change la vitesse relative en l’opposé et ne change pas la quantité de mouvement,
donc si et sont les vitesses après le second choc :
système linéaire qui n’admet qu’une solution, qui est donc la solution évidente .
1
v′′ −2 v′′ −
()
12 12 12
11 22 11 22 11 22
vv vv vv
mv mv mv mv mv mv
′ ′ ′′ ′′
⎧−=−− =−
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪′′ ′′
+=+=+
⎪
⎪
⎩
112
,vvvv
′′ ′′
==
B.
1) L’équilibre implique . L’allongement par rapport à la position d’équilibre obéit à
0
mg k=AX
21
00
0
9, 8 7rad.s
0, 2
kg
mX kX m
−
=−⇒ω== = ω=
A.
2) D’après le théorème de l’énergie cinétique, 2 1
10000
22440,29,82,8mv mg v g −
′′
=⇒==××=
AA m.s.
Lors du choc, la quantité de mouvement est conservée : , et l’énergie cinétique aussi :
0
mv mv mv
′′′
=+
22
11 1
0
22 2
mv mv mv
′′′
=+
2
2
.
D’où :
()
()
0
22
0
vv v
vv v
′
⎧λ−=
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪′
λ− =
⎪
⎪
⎩
DS : dynamique avec chocs, page 3

Le rapport membre à membre donne :
()
()
0
00
0
0
1
1
2
1
vvv
vv vv
v
v
v
v
′
+=
′′
+=λ−
λ−
′=λ+
λ
=λ+
3) m remonte puis redescend si . Cela prend la durée qui doit correspondre à un nombre
entier N de demi oscillations de :
′0v′<⇒λ<12/vg
′
−
m
0
2vN
g
′π
−=ω soit 00
14
21
gN
gg
−λ =π
+λ
AA
, ou 1
41N
−λ =π
+λ. Comme
, le premier membre est compris entre 0 et 4, donc . D’où 0<1λ<1N=40,1202
4
−π
λ==
+π.
Alors, .
11
0,6m.s 2,2m.svv
−−
′
==−
4) 22
2, 2 0, 25 m
229,8
v
hg
′
== =
×.
Si X est le déplacement par rapport à la position d’équilibre, 0
0
sin
v
mX kX X t
w
=−⇒=ω
 dont la valeur
maximale est .
max 0 0 max
/ 0, 6 / 7 0, 086 m 2 0, 486 mXv L X=ω== ⇒=+ =A
Autre raisonnement possible : l’énergie 2
11
22
mX kX+
2
est conservée entre immédiatement après le choc et
l’élongation maximale, donc 22 2
0
22
11
max max
22
0, 2 0, 6 0, 086 m
9, 8
mv v
kX mv X kg
×
=⇒== = =
A.
Si dans ce raisonnement on utilise l’allongement x du ressort (par rapport à une tension nulle), il faut tenir compte
de l’énergie potentielle associée au poids. L’énergie est alors 22
11
22
mx kx mgx+−
 et sa conservation s’écrit
22
111
max max 0 0
222
kx mgx mv k mg−=+−AA
2
.
5) Comme les deux mobiles sont soumis à des forces conservatives, leur retour à la position de départ implique qu’ils
retrouvent la même énergie cinétique. Donc immédiatement avant le second choc, m a la vitesse et m a la vitesse
. Cela implique, d’après la partie I, qu’après le choc m est immobile et m a la vitesse .
v−′
v′ −′0 v−
6) m remonte jusqu’en O, puis le mouvement recommence à l’identique. Sa période est
′
()
0
1
22 22,22,8
1, 02 s
9, 8
vv
Tgg
′×+
=−+= = .
C.
1) Posons . Lors du choc, la quantité de mouvement est conservée : Mmm
′
=+
00 1
00, 7 m . s
14
vv
mv MV V −
λ
′====
+λ.
2)
()
00
2140,2
22 2 1
39,8
kM
T
Mmgg
+λ×
ω==π=π=π=
×
AA ,02s
.
3) Résolution par l’énergie
Soit l’allongement du ressort (par rapport à un ressort de tension nulle, et non par rapport à la position d’équilibre,
qui est modifiée par la présence de m). L’énergie potentielle associée à la force totale agissant sur le mobile est la
somme de l’énergie potentielle associée au poids et de l’énergie potentielle associée à la tension du ressort
x
′
Mgx−
2
1
2kx . Ecrivons que l’énergie totale du mobile 2
1
2
Mx Mgx kx−+
2
1
2
prend la même valeur aux positions extrêmes
pour lesquelles et immédiatement après le choc : 0x=
()
222
111
00
222
2
22
00
22
00 0 0
00
20
0
2
00
2
/9
111 1 4114
4
222 24/323623
12
23
84
0
33
kx Mgx MV k Mg
m
mg m v mg mg
xMgx Mg g mg mg
Mm
mg xMgx mg
xx
−=+−
′
−=+−=+−=+−
−=−
−+=
AA
A
AA A A
AA
A
A
AA
0
A
DS : dynamique avec chocs, page 4

qui a pour racines 0
min
2
3
x=A et . Les longueurs extrêmes de l’élastique sont donc
max 0
2x=A
0
min
50, 333 m
3
==
A
A et .
max 0
30,6==AAm
L’amplitude est max min 0
20, 133 m
23
xx−== A.
3 Résolution passant par l’étude en fonction du temps.
L’allongement obéit à
()
()
0
000
00 0
cos sin
03
4
0423
3
4
cos sin
33
3
Mg
xA tB t k
Mg mg m g
xA A
kk k
VvM g
xBB kg
xtt
=ω+ω+
′
=+ = ⇒=−=−
=ω⇒ == = =
ω
=−ω+ω+
A
AAA
AA A
0
Les positions extrêmes sont atteintes quand
00
00 0000
max 0
00 0000
min
0
sin cos 0
33
tan 3
25
ou (modulo 2 )
33
224134
cos sin 2
33 3332 23
33
554134
cos sin
33 33 32 23 3
33
x
tt
t
t
x
x
=
ωω+ωω=
ω=−
ππ
ω=π
ππ
=−++=++=
ππ
=−++=−− +=
AA
AA AAAA
A
AA AAAA
0
2
A
d’où la même conclusion que dans l’autre résolution.
3) Variante de la résolution précédente utilisant la représentation complexe des fonctions sinusoïdales.
La représentation complexe de 00 0
4cos sin
33 3
yx t t=−=−ω+ω
AA A est
()
()
()
(
00 00
exp exp exp
323
33
yitit i
π
=−ω+ω− =−− ω
AA AA
)
it dont les valeurs extrêmes sont
() ()
22
00 0
11 2
33
33
yi±=±−− =± + =±
AA A
A0
3
.
D’où une amplitude et des valeurs extrêmes , soit et .
0
2/3A00 4/3 2/3±AA 0 2/3A0 2A
4) La perte relative d’énergie cinétique du système pendant le choc est 22
11
0
22
2
10
0
2
17
mv MV V
v
mv
′−=−=
′5%.
DS : dynamique avec chocs, page 5