Dynamique avec chocs - Jean

Dynamique avec chocs
I73.
M1
M2
Deux corps M1 et M2, de masses m1 = 0,1 kg et m2 = 0,6 kg peuvent glisser sans
frottement sur une droite horizontale. Un ressort de raideur k = 70 N/m relie M1 à un point fixe A de cette droite.
Primitivement, M1 et M2 sont au repos. Un opérateur agit sur M2 et le lance à la vitesse v2 . A l'instant 0, M2 heurte M1
et s'y accroche. Immédiatement après, l'ensemble, qu'on appellera M, a la vitesse v3 = 0,42 m/s.
1) Quel est le travail de l'opérateur qui a lancé M2 ?
2) Quel est le déplacement extrême vers la gauche de M ?
3) Quand M1 et M2 ne sont plus pressés l’un contre l’autre, ils se séparent. A quel instant ?
4) Combien de temps après la séparation, qui s’effectue en douceur, M1 atteindra-t-il sa position extrême à gauche ?
II28.
A.
Deux particules de masses m1 et m2 sont mobiles sur une droite. On considère deux de leurs chocs élastiques
G
G
G
G
possibles. Dans le premier, leurs vitesses avant le choc sont v1 et v2 et celles après le choc sont v1′ et v2′ . Dans le
G
G
second, leurs vitesses avant le choc sont −v1′ et −v2′ ; quelles sont leurs vitesses après le choc ?
O
B.
Un fil de caoutchouc homogène, de masse négligeable, a pour longueur A 0 quand il n’est pas tendu.
Quand sa tension est F , sa longueur est A telle que F = k (A − A 0 ) . On le suspend en un point fixe O
par une de ces extrémités, l'autre supportant un corps de masse m . A l'équilibre, la longueur du fil est
2A 0 .
m'
2A 0
-2
Données numériques : A 0 = 20 cm ; g = 9, 8 m.s . On néglige tout frottement.
1) Calculer la pulsation ω0 des oscillations verticales de m , le fil restant toujours tendu.
m
2) En O est disposé un corps de masse m ' = λm pouvant glisser sans frottement le long du fil qui le
traverse. On l'abandonne avec une vitesse initiale nulle, le fil et la masse m étant en équilibre. Il subit un choc
parfaitement élastique sur m ; avant le choc, il a la vitesse v0 , après le choc, il a la vitesse v ' , tandis que le corps de
masse m est lancé vers le bas avec la vitesse v , toutes ces vitesses étant comptées positivement vers le bas. Exprimer
et calculer numériquement v0 en fonction de A 0 et g ; exprimer v et v ' en fonction de λ et v0 .
3) Déterminer λ pour que le choc suivant se produise au même endroit que le premier. Calculer dans ces conditions
les valeurs numériques de v et v ' .
4) On suppose réalisées les conditions définies au paragraphe précédent. Calculer numériquement la hauteur h du
premier rebondissement de m ' ainsi que la longueur maximale L atteinte par le fil.
5) Quelles sont les vitesses après le deuxième choc, lui aussi parfaitement élastique, les mouvements étant
parfaitement verticaux ?
6) Décrire qualitativement le mouvement ultérieur et calculer numériquement la valeur d’un temps caractéristique
T1 .
C.
On recommence la même expérience avec un corps de masse m ' =
m
, mais le choc sur m est parfaitement mou (le
3
corps de masse m ' reste collée à celui de masse m).
1) Exprimer en fonction de A 0 et de g la vitesse V commune aux deux corps après le choc. Calculer sa valeur
numérique.
2) Déterminer en fonction de A 0 et de g la période du mouvement consécutif au choc. Calculer sa valeur numérique.
3) Exprimer et calculer numériquement les valeurs de la longueur maximale A max et de la longueur minimale A min
atteinte par le fil. Quelle est l’amplitude du mouvement ultérieur ?
4) Quelle est la perte relative d’énergie cinétique du système pendant le choc ?
