Cinematique du solide - Académie de Nancy-Metz

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SOMMAIRE
Cinématique du solide ................................................................................................................................... 3
1.
Modélisation des pièces mécaniques : ............................................................................................... 3
a.
Solide déformable en petites déformations : ........................................................................................ 3
b.
Solide déformable en grandes déformations : ...................................................................................... 3
c.
Solide déformable en surface : .............................................................................................................. 4
d.
Solide indéformable :............................................................................................................................. 4
2.
Position relative de deux solides, notion de point appartenant au solide. .......................................... 5
a.
Position relative de deux solides : ......................................................................................................... 5
b.
Point lié à un solide :.............................................................................................................................. 5
c.
Contact ponctuel entre deux solides : ................................................................................................... 6
3.
Champ des vecteurs vitesse des points d'un solide :........................................................................... 7
a.
Equiprojectivité du champ des vitesses d'un solide : ............................................................................ 7
b.
Torseur distributeur des vitesses :......................................................................................................... 7
c.
Opérations sur les torseurs :.................................................................................................................. 8
d.
Application : ......................................................................................................................................... 10
4.
Mouvements particuliers :............................................................................................................... 12
a.
Mouvement de translation : ................................................................................................................ 12
b.
Mouvement de rotation : .................................................................................................................... 13
c.
Trajectoires, vecteurs vitesse et accélération dans les mouvements particuliers : ............................ 13
5.
Composition des mouvements de solides : ...................................................................................... 14
a.
Composition des vecteurs vitesse : ..................................................................................................... 14
b.
Application : ......................................................................................................................................... 15
c.
Composition des torseurs distributeurs des vitesses d'un solide : ...................................................... 16
d.
Etude cinématique du contact ponctuel entre deux solides : ............................................................. 17
6.
Etude de mouvements plans de solides : ......................................................................................... 18
a.
Réduction d'un mouvement plan sur plan : ........................................................................................ 18
b.
Centre instantané de rotation : ........................................................................................................... 19
c.
Exploitation graphique du C.I.R. : ........................................................................................................ 20
d.
Base et roulante :................................................................................................................................. 22
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CINEMATIQUE DU SOLIDE
Problématique : L'objectif de la cinématique est de comprendre et de définir les relations entre les
mouvements des pièces principales d'un mécanisme.
1. MODELISATION DES PIECES MECANIQUES :
La modélisation des pièces d’un système, d’un mécanisme est fonction de l’étude que l’on envisage de
faire. Suivant les hypothèses retenues, on peut avoir:
a.
Solide déformable en petites déformations :
Les théories développées en élasticité et en résistance des matériaux posent entre autre pour
hypothèses que les pièces étudiées sont déformables, mais que ces déformations et les déplacements associés
demeurent petits.
Exemple d’une poutre encastrée :
Sous l’effet de F , la poutre se déforme et la section droite S0 se déplace vers une nouvelle
position S1.
L’étude des efforts de cohésion est faite en supposant la poutre non déformée, ce qui revient à
ne pas considérer le déplacement de la section S0 lors de cette étude.
F
A0
A1
b.
S0
S1
Solide déformable en grandes déformations :
Lorsque les déformations d’une pièce sont importantes par rapport à ses dimensions,
il devient impossible de les négliger. C’est le cas lors d’une étude d’un poteau lorsque l’effort
dépasse une valeur critique, la déformation augmente de façon très importante, provoquant
son effondrement. C’est du flambage, et cette sollicitation ne peut être étudiée qu’à
condition de prendre en compte les déformations.
