Notes

Chapitre 7
Analyse sinuso¨ ıdale
Jusqu’` a pr´ esent, on a seulement analys´ e des circuits ayant des sources constantes (DC).
Ce chapitre pr´ esente l’analyse de circuits ayant des sources variables (AC). On s’int´ eresse
aux sources sinuso¨ ıdales. Les sources sinuso¨ ıdales sont tr` es importantes, puisque le r´ eseau
´
electrique fonctionne avec des sources sinuso¨ ıdales ` a une fr´ equence de 60Hz.
L’´ etude des circuits ayant des sources sinuso¨ ıdales permet aussi d’apprendre les tech-
niques de base qui permettront l’analyse de circuits ayant des sources non-sinuso¨ ıdales.
On verra aussi que les m´ ethodes d’analyse vues dans les chapitres 1 ` a 3 s’appliquent
aussi dans le cas de sources sinuso¨ ıdales.
7.1 Source sinuso¨ ıdale
Une source sinuso¨ ıdale (d´ ependante ou ind´ ependante) produit une tension (ou un
courant) qui varie de fac¸on sinuso¨ ıdale avec le temps. On peut exprimer une source si-
nuso¨ ıdale avec un sinus ou un cosinus, mais c’est le cosinus qui est plus courant.
Une source sinuso¨ ıdale est donc exprim´ ee de la forme :
v(t) = Vmcos(ωt +φ) (7.1)
o` u les param` etres sont donn´ es ` a la figure 7.1. La fr´ equence du signal ωrepr´ esente la
fr´ equence radiale, et son unit´ e est le [rad/s]. La phase du signal est φ, en radians ou degr´ es,
et Vmest l’amplitude maximale de la source.
1

CHAPITRE 7. ANALYSE SINUSO¨ IDALE
0
0
Vm
−Vm
Temps
φ
T
Figure 7.1 – Source sinuso¨ ıdale
On a aussi les relations bien connues :
T=1
ff=ω 2π(7.2)
o` uTest la p´ eriode du signal, et fla fr´ equence.
Une autre valeur importante est la valeur RMS d’un signal. La valeur RMS est :
Vrms =s1
TZT
0
v2(t)dt (7.3)
Pour un signal sinuso¨ ıdal,
Vrms =s1
TZT
0
V2
Mcos2(ωt +φ)dt =Vm
√2(7.4)
La valeur rms d’un signal est importante dans le calcul des puissances. En effet, une source
sinuso¨ ıdale ayant une valeur rms de Vrms fournit la mˆ eme puissance (par p´ eriode) ` a une
r´ esistance Rqu’une source DC de mˆ eme amplitude.
7.2 Phaseur
Le phaseur est un nombre qui contient de l’information ` a propos de l’amplitude et
la phase d’une quantit´ e (tension ou courant dans notre cas). On obtient le phaseur en
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CHAPITRE 7. ANALYSE SINUSO¨ IDALE
appliquant la relation d’Euler 1:
ejθ = cos(θ) + jsin(θ) (7.5)
Donc, le cosinus est la partie r´ eelle :
cos(θ) = Re{ejθ}(7.6)
On peut appliquer cette relation ` a la d´ efinition de la tension sinuso¨ ıdale :
v=Vmcos(ωt +φ) (7.7)
=VmRe{ej(ωt+φ)}(7.8)
=VmRe{ejωtejφ}(7.9)
La partie ejωt est constante pour des tensions et courants ayant la mˆ eme fr´ equence. Le
phaseur est d´ efinit selon :
V=Vmejφ =Vm∠φ(7.10)
Exemple 1
Exprimer v= 120cos(60πt + 40◦) en phaseur.
On a les caract´ eristiques : Vm= 120, et φ= 40◦. Donc,
V= 120∠40◦
On peut aussi exprimer un phaseur comme un nombre complexe, en utilisant la rela-
tion d’Euler :
Vmejθ =Vmcos(θ) + jVmsin(θ) (7.11)
Exemple 2
Exprimer v= 120cos(60πt + 40◦) en phaseur complexe.
On a les caract´ eristiques : Vm= 120, et φ= 40◦. Donc,
V= 120∠40◦= 120(cos(40◦) + jsin(40◦)) = 91.93 + j77.13
1. En g´ enie ´ electrique, on utilise jpour repr´ esenter les nombres complexes, pour ´ eviter la confusion avec
le courant i
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CHAPITRE 7. ANALYSE SINUSO¨ IDALE
7.2.1 Op ´ eration sur des phaseurs
Addition ou soustraction
On doit transformer des phaseurs en forme complexe avant de faire l’addition ou la
soustraction.
Exemple 3
Additionner les deux phaseurs Y1= 20∠(−30◦) et Y2= 40∠(60◦).
On transforme :
Y1= 20cos(−30◦) + j20sin(−30◦) = 17.32 −j10
Y2= 40cos(60◦) + j40sin(60◦) = 20 + j34.64
La somme est :
YT=Y1+Y2= 37.32 + j24.64
En on retourne sous la forme polaire :
YT=√37.322+ 24.642∠tan−124.64
37.32= 44.72∠(33.43◦)
Multiplication
Pour la multiplication, on multiplie les amplitudes et on additionne les phases.
Exemple 4
Multiplier les deux phaseurs Y1= 20∠(−30◦) et Y2= 40∠(60◦).
YT=Y1·Y2= (20)(40)∠(−30◦+ 60◦) = 800∠(30◦)
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CHAPITRE 7. ANALYSE SINUSO¨ IDALE
Division
Pour la division, on divise les amplitudes et on soustrait les phases.
Exemple 5
Diviser les deux phaseurs Y1= 20∠(−30◦) et Y2= 40∠(60◦).
YT=Y1
Y2
=20
40∠(−30 −60) = 0.5∠(−90◦)
7.3 ´ El ´ ements passifs
Avant d’utiliser les phaseurs dans les circuits, il faut premi` erement trouver la relation
entre les tensions et courants des diff´ erents ´ el´ ements passifs.
7.3.1 R ´ esistance
Soit i=Imcos(ωt+θi), le courant dans une r´ esistance R. La tension dans cette r´ esistance
est :
vR=Ri =RImcos(ωt +θi) (7.12)
=Vmcos(ωt +θi) (7.13)
o` uVm=RIm.
D’apr` es cette relation, la tension et le courant ont la mˆ eme phase ; ils sont en phase. La
tension dans une r´ esistance est maximale au mˆ eme moment que le courant est maximal.
En termes de phaseurs, on peut ´ ecrire :
V=RI(7.14)
On d´ efinit maintenant un nouveau concept : l’imp´ edance (Z). L’imp´ edance repr´ esente
le rapport entre la tension et le courant d’un ´ el´ ement. Pour une r´ esistance,
ZR=VR
IR
=RIm∠(θi)
Im∠(θi)=R(7.15)
Pour une r´ esistance, l’imp´ edance est tout simplement la valeur de la r´ esistance R.
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