Réponses
I. 1) m2v2 = ( m1 + m2 ) v3 ; Wop = 21 m2v22 = 0, 072 J ; 2) x =
t =π
m1 + m2
v3 = 0, 042 m ; 3)
k
3π m1
m1 + m2
= 0,178 s .
= 0, 314 s ; 4) t =
2
k
k
II.
G
G
A. −v1 et −v2 .
DS : dynamique avec chocs, page 1
B. 1) ω0 =
λ=
g / A 0 = 7 rad. s−1 ; 2) v0 =
4−π
= 0,1202 ; v = 0, 6 m .s−1
4+π
4A 0g = 2, 8 m . s−1 ; v ′ =
v ′ = −2, 2 m . s−1 ; 4) h =
( λ − 1 ) v0
λ +1
;v =
2λv0
; 3)
λ +1
v ′2
= 0, 25 m ;
2g
L = 2A 0 + v / ω0 = 0, 486 m ; 5) m est immobile et m ′ a la vitesse −v0 ; 6) période T1 = −
(1 + λ ) A 0
λv0
5A
= 1, 02 s ; 3) A min = 0 = 0, 333 m et
= 0, 7 m . s−1 ; 2) T = 2π
g
3
1+λ
= 3A 0 = 0, 6 m ; amplitude 0,133 m ; 4) 75% .
C. 1) V =
A max
2v ′ 2v0
+
= 1, 02 s .
g
g
DS : dynamique avec chocs, page 2
Corrigés
I.
1) Le choc conserve la quantité de mouvement : m2v2 = ( m1 + m2 ) v3 ⇒ v2 =
( 0,1 + 0, 6 ) × 0, 42
0, 6
= 0, 49 m/s .
L’opérateur a fourni Wop = 21 m2v22 = 21 × 0, 6 × 0, 492 = 0, 072 J .
2) L’énergie 21 mv 2 + 21 kx 2 est la même après le choc et à l’élongation maximale :
m1 + m2
0, 7
v3 =
× 0, 42 = 0, 042 m .
k
70
3) Ils se séparent après une demi période ; alors, si la liaison était maintenue, l’accélération changerait de signe, donc
π
T
m1 + m2
= =π
= 0, 314 s .
M1 attirerait M2 : t =
ω
k
2
3T
3π m1
3π 0,1
4) M2 atteint sa position extrême à gauche au bout de la durée t =
=
=
= 0,178 s .
4
2
k
2 70
1(
2 m1
+ m2 ) v32 = 12 kx 2 ⇒ x =
II.
A.
Il y a plusieurs manières de répondre en économisant les calculs :
G
G
• Comme un choc élastique linéaire est réversible, les vitesses après le second choc sont −v1 et −v2 .
• Pour le premier choc :
⎧
m v + m2v2 = m1v1′ + m2v2′
⎪
⎪ 1 1
⎨1
⎪
m v 2 + 21 m2v22 = 21 m1v1′2 + 21 m2v2′2
⎪
⎪
⎩2 1 1
Soit −v1′′ et −v2′′ les vitesses après le second choc ; elles satisfont à :
⎧⎪ −m1v1′ − m2v2′ = −m1v1′′ − m2v2′′
⎪
⎨1
⎪⎪ m1v1′2 + 1 m2v2′2 = 1 m1v1′′2 + 1 m2v2′′2
2
2
2
⎪
⎩2
D’où :
⎧ m1v1 + m2v2 = m1v1′′ + m2v2′′
⎪
⎪
⎨1
⎪
m v 2 + 21 m2v22 = 21 m1v1′′2 + 21 m2v2′′2
⎪
⎪
⎩2 1 1
Si on résout ce système en v1′′ , v2′′ , l’élimination d’une des inconnues donne une équation du second degré qui a deux
solutions évidentes : v1′′ = v1′ , v2′′ = v2′ , qui est à rejeter parce que signifiant qu’il n’y a pas eu de choc et
v1′′ = v1 , v2′′ = v2 .