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c.
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Solide déformable en surface :
Ce modèle est souvent utilisé dans l’étude des actions de contact entre deux pièces d’un mécanisme.
On considère alors que le solide reste globalement rigide, à l’exception de la zone située au voisinage immédiat
de la surface de contact avec la pièce voisine dont la déformation, bien que faible, est prise en considération.
Exemple des essais de dureté :
Type d'essai
Observations
Essai Brinell - HB
Le pénétrateur est une bille en acier trempé ou carbure de
tungstène de 𝜙 D sous une charge F en Newtons maintenue
15 secondes. On mesure le "d" de l'empreinte (d doit être
compris entre 0,2 et 0,5xD). K=30 pour les aciers.
Essai Rockwell C - HRC
Le pénétrateur est un cône de diamant de 120° d'angle et de
charge égale à 1373 N. On mesure l'accroissement "e" en
profondeur ou enfoncement rémanent.
Essai Rockwell B - HRB
Le pénétrateur est une bille en acier trempé de 1,6 mm de
diamètre et de charge égale à 883 N. On mesure
l'accroissement "e" en profondeur ou enfoncement
rémanent.
Essai Vickers - HV
Le pénétrateur est une pyramide droite à base carrée et
d'angle au sommet de 136° sous une charge F. On mesure les
diagonales "d" de l'empreinte.
d.
Solide indéformable :
On est souvent amené à supposer négligeables les déformations des pièces d’un mécanisme lors d’une
étude géométrique ou cinématique de celui-ci. Cela est exprimé par le fait que la distance entre deux points
quelconques A et B ∈ au solide est constante au cours du temps:
distance (A,B) = Cte
L’absence de déformations va nous permettre:
- de lier un repère à la pièce considérée et dans ce cas la position d’un point quelconque de la
pièce est constante dans ce repère
- distance (A,B) = Cte va nous permettre de représenter le champ des vitesses des points d’un
solide par un torseur.
Cette modélisation exclut naturellement les fluides, ainsi que les pièces qui subissent de grandes
déformations, comme les ressorts, les courroies de transmission.
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2. POSITION RELATIVE DE DEUX SOLIDES, NOTION DE POINT APPARTENANT AU SOLIDE.
a.
Position relative de deux solides :
z2
z1
y2
O2
O1
R2
y1
x1
x2
R1
Dans un repère la position relative des axes est invariante au cours du temps, c'est pourquoi un repère
est équivalent à un solide.
De ce fait l'étude du mouvement du solide S2 par rapport au solide S1 est identique à l'étude du
mouvement du repère R2 lié au solide S2, par rapport au repère R1, lié au solide S1.
(
)
Positionner le solide S2 par rapport au solide S1, revient à positionner le repère R 2 O2 , x 2 , y 2 , z 2 lié au
(
)
solide S2 par rapport au repère R1 O1 , x 1 , y 1 , z1 lié au solide S1.
On suppose pour le moment qu'il n'y a aucune liaison entre les deux solides S1 et S2.
b.
Point lié à un solide :
M
•
2
𝑦⃗
O
1
𝑥⃗
3
𝑦1
���⃗
• P
𝑥1
���⃗
Considérons un point P d'un solide 1 en mouvement par rapport à un repère R. Ce point appartient
naturellement au solide, c'est à dire qu'à chaque instant il est lié au solide.
Pour mettre en évidence cette propriété, on note le vecteur vitesse et le vecteur accélération du point
P par rapport au repère R, à la date t :
V(P ∈ 1 / R) ou VP ,1 / R et Γ(P ∈ 1 / R) ou ΓP ,1 / R .
Considérons un point M naturellement lié à un autre solide 2 en mouvement par rapport au repère R
et au solide 1.
On peut être amené à calculer, à l'instant t, le vecteur vitesse ou le vecteur accélération du point M
par rapport au repère R, lié à l'instant t au solide 1 (on dira supposé appartenant) : V(M ∈ 1 / R) et Γ(M ∈ 1 / R) .
Nous verrons que le calcul du vecteur vitesse ou du vecteur accélération ne se fait pas de la même
façon si le point appartient naturellement au solide, ou si le point est supposé lié à l'instant t au solide.
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c.
Contact ponctuel entre deux solides :
Considérons deux solides 1 et 2, en contact
ponctuel en un point P et en mouvement par rapport à
un repère R. Au point de contact, à un instant donné, on
distingue trois points :
- un point lié au solide 1
- un point lié au solide 2
- le point de contact, qui n'appartient à aucun des deux
solides.
On notera les vecteurs vitesse respectivement :
V(P ∈ 1 / R) , V(P ∈ 2 / R) , V(P / R)
On constate que ce n'est pas parce qu'on étudie
la cinématique du solide, que l'on calcule uniquement
des vecteurs vitesse qui appartiennent à des solides.
1
z
2
P
•
O
y
x
Application : Gyropode.
Soit le gyropode en mouvement par rapport au repère fixe
𝑅0 (𝑂; 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).
− Le repère 𝑅1 (𝑂1 ; 𝑥
���⃗,
���⃗,
���⃗),
associé au solide 1 cadre du
1 𝑦
1 𝑧
1
gyropode, est déduit de R0 et défini par :
��������⃗1 = 𝜆. 𝑥⃗ + 𝑅. 𝑦⃗ avec 𝜆 ≠ 𝑐𝑐𝑐 et 𝑅 = 𝑐𝑐𝑐
𝑂𝑂
− Le repère 𝑅2 (𝑂1 ; 𝑥
����⃗,
����⃗,
���⃗)
2 𝑦
2 𝑧
2 associé au solide 2 roue du
gyropode, est déduit de R1 tel que :
𝜃 = (𝑥
���⃗,
����⃗)
1 𝑥
2
Calculez les vecteurs suivants : V(I∈1 / R 0 ) , V(I∈ 2 / R 0 )
1
2
𝑦⃗
O
𝑦1
���⃗
O1
I
•
𝑥⃗
θ
𝑥1
���⃗
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3. CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D'UN SOLIDE :
a.
Equiprojectivité du champ des vitesses d'un solide :
Le paramètre temps t étant fixé, le champ qui a tout point M d’un solide (S) associe le vecteur vitesse
VM∈S/R0 s’appelle le champ des vitesses du solide (S) à l’instant t.
(
)
Soient A et B, deux points liés au solide 2 en mouvement par rapport au repère R 0 O, x , y , z .
2
Dérivons la relation AB = Cte par rapport au temps dans le repère R0 (car le solide est indéformable)
 dAB2 
 dAB 
2

