TD Cinematique 3 - Site de la PCSIa
T.D. Cinématique 3
Exercice n°1 : Centrifugeuse de laboratoire
Une centrifugeuse est constituée :
- d’un bâti S0 lié au repère R(O, x
, y
, z
) considéré fixe
- d’un bras S1 mobile en rotation autour de l’axe (O, x
) et
lié au repère R1(O, x
, y1
, z1
) tel que = ( y
,y1
)
avec = .t et constant
- d’une éprouvette S2 mobile en rotation autour de l’axe
(A, z1
) par rapport à S1 et liée au repère R2(A, x2
, y2
, z1
)
L’éprouvette s’incline d’un angle sous l’effet centrifuge.
On pose OA
= a y1
et AG
= b x2
(a et b constants)
G est le centre d’inertie de l’éprouvette S2.
1 - Déterminer les vecteurs vitesses de rotation
(R1/R) et
(R2/R)
2 - Déterminer le vecteur vitesse V
(GS2/R) en utilisant deux méthodes
différentes : - par dérivation vectorielle
- en utilisant les propriétés du torseur
cinématique
3 - Déterminer le vecteur accélération a
(GS2/R)
Exercice n°2 : Equilibreuse
L’équilibreuse est constituée :
- d’un bâti S0 lié au repère R0 (O, x0
, y0
, z0
).
- d’un bras S1 mobile en rotation autour de l’axe
(O,z0
) par rapport à S0, et lié à R1 (A, x1
, y1
, z0
).
- La roue S2 de centre B est mobile en rotation
autour de l’axe (A, x1
) par rapport à S1 et est liée au repère
R2 (B, x1
, y2
, z2
).
On note l’angle entre les vecteurs x0
et x1
, t l’angle entre y1
et y2
et AB
= a x1
( a et constants )
Lorsque la roue n’est pas équilibrée, les effets dynamiques font varier l’angle entre deux bornes qui peuvent être mesurées.
Pour équilibrer la roue et supprimer cette variation, des masselottes sont placées à la périphérie de la jante (point P par exemple avec
BP
= b z2
; b est constant)
1 - Dessiner les repères R0, R1, R2, et les angles et
2 - Déterminer V
(PR2/R0) avant équilibrage, et après équilibrage.
3 - Déterminer a
(PR2/R0) avant équilibrage, et après équilibrage.
Exercice n°3 : Fraisage
Une fraiseuse est une machine outil constituée :
- d’un bâti fixe auquel on attache le repère R(O, x
, y
, z
)
- d’une table sur laquelle on fixe la pièce à usiner
- d’une broche sur laquelle on fixe l’outil appelé fraise
x
x2
x
y
O1
O
z
z
y2
M
x
x2
y1
y2
A
O
G
y
y1
z
z1
x
x1
y1
y2
z0
z2
P
S2
A
O
S0
S1
S2
x1
z0
B
L’ensemble (table + pièce) se déplace en translation rectiligne uniforme de direction y
par rapport à R. On lui attache un
repère R1(O1, x
, y
, z
) et on a OO1
= a.t. y
avec a = 3 mm/tr.
L’ensemble (broche + fraise) est en mouvement de rotation uniforme d’axe (O, z
) par rapport à R. On lui attache un repère
R2 (O, x2
, y2
, z
) et on a = ( x
, x2
) = .t avec = 21 rad/s.
M est un point de l’arête tranchante de la fraise tel que OM
= r x2
avec r = 50 mm.
1 - Calculer la vitesse du point M par rapport à la pièce.
2 - Donner la plage de variation de la vitesse de coupe V
(MR2/R1).
Exercice n°4 : Treuil différentiel.
Une poulie (1) tourne à la vitesse constante z
autour de son axe. Le câble
s’enroule autour de cette poulie sur deux rayons R et r : OB
= - r x
; OC
= R x
La charge Q
est accrochée en A, sur l’axe d’une poulie (2) de rayon , qui est en
contact avec le câble sur une demi circonférence.
Le repère fixe R0 (O, x
, y
, z
) est lié au solide (0).
Déterminer V
(A2/0) et
(2/0)
Si est positif, quel est le sens du mouvement de la charge ? (montée ou descente).
Exercice n°5 : Robot ménager
Un robot ménager est constitué de :
- un bâti fixe lié au repère R0(O, x0
, y0
, z0
)
- un bras lié au repère R1(O, x1
, y1
, z0
) mobile autour de l’axe
(O, z0
) par rapport au bâti et repéré par l’angle
- un fouet lié au repère R2(A, x2
, y2
, z0
) mobile autour de l’axe
(A, z0
) par rapport au bras et repéré par l’angle .
On pose OA = r1 . On considère le point M du fouet tel que AM
= r2 x2
- h z0
1 - Calculer la vitesse de M par rapport à R0.
2 - Calculer l’accélération de M par rapport à R0.
Le bras est entraîné en rotation autour de (O, z0
) par un moteur non représenté tournant à vitesse constante Le pignon
d’axe (A, z0
), lié au fouet, et le pignon d’axe (O, z0
), de rayon r0, lié au bâti, engrennent en I, et obligent alors le fouet à tourner
autour de son axe.
3 - Calculer V
(IR2/R0) en fonction de V
(AR2/R0).
Compte tenu de l’engrènement, on a V
(IR2/R0) = 0
, en déduire
en fonction de Donner alors la vitesse et l’accélération du point M.
4 - Quel est le torseur cinématique du mouvement du fouet ?
Quel est l’axe central de ce torseur ?
Quel est donc le mouvement instantané du fouet ?
5 - Donner l’allure de la trajectoire de M pour r2 = r1 - r0,
pour r2 < r1 - r0 et pour r2 > r1 - r0.
(On pourra calculer la vitesse de M lorsque M est le plus près de l’axe
(O, z0
), et éventuellement en d’autres positions particulières.)
Q
x
A
C
B
y
O
2
1
D
E
z0
O
x0
x2
x2
x1
y0
A
M
x1
I
z0
O
x0
x2
x2
x1
y0
A
M
1
/
2
100%