• Un choc élastique linéaire change la vitesse relative en l’opposé et ne change pas la quantité de mouvement,
donc si −v1′′ et −v2′′ sont les vitesses après le second choc :
⎧ v − v2 = − ( v1′ − v2′ ) = v1′′ − v2′′
⎪
⎪ 1
⎨
⎪ m v + m2v2 = m1v1′ + m2v2′ = m1v1′′ + m2v2′′
⎪
⎪
⎩ 1 1
système linéaire qui n’admet qu’une solution, qui est donc la solution évidente v1′′ = v1 , v2′′ = v2 .
B.
1) L’équilibre implique mg = k A 0 . L’allongement X par rapport à la position d’équilibre obéit à
k
g
9, 8
=
=
ω0 = 7 rad.s−1 .
mX = −kX ⇒ ω20 =
0, 2
m
A0
2) D’après le théorème de l’énergie cinétique, 21 m ′v02 = m ′g 2A 0 ⇒ v0 = 4 A 0g = 4 × 0, 2 × 9, 8 = 2, 8 m .s−1 .
Lors du choc, la quantité de mouvement est conservée : m ′v0 = m ′v ′ + mv , et l’énergie cinétique aussi :
= 21 m ′v ′2 + 21 mv 2 .
1
′ 2
2 m v0
D’où :
⎧ λ ( v0 − v ′ ) = v
⎪
⎪
⎨
⎪ λ v 2 − v ′2 ) = v 2
⎪
⎪
⎩ ( 0
DS : dynamique avec chocs, page 3
Le rapport membre à membre donne :
v0 + v ′ = v
v0 + v ′ = λ ( v0 − v ′ )
v′ =
( λ − 1 ) v0
λ +1
2λv0
v =
λ +1
3) m ′ remonte puis redescend si v ′ < 0 ⇒ λ < 1 . Cela prend la durée −2v ′ / g qui doit correspondre à un nombre
2v ′
1 − λ 4 A 0g
A
π
1−λ
soit 2
= N π . Comme
entier N de demi oscillations de m : −
=N
= N π 0 , ou 4
1+λ g
g
g
ω0
1+λ
4−π
= 0,1202 .
0 < λ < 1 , le premier membre est compris entre 0 et 4, donc N = 1 . D’où λ =
4+π
Alors, v = 0, 6 m . s−1 v ′ = −2, 2 m . s−1 .
4) h =
v ′2
2, 22
=
= 0, 25 m .
2g
2 × 9, 8
v
Si X est le déplacement par rapport à la position d’équilibre, mX = −kX ⇒ X =
sin ω0t dont la valeur
w0
maximale est X max = v / ω0 = 0, 6 / 7 = 0, 086 m ⇒ L = 2A 0 + X max = 0, 486 m .
Autre raisonnement possible : l’énergie 1 mX 2 + 1 kX 2 est conservée entre immédiatement après le choc et
2
2
mv 2
A 0v 2
0, 2 × 0, 62
=
=
= 0, 086 m .
9, 8
k
g
Si dans ce raisonnement on utilise l’allongement x du ressort (par rapport à une tension nulle), il faut tenir compte
de l’énergie potentielle associée au poids. L’énergie est alors 21 mx 2 + 12 kx 2 − mgx et sa conservation s’écrit
2
= 21 mv 2 ⇒ X max =
l’élongation maximale, donc 21 kX max
2
1
2 kx max
− mgx max = 21 mv 2 + 21 k A20 − mg A 0 .
5) Comme les deux mobiles sont soumis à des forces conservatives, leur retour à la position de départ implique qu’ils
retrouvent la même énergie cinétique. Donc immédiatement avant le second choc, m a la vitesse −v et m ′ a la vitesse
−v ′ . Cela implique, d’après la partie I, qu’après le choc m est immobile et m ′ a la vitesse −v0 .
6) m ′ remonte jusqu’en O, puis le mouvement recommence à l’identique. Sa période est
2v ′ 2v0
2 × ( 2, 2 + 2, 8 )
T1 = −
+
=
= 1, 02 s .
9, 8
g
g
C.
1) Posons M = m + m ′ . Lors du choc, la quantité de mouvement est conservée :
λv0
v
m ′v0 = MV V =
= 0 = 0, 7 m . s−1 .