 = 2AB.
 = 0 ∀ A et ∀ B car AB = Cte
 dt 
 dt  R0

 R0
(
 dAB 
 d AO + OB
Or 
 =
dt
 dt  R 
0
)
 R
0
= VB∈S/R 0 − VA∈S/R 0
AB.VB∈S / R0 = AB.VA∈S / R0 ∀ A et ∀ B ∈ (S)
Donc :
�����������⃗
𝑉𝐵,2⁄𝑅0
2
A
•
�������������⃗
𝑉𝐴,2⁄𝑅0
3
𝑦1
���⃗
𝑦⃗
1
𝑥1
���⃗
𝑥⃗
O
B
•
Le champ des vitesses d’un solide est équiprojectif. Cela signifie que les mesures algébriques des
projections orthogonales, sur un axe de direction AB, des vecteurs vitesse des points A et B sont égales.
Ce résultat se comprend aisément: les points A et B doivent se suivre dans le mouvement du solide S
par rapport au repère R0 sinon le solide éclaterait !
Cette relation est surtout utilisée dans la résolution graphique des problèmes de cinématique.
b.
solide.
VA ,1 / R0
Torseur distributeur des vitesses :
Soit le solide 1 en mouvement par rapport au repère R0. Considérons les deux points A et B de ce
D'après la formule de changement de base, on peut écrire :
 d OO1 + O1 A 
 dO A 
 dOA 
=
 = VO1 ,1 / R0 +  1  + Ω R1 / R0 ∧ O1 A
 =
dt
 dt  R0 
 R0
 dt  R1
(
)
D'où : VA ,1 / R0 = VO1 ,1 / R0 + Ω R1 / R0 ∧ O1 A
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Par analogie : VB ,1 / R0 = VO1 ,1 / R0 + Ω R1 / R0 ∧ O1B
(
)
VB ,1 / R0 = VO1 ,1 / R0 + Ω R1 / R0 ∧ O1 A + AB = VO1 ,1 / R0 + ΩR1 / R0 ∧ O1 A + ΩR1 / R0 ∧ AB
Finalement on obtient une relation qui lie les vecteurs vitesse de deux points d'un solide :
VB ,1 / R0 = VA ,1 / R0 + ΩR1 / R0 ∧ AB que l'on écrira plutôt sous la forme :
VB ,1 / R0 = VA ,1 / R0 + BA ∧ ΩR1 / R0
C'est le champ des vecteurs vitesse des deux points d'un solide (relation de changement de point)
Cette relation est primordiale puisqu'elle permet de définir, à partir de la vitesse d'un point connue et
la vitesse de rotation du solide, la vitesse de n'importe quel autre point !
Cette relation établit que le champ des vitesses d’un solide est le champ des moments d’un torseur
dont la résultante ΩR 2 /R 0 est appelée vecteur instantané de rotation.
On appelle ce torseur le torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses dans le mouvement
de (S) par rapport à R0 et on note ses éléments de réduction au point A :
{ϑ{ / R }A =
0

 Ω
{ / R0 


VA ,{ / R 0 
A
Ainsi pour connaître complètement le champ des vitesses d’un solide (S) dans son mouvement par
rapport à R0, il suffit de connaître, en un point, les éléments de réduction du torseur distributeur des vitesses
associé.
c.
Opérations sur les torseurs :
Relation de changement de point :

R 

Soit le torseur {T}=   exprimé en A dont on souhaite connaître l'expression en B.
M 
A A
On utilisera pour cela la relation suivante : MB = MA + BA ∧ R


R


On pourrait donc écrire le torseur exprimé en B : {T}= 



M
=
M
+
BA
∧
R
A

B B
La résultante R reste inchangée car c'est le premier invariant du torseur.
Egalité de deux torseurs :


 R[T ] 

 R[T ] 

Deux torseurs {T1 }=  1  et {T2 }=  2  sont égaux s'ils ont mêmes éléments de réduction
M
M




A  A [T2 ] 
A  A [T1 ] 
en un point, réciproquement s'ils ont mêmes éléments de réduction en un point, ils sont égaux :
- R[T1 ] = R[T2 ]
- et s'il existe un point A où MA[T1 ] = MA[T2 ]
Torseur nul :
Un torseur est nul si son moment est nul en tout point de l'espace. Pour cela il faut et il suffit que sa
résultante soit nulle R[T ] = 0 et qu'il existe un point A où le moment est nul.
MA = 0 ceci entraîne ∀B de l'espace : MB = MA + BA ∧ R = 0
On pourra alors écrire : {T} = {0}
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Somme de deux torseurs :
Soient deux torseurs {T1 } et {T2 } dont les éléments de réduction en un point sont connus alors :
 R [T ] 


 R [T1 ] 
2

 et {T2 }= 

M
M




[
]
A [T1 ] 
A
T
2


A
A
est défini par :
{T1 }=
Le torseur {T1 }+ {T2 }
{T1 }A + {T2 }A =
 R[T ] + R[T ] 
1
2


M
M
+

A
[
T
]
A
[T2 ] 
1

A
Attention ! La somme de deux torseurs s'effectue sur des éléments de réduction pris au même point.
Multiplication par un réel :



R
Si λ est un réel et {T1 } =  [T1 ] 

A
MA[T1 ] 
 λ.R[T ] 
1
Le torseur λ.{T1 } = 

λ
.
M

A [T1 ] 
A
Invariants d'un torseur :
 R 
On suppose connu le torseur {T} par ses éléments de réduction au point A : {T}=  
M 
A A
La résultante générale R d'un torseur est le premier invariant.
Le scalaire R.MA , aussi appelé automoment, est le deuxième invariant en effet :
(
)
(
)
R.MB = R. MA + BA ∧ R mais le produit R. BA ∧ R = 0 ∀ A et B, donc :
R.MB = R.MA
Produit (ou comoment) de deux torseurs :

