nombres premiers - Le Web Pedagogique

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NOMBRES PREMIERS
Définition :
Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs distincts (1 et lui-
même)
Exemples :
1- 0 n’est pas premier : il admet une infinité de diviseurs
2- 1 n’est pas un nombre premier : il n’admet qu’un seul diviseur positif : 1
3- 2 est le seul entier premier pair
4- 2, 3, 5, 7, 11 sont des entiers premiers
5- 6 n’est pas premier car il admet 4 diviseurs : 1, 2, 3, 6
Théorème :
Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. Alors n admet au moins un diviseur premier.
dém :
• Si n est premier alors il admet un diviseur premier : lui-même
• Si n n’est pas premier, alors n admet au moins un diviseur positif autre que 1 et lui-même.
On admet la propriété suivante ; toute partie non vide de ℕ admet un plus petit élément.
Notons D l’ensemble des diviseurs positifs de n autres que 1 et n.
On sait que D est non vide donc D admet un plus petit élément p.
On a 1 < p < n
Raisonnons par l’absurde en supposant p non premier.
Alors p admet un diviseur positif q tel que 1 < q < p
q divise p et p divise n donc q divise n
On a donc trouvé un élément de D strictement inférieur à p.
On aboutit à une contradiction donc l’hypothèse de départ était fausse.
p est un nombre premier
Théorème :
Tout entier naturel n non premier et strictement supérieur à 1 admet un diviseur premier p tel que
p ≤ √n

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dém :
n n’est pas un nombre premier
D’après la démonstration précédente, n admet un diviseur premier p : son plus petit diviseur autre que 1
Il existe donc un entier naturel q tel que n = pq et 1 < p < n
On a aussi 1 < q < n
Par définition de p, on a p ≤ q
Donc p² ≤ pq
Soit p² ≤ n
D’où : p ≤ √n
Méthode : test de primalité
Pour savoir si un nombre n est premier ou non, il suffit de tester sa divisibilité par tous les nombres premiers
inférieurs ou égaux à sa racine carrée.
Par contraposition, si n n’admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à √n alors il est premier.
Remarque :
On utilise cette méthode pour construire le crible d’Eratosthène.
Théorème :
Il existe une infinité de nombres premiers
dém :
On raisonne par l’absurde. On suppose qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers p1, p2, …, pn
Soit le nombre entier A = p1 × p2 × … × pn + 1
A est un entier naturel supérieur ou égal à 2 donc il admet au moins un diviseur premier p.
p est un nombre premier donc il est égal à l’un des nombres p1, p2, …, pn
Donc p divise p1 × p2 × … × pn
Mais p divise le nombre A donc il divise la différence des deux qui est égale à 1
Donc p = 1 ce qui est absurde car p est premier
On en conclut que l’hypothèse de départ est fausse ; il existe donc une infinité de nombres premiers.