1+λ
4
(1 + λ ) A 0
k
M
A
4 × 0, 2
0
T = 2π
= 2π
= 2π
= 1, 02 s .
2) ω2 =
3 × 9, 8
M
mg
g
3) Résolution par l’énergie
Soit x l’allongement du ressort (par rapport à un ressort de tension nulle, et non par rapport à la position d’équilibre,
qui est modifiée par la présence de m ′ ). L’énergie potentielle associée à la force totale agissant sur le mobile est la
somme de l’énergie potentielle associée au poids −Mgx et de l’énergie potentielle associée à la tension du ressort
2
2
1
1
1
2
2 kx . Ecrivons que l’énergie totale du mobile 2 Mx − Mgx + 2 kx prend la même valeur aux positions extrêmes
pour lesquelles x = 0 et immédiatement après le choc :
2
2
2
1
1
1
2 kx − Mgx = 2 MV + 2 k A 0 − Mg A 0
(
)
1 mg 2
1 m ′2v02
1 mg 2
1 m2 / 9
4
1 1 4
mg A 0
4g A 0 +
x − Mgx =
+
A 0 − Mg A 0 =
− mg A 0 =
+ − mg A 0
2 A0
2 M
2 A0
2 4m / 3
2
3
6 2 3
1 mg 2
2
x − Mgx = − mg A 0
2 A0
3
x2 −
8A 0
4A2
x+ 0 =0
3
3
DS : dynamique avec chocs, page 4
qui a pour racines x min =
2A 0
et x max = 2A 0 . Les longueurs extrêmes de l’élastique sont donc
3
5A 0
= 0, 333 m et A max = 3A 0 = 0, 6 m .
3
x
− x min
2A
L’amplitude est max
= 0 = 0,133 m .
2
3
3 Résolution passant par l’étude en fonction du temps.
L’allongement obéit à
Mg
x = A cos ωt + B sin ωt +
k
Mg
mg
m ′g
A
x (0) = A +
=
⇒A=−
=− 0
3
k
k
k
V
v M
A 0g 4 A 0
A
x ( 0 ) = B ω ⇒ B =
= 0
=
= 0
4 k
2
3g
ω
3
4A 0
A0
A0
sin ωt +
x = − cos ωt +
3
3
3
Les positions extrêmes sont atteintes quand
x = 0
A min =
A0
A
ω sin ωt + 0 ω cos ωt = 0
3
3
tan ωt = − 3
2π
5π
ou
(modulo 2π)
3
3
A
A
A 1
A
2π
2π 4 A 0
3 4A 0
+ 0 sin
+
= 0 + 0
+
= 2A 0
x max = − 0 cos
3
3
3
3
3 2
3
3
3 2
A
A
A 1
A
5π
5π 4 A 0
3 4A 0
2A
+ 0 sin
+
=− 0 − 0
+
= 0
x min = − 0 cos
3
3
3
3
3 2
3
3
3
3 2
d’où la même conclusion que dans l’autre résolution.
3) Variante de la résolution précédente utilisant la représentation complexe des fonctions sinusoïdales.
4A
A
A
La représentation complexe de y = x − 0 = − 0 cos ωt + 0 sin ωt est
3
3
3
A0
A0
A0
A0
π
y = − exp ( i ωt ) +
exp i ωt −
= − −i
exp ( i ωt ) dont les valeurs extrêmes sont
3
2
3
3
3
ωt =
(
) (
)
() ( )
A0
A
1 2
1 2
2A
− i 0 = ±A 0
+
=± 0.
3
3
3
3
3
D’où une amplitude 2A 0 / 3 et des valeurs extrêmes 4 A 0 / 3 ± 2A 0 / 3 , soit 2A 0 / 3 et 2A 0 .
1 m ′v 2 − 1 MV 2
V
0
2
4) La perte relative d’énergie cinétique du système pendant le choc est 2
= 1−
= 75% .
1 m ′v 2
v0
0
2
±y =±−
DS : dynamique avec chocs, page 5