 R


R

Soient deux torseurs : {T1 }A =  [T1 ]  et {T2 }A =  [T2 ] 

MA[T2 ]  A
MA[T1 ] 
A
Le comoment de ces deux torseurs est le scalaire défini par :
 R[T ]   R[T ] 
1
 . 2  = R[T1 ].MA [T2 ] + R[T2 ].MA[T1 ]
M
 A [T1 ]  A MA [T2 ]  A

{T1 }{
. T2 } = 
Le produit de deux torseurs est commutatif.
Le produit de deux torseurs est indépendant du point choisi pour exprimer les torseurs.
Le résultat du comoment est un scalaire.
Attention ! Pour effectuer le comoment de deux torseurs, ceux-ci doivent être réduits au même point !
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d.
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Application :
Soit l'attelle de rééducation en mouvement par rapport au repère fixe 𝑅0 (𝑂; 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).
− Le repère 𝑅1 (𝑂1 ; 𝑥
���⃗,
���⃗,
���⃗),
1 𝑦
1 𝑧
1 associé au solide 1 chariot de l'attelle, est déduit de R0 et défini par :
��������⃗1 = 𝜆. 𝑥⃗ + ℎ. 𝑦⃗ avec 𝜆 ≠ 𝑐𝑐𝑐 et ℎ = 𝑐𝑐𝑐
𝑂𝑂
− Le repère 𝑅2 (𝑂1 ; 𝑥
����⃗,
𝑦
����⃗,
𝑧
���⃗)
2 2 2 associé au solide 2 équerre de l'attelle, est déduit de R1 tel que :
𝜃 = (𝑥
���⃗,
����⃗)
1 𝑥
2
− Le repère 𝑅3 (𝑂3 ; 𝑥
����⃗,
𝑦
����⃗,
𝑧
���⃗)
associé
au
solide
3
montant
de l'attelle, est déduit de R2 tel que :
3 3 3
𝛼 = (𝑥
����⃗,
𝑥
����⃗)
2 3
On donne les coordonnées des points A et B dans le repère R2 : A ( c, d, 0) et B ( e, d, 0)
�����������⃗
𝑉𝐵,2⁄𝑅0
2
A
•
3
�������������⃗
𝑉𝐴,2⁄𝑅0
𝑦1
���⃗
𝑦⃗
O
B
•
1
𝑥⃗
𝑥1
���⃗
Q1. Etablir les figures de changement de base nécessaires.
�������������⃗
�������������⃗ �������������⃗
�������������⃗ �������������⃗
Q2. Définir les vecteurs vitesse de rotation : Ω
𝑅1 ⁄𝑅0 , Ω𝑅2 ⁄𝑅1 , Ω𝑅3 ⁄𝑅2 puis Ω𝑅2 ⁄𝑅0 et Ω𝑅3 ⁄𝑅0 .
���������������⃗
Q3. Déterminer 𝑉
𝑂1 ,1⁄𝑅0 et en déduire le torseur cinématique �𝜐1⁄𝑅0 � . Que peut-on dire de ce torseur ?
𝑂1
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COURS
�������������⃗
Q4. Déterminer 𝑉
𝐴,2⁄𝑅0 et en déduire le torseur cinématique �𝜐2⁄𝑅0 �
𝐴
Q5. Déterminer alors le torseur cinématique �𝜐2⁄𝑅0 �
𝐵
Q6. On vous propose de vérifier l'équiprojectivité de votre champ de vecteurs vitesse.
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4. MOUVEMENTS PARTICULIERS :
a.
Mouvement de translation :
)
(
(
)
Soit R1 O1 , x 1 , y1 , z1 un repère lié au solide S1. Soit R2 O2 , x 2 , y 2 , z2 un repère lié au solide S2. Si les
axes de R2 restent parallèles aux axes de R1, le solide S2 est alors animé d’un mouvement de translation par
rapport à S1.
z1
Circulaire
Rectiligne
z2
O1
x1
O2
y1
x2
Curviligne
y2
- Si le point O2 décrit une droite dans le repère R1, la translation est dite rectiligne sinon elle est dite
curviligne ou quelconque.
- Si le point O2 décrit un arc de cercle dans le repère R1, la translation est dite circulaire.
Comme à tout instant, le vecteur instantané de rotation est nul : Ω S2 / S1 = 0 .
Considérons 2 points quelconques A et B liés au solide S2, on peut écrire : VB ,S2 / S1 = VA ,S2 / S1 + BA ∧ Ω S2 / S1
comme BA ∧ Ω S2 / S1 = 0 , il en résulte que :
VB ,S2 / S1 = VA ,S2 / S1 ∀ A et B ∈ à S2. Donc tous les points de S2 ont même vitesse par rapport à S1.
Si tous les points de S2 admettent la même vitesse par rapport à S1, alors le mouvement de S2 par
rapport à S1 est une translation.
Torseur cinématique caractéristique d'un mouvement de translation :


 valable en tous points du solide
 ?,{ / R0 
?
{ϑ{ /R }? = V 0
0
Remarque : Les notions de vitesse et d’accélération ne sont définies que pour un point. Parler de la vitesse
d’un solide n’a pas de sens hormis quelques mouvements particuliers tels que la translation.
Attention ! A un instant donné, tous les vecteurs vitesse des points du solide S2 sont égaux, mais en
général, entre deux instants t et t+Δt, les vecteurs vitesse changent.
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b.
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Mouvement de rotation :
Si deux points A et B d’un solide S2 admettent une vitesse nulle
dans S1, alors le solide S2 est animé d’un mouvement de rotation autour
d’un axe (∆) passant par les points A et B, par rapport au solide S1.
(
Soit
(
R1 O1 , x 1 , y1 , z1
)
)
z1 , z 2
S2
un repère lié au solide S1. Soit
K•
R2 O2 , x 2 , y 2 , z2 un repère lié au solide S2. La rotation est repérée par
( )
θ = x 1 , x 2 et tel que z2 = z1 .
B•
Propriétés :
VM,S2 / S1
M
•
A•
Par définition, le vecteur vitesse instantané de rotation s’exprime par :
Ω
= θ .z
S2 / S1
O1 ,O2 •
H
C•
1
La vitesse d’un point C, situé sur (∆), est nulle dans le mouvement de S2 par x 1
rapport à S1. En effet ∀ C ∈ à (∆) :
θ
x2
(∆ )
VC ,2 / 1 = VO2 ,2 / 1 + CO2 ∧ Ω S 2 / S1 or VO2 ,2 / 1 = 0 car O2 confondu avec O1 origine du repère R1.
De plus CO2 et Ω S 2 / S 1 sont colinéaires donc leur produit vectoriel donne un vecteur nul.
∀C ∈ (∆ ), VC ,2 / 1 = 0
On peut donc conclure que :
Vitesse d’un point M ∉ à l’axe (∆) :
Soit K la projection orthogonal de M sur (∆) :
VM,2 / 1 = VK ,2 / 1 + MK ∧ Ω S 2 / S1 = MK ∧ Ω S 2 / S1 avec MK orthogonal à Ω S 2 / S 1
( )
donc : VM,2 / 1 = MK . Ω S 2 / S1 .sin π 2 = MK . Ω S 2 / S1
On peut conclure que la norme de la vitesse est proportionnelle :
- à la norme du vecteur rotation
- à la distance entre le point considéré et l'axe de rotation
Torseur cinématique caractéristique d'un mouvement de rotation :
{ϑ{ /R }C =
0
c.
Ω { / R 
0

 valable ∀ C ∈ à (∆) axe de rotation du solide


0

C
Trajectoires, vecteurs vitesse et accélération dans les mouvements particuliers :
Les mouvements particuliers que nous venons de voir sont facilement identifiables et il est utile de
savoir définir les trajectoires et les positions des vecteurs vitesse et accélération qui en résultent.
Mouvement de translation rectiligne d'axe X par exemple:
-
Trajectoire d'un point A : droite (A, X )
-
Vecteur vitesse : tangent à la trajectoire donc colinéaire à la droite (A, X )
-
Vecteur accélération : tangent à la trajectoire donc colinéaire à la droite (A, X ) (dans ce cas
seule l'accélération tangentielle existe)
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θ
y2
y1
Spé
ATS
COURS
Mouvement de translation circulaire autour d'un axe (O, Z ) par exemple :
- Trajectoire d'un point A : cercle de centre O et de rayon [OA].
- Vecteur vitesse : tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [OA]
- Vecteurs accélération :
Tangentielle : tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [OA]
Normale : vers le centre instantané de rotation (ici permanent) donc colinéaire à
[OA] et vers O.
Mouvement de rotation autour d'un axe (O, Z ) par exemple :
- Trajectoire d'un point A : cercle de centre O et de rayon [OA].
- Vecteur vitesse : tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [OA]
- Vecteurs accélération :
Tangentielle : tangent à la trajectoire donc perpendiculaire au rayon [OA]
Normale : vers le centre instantané de rotation (ici permanent) donc colinéaire à
[OA] et vers O.
5. COMPOSITION DES MOUVEMENTS DE SOLIDES :
On va établir la relation entre les torseurs cinématiques de solides en mouvement relatif.
a.
Composition des vecteurs vitesse :
(
)
(
)
Désignons, à l’instant t, par R0 O, i, j, k et par R1 O1 , x1 , y1 , z1 deux repères tels que : O1 soit un point
(
)
( )
en mouvement dans R0, la base x1 , y1 , z1 soit issue de la base i, j, k par une fonction rotation R(t).
Soit M un point en mouvement dans R0 et R1.
z1
k
On se propose de trouver la relation qui lie VM / R0
M
•
et VM / R1 :
(
)
 d OO + O M 
 dOO 
 dO M 
1
1
1
VM / R 0 = 
 =
 + 1 
dt

 R 0  dt  R 0  dt  R 0
 dOO 
1
 = VO1 / R 0
Par définition : 
dt

 R
0
y1
O1
O
i
D'autre part d'après la formule de la base mobile :
 dO M 
 dO M 
 1  =  1  + ΩR1 / R 0 ∧ O1M et par définition :
 dt  R  dt  R
0
1
j
x1
 dO M 
 1  = VM / R1
 dt  R
1
Il vient en regroupant les termes :
VM / R 0 = VM / R1 + VO1 / R 0 + ΩR1 / R 0 ∧ O1M
Remarque : En cinématique aucun repère n’est privilégié par rapport aux autres. Le calcul fait dans l’autre
sens aurait donné : VM / R1 = VM / R 0 + VO / R1 + ΩR 0 / R1 ∧ OM
Autre expression :
Supposons le point M fixe dans le repère R1 (supposé appartenant), la relation du champ des vitesses
donnerait alors, VM/R1 étant nul :
VM∈R1 /R 0 = VO1 /R 0 + ΩR1 /R 0 ∧ O1M
Ainsi, dans le cas où le point M n’est plus fixe dans R1, nous pouvons écrire :
VM/R 0 = VM/R1 + VM∈R1 /R 0
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Spé
ATS
COURS
Où le terme
VM∈R1 /R0 est la vitesse du point M coïncidant dans R1, c’est à dire la vitesse du point M
comme s’il était fixe dans R1.
La relation de composition des vecteurs vitesse permet de déterminer rapidement la vitesse d’un
point dont le mouvement est complexe en considérant une suite de référentiels successifs, chacun en
mouvement simple par rapport au précédent. Soient n référentiels successifs permettant de passer de R0 à Rn.
On peut écrire les relations de Chasles suivantes :
ΩRn /R 0 = ΩRn /Rn−1 + ... + ΩR1 /R 0
VM∈Rn /R 0 = VM∈Rn /Rn−1 + ... + VM∈R1 /R 0
La notation VM/R 0 est généralement réservée aux solides assimilables à un point ou aux points
Remarques :
géométriques qui n'appartiennent à aucun solide, comme les points de contact entre solides.
La notation VM∈R 1 /R 0 est à utiliser pour les points qui appartiennent naturellement à un solide,
ou que l'on suppose lié, à l'instant t, au solide.
Le vocabulaire: vitesse absolue, vitesse relative, vitesse d'entraînement, n'a plus vraiment de
sens si le point considéré est en mouvement par rapport à plus de deux repères.
Exemple d'écriture en cinématique du solide :
Soit un solide S2 en mouvement par rapport à un solide S1 lui-même en mouvement par rapport à un
repère R ; la composition des vecteurs vitesse d'un point M appartenant au solide S2 s'écrit alors :
��������������⃗
���������������⃗ ��������������⃗
𝑉
𝑀,𝑆 ⁄𝑅 = 𝑉𝑀,𝑆 ⁄𝑆 + 𝑉𝑀,𝑆 ⁄𝑅
b.
2
Application :
2
1
1
On reprend l'exemple de l'attelle de rééducation :
�����������⃗
𝑉𝐵,2⁄𝑅0
2
A
•
�������������⃗
𝑉𝐴,2⁄𝑅0
3
𝑦1
���⃗
𝑦⃗
O
B
•
1
𝑥⃗
𝑥1
���⃗
�������������⃗
Q1. Ecrire la composition des vecteurs vitesse de la vitesse absolue : 𝑉
𝐴,2⁄𝑅0
Q2. Déterminer les vitesses relative et d'entrainement.
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Spé
ATS
COURS
c.
Composition des torseurs distributeurs des vitesses d'un solide :
Soient deux repères Ri et Rj en mouvement relatif. Un solide (S) en mouvement par rapport aux deux
repères précédents. Considérons deux points A et B de ce solide (S).
Nous cherchons la relation qui existe
entre les torseurs cinématiques :




υS / R  et υS / R  .

i
j 

En cinématique du point nous avons
montré que ∀ le point A :
B
•
zj
zi
A
VA /R i = VA /R j + VA∈R j /R i
•
ℜj
Alors si A est lié à (S) :
Oi
VA∈S/R i = VA∈S/R j + VA∈R j /R i
Il reste à démontrer la relation de
composition des vecteurs instantanés de rotation.
Soit B un point lié à (S). On peut écrire :
xi
Oj
ℜi
yi
(S)
yj
xj
VB∈S/R i = VB∈S/R j + VB∈R j /R i
VB∈S/R i = VA∈S/R i + BA∧ Ω S/R i et VB∈S/R j = VA∈S/R j + BA∧ Ω S/R j et VB∈R j /R i = VA∈R j /R i + BA∧ ΩR j /R i
Reportons dans VB∈S/R i = VB∈S/R j + VB∈R j /R i , on obtient :
VA∈S/R i + BA∧ Ω S/R i = VA∈S/R j + BA∧ Ω S/R j + VA∈R j /R i + BA∧ ΩR j /R i or VA∈S/R i − VA∈S/R j − VA∈R j /R i = 0
)
(
On en déduit : BA∧ Ω S/R j + ΩR j /R i − Ω S/R i = 0
Soit la composition des vecteurs instantanés de rotation :
Ω S/R i = Ω S/R j + ΩR j /R i
Ainsi sur le plan torsoriel :
 


 
υS / R  = υS / R  + υR / R  au même point
i  
j   j i 

Application : Attelle de rééducation
Q1. Ecrire la composition des torseurs cinématique du torseur cinématique associé au mouvement de 2
par rapport au repère R0, par ses éléments de réduction au point O1 : �𝜐2⁄𝑅0 � .
𝑂1
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Spé
ATS
COURS
Q2. Déterminer les torseurs de votre expression, que peut-on remarquer ?
d.
Etude cinématique du contact ponctuel entre deux solides :
Deux solides S1 et S2 de frontières ∑1 et ∑2 sont dits en contact ponctuel à l’instant t si un point A1(t) ∈
à la configuration S1(t) et un point A2(t) ∈ à la configuration S2(t) sont confondus en un même point A(t).
Appelons υ{2 / {1 le torseur distributeur des vitesses du solide S2 par rapport au solide S1 et
A
{
}
supposons que ses éléments de réduction au point A(t) à l’instant t soient :



 Ω S2 / S1 

υ S / S = 

V
2
1




A
,
S
/
S
A
2
1 
A
→

ΩN

→
S1
z
Ω S 2 / S1
∑1
C1
n

→
A

→
ΩT
Plan tangent
commun π
VA∈S2 / S1
C2
O
S2
R
y
∑2
x
Supposons que les solides admettent un plan P(t) au point de contact, permettant de définir le vecteur
unitaire normal n orienté de S1 vers S2.
Vitesse de glissement :
Définition : Le vecteur VA∈S2 / S1 est appelé vecteur vitesse de glissement de S2 par rapport à S1.
Dans le cas où ce vecteur est nul ou considéré comme tel, on dit qu’il y a roulement et (ou)
pivotement sans glissement de S2 par rapport à S1.
La condition de roulement et (ou) pivotement sans glissement (CRSG) s’écrit :
VA∈S2 / S1 = 0
On montre que si le contact entre les deux solides est maintenu, le vecteur vitesse de glissement est
situé dans le plan tangent π au contact.
Pour calculer VA∈S2 / S1 on passe en général par l’intermédiaire d’un point qui n’est pas un point de
contact :
VB ,S2 / S1 = VA ,S2 / S1 + BA ∧ Ω S2 / S1
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Spé
ATS
COURS
Vecteurs roulement et pivotement :
Le vecteur instantané de rotation Ω S2 / S1 admet une composante sur la normale n au contact et une
composante dans le plan tangent π :
(
)
le vecteur ΩN = Ω S2 / S1 .n .n est appelé vecteur pivotement de S2 par rapport à S1.
le vecteur Ω T = Ω S2 / S1 −ΩN est appelé vecteur roulement de S2 par rapport à S1.
Application : Gyropode.
Q1. Définir la CRSG en I :
Q2. Ecrire la composition des vecteurs vitesse en I et vérifier la :
1
2
𝑦⃗
O
𝑦1
���⃗
O1
I
•
𝑥⃗
θ
𝑥1
���⃗
6. ETUDE DE MOUVEMENTS PLANS DE SOLIDES :
Le mouvement plan sur plan est fréquemment rencontré (engrenages, système bielle-manivelle,
excentrique...) et ce paragraphe permettra de mettre en évidence des propriétés originales afin de déterminer
simplement la cinématique de ces mouvements.
a.
Réduction d'un mouvement plan sur plan :
Tout mouvement plan sur plan peut être réduit soit à une translation, soit à une rotation.
Dans le mouvement du plan PM sur le plan fixe P0, prenons un bipoint AB ∈ à PM et relevons les
positions A 1B1 à l'instant t1 puis A 2B2 à l'instant t2.
Si comme dans le premier cas on a A 1B1 = A 2B2 , le mouvement peut être réduit à un mouvement de
translation. Dans la situation opposée du deuxième cas, on étudie les 2 triangles CA1B1 et CA2B2, on montre
qu'ils sont égaux et superposables par une rotation de centre C (sommet commun aux deux triangles). Ainsi le
mouvement peut être réduit à un mouvement de rotation de centre C.
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A 2B 2
Spé
ATS
COURS
B2
B1
A2
A1
A1
1° cas
B1
B2
2° cas
A2
Dans un problème considéré comme plan, un solide k possède au maximum trois degrés de liberté par
rapport à un repère de référence Ri.
Si le plan d'étude est le plan Pi de normale Z i = Z k , alors le mouvement du solide k par rapport au
solide i est décrit par le torseur cinématique :
{ϑ(P /P )}=
M
b.
0
 ω.zki



V .x + Vy .y i 
Ok  x i
Centre instantané de rotation :
Dans le mouvement du plan PM sur le plan fixe P0, observons deux points distincts A et B ∈ PM. Comme
dans le deuxième cas ci-dessus, il est possible de passer du bipoint A 1B1 au bipoint A 2B 2 à l'aide d'une
rotation.
Si on considère un intervalle de temps t2-t1 = ∆t suffisamment petit, les médiatrices des segments A1A2
et B1B2 tendent à se confondre avec les normales en A1 et B1 aux trajectoires respectives des points A et B. Le
point I, centre de la rotation, est appelé Centre Instantané de Rotation C.I.R.
Théorème : Le centre instantané de rotation se trouve à chaque instant sur la normale à la trajectoire de
chacun des points du plan mobile PM.
Ainsi pour un point N ∈ PM, on a:
V(N∈PM / PO ) = NI ∧ ΩPM / PO
Avec Ω PM / PO le vecteur de rotation instantané du mouvement plan sur plan et lié au CIR, à l'instant t.
Conséquence :
Le Centre Instantané de Rotation du mouvement du plan PM par rapport au plan PO à l'instant
t est le point appartenant à PM dont le vecteur vitesse est égal au vecteur nul à l'instant
considéré.
Ce qui peut se formuler : à l'instant t, VI∈PM / PO =0
Ce point I s’appelle Centre Instantané de Rotation (C.I.R.) du mouvement de S2 par rapport à S1. Tout
se passe comme si le solide S2 était en rotation autour du point I à l’instant considéré.
Le C.I.R. n’occupe pas une position fixe dans le temps, ni par rapport à S1, ni par rapport à S2.
Un torseur n'a qu'un axe central, le centre instantané de rotation est donc unique.
Sa définition est instantanée et son utilisation n’a d’intérêt que pour une configuration donnée.
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Spé
ATS
COURS
V(A )
A1
B1
V(B )
•
B2
•
A2
I
c.
Exploitation graphique du C.I.R. :
Premier cas :
Connaissant le C.I.R. et le point M, on détermine la direction de VM∈S2 / S1 .
VM∈S2 / S1 = VI∈S2 / S1 + MI ∧ Ω S2 / S1 = MI ∧ Ω S2 / S1 donc VM∈S2 / S1 est orthogonal à IM .
Support de
VM∈S2 / S1
M
•
Deuxième cas :
I
•
Déterminer le C.I.R. connaissant les directions des vitesses de deux points d'un
solide.
Soient M et P ces 2 points. On suppose que l’on connaît VM∈S2 / S1 et VP∈S2 / S1 .
D’après ce l’on a vu au premier cas, le C.I.R. noté I est situé sur la perpendiculaire à VM∈S2 / S1 . De même, le
C.I.R. noté I est situé sur la perpendiculaire à VP∈S2 / S1 . Le C.I.R. est donc situé à l’intersection des 2
perpendiculaires.
VP∈S2 / S1
M
P
VM∈S2 / S1
I
•
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Spé
ATS
COURS
Troisième cas :
Déterminer la vitesse d'un point M lié à S2, connaissant le C.I.R. noté I et la vitesse
d'un point N : première méthode.
VM∈S2 / S1
N
VN∈S2 / S1
M
I
Dernier cas :
Déterminer la vitesse d'un point M lié à S2, connaissant le C.I.R. noté I et la vitesse
d'un point N : autre méthode.
Dans cette méthode on combine l'utilisation du C.I.R. et la propriété d'équiprojectivité du champ des
vitesses d'un solide.
VN∈S2 / S1
N
M
VM∈S2 / S1
I
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Spé
ATS
COURS
d.
Base et roulante :
(
(
(
)
)
Considérons S2 un cercle lié au plan mobile P2 O2 , y 2 , z2 roulant sans glisser sur l’axe O1 , y 1 du plan
)
fixe P1 O1 , y 1 , z1 lié à S1. Le mouvement de S2 par rapport à S1 est tel que les plans P2 et P1 restent confondus,
(
)
il s’agit d’un mouvement plan sur plan. Soit M le point de contact du cercle sur l’axe O1 , y 1 .
z1
z2
S2
Le roulement sans glissement de
S2 sur S1 permet d’écrire :

VM∈S2 / S1 = 0 .
Roulante [R]
Le point est donc confondu avec
le point I, C.I.R. du mouvement de S2
par rapport à S1.
O2
S1
O1, x1
M=I
y1
y2
Base [B]
A chaque position relative de S2 par rapport à S1, donc à chaque instant t, il existe un C.I.R.
Un observateur lié au solide S1 voit l’ensemble des CIR décrire sur le plan P1 une courbe appelée base
[B] du mouvement.
La trajectoire du point I dans le plan fixe P1, est appelé base du mouvement plan sur plan de P2 par rapport à
P1 .
(
(
)
)
L’ensemble des CIR décrit, dans le plan fixe P1 O1 , y 1 , z1 , la droite portée par l’axe O1 , y 1 , qui forme
donc la base [B] du mouvement.
La trace des CIR dans le plan mobile P2 forme une courbe appelée roulante [R] du mouvement.
La roulante est l’ensemble des CIR vu par un observateur lié au solide S2 pendant son déplacement par
rapport à S1.
La trajectoire du point I dans le plan mobile P2, est appelé roulante du mouvement plan sur plan de P2 par
rapport à P1.
(
)
L’ensemble des CIR décrit, dans le plan mobile P2 O2 , y 2 , z2 , le cercle de rayon O2M, qui forme donc
la roulante [R] du mouvement.
Propriété : La base et la roulante sont deux courbes tangentes qui roulent sans glisser l'une sur l'autre.
Le mouvement du cercle S2 par rapport au solide S1 revient ici au roulement, sans glissement, de la
roulante R (cercle) sur la base B (droite).
Quelques exemples de bases et roulante :
-
Echelle contre un mur : base roulante
Denture d'engrenages : base et roulante
génération du profil
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