Nombres premiers

Chapitre V
Nombres premiers
1 Nombre premier
1.1 Définition
Définition 1 Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs
dans N:1et lui-même.
Exemple 1 :
•1n’est pas premier (il n’admet qu’un diviseur dans N).
•2est le seul nombre premier pair.
•Les nombres premiers inférieurs à 100 sont : 2,3,5,7,...
•Un entier non premier est dit composé.
1.2 Diviseur premier
Propriété 1 :
Tout entier naturel n≥2admet un diviseur premier.
Si nn’est pas premier, alors il admet un diviseur ppremier tel que 2≤p≤√n.
Démonstration :
Si nest premier, il admet un diviseur premier : lui-même.
Sinon, considérons l’ensemble des diviseurs dde navec 2≤d < n. C’est un ensemble non
vide (car nn’est pas premier) et majoré (par n). Il admet donc un plus petit élément que
nous notons p.
Si padmet un diviseur différent de 1et de lui-même, alors ce diviseur serait strictement infé-
rieur à pce qui contredit la minimalité de p. Donc pest premier.
Donc n=p×qavec p≤q. En multipliant cette inégalité par p, on a p2≤pq =nc’est-à-dire
p≤√n
Remarque 1 Pour savoir si 101 est un nombre premier, il suffit donc de tester si 101 est
divisible par un nombre premier inférieur à 11 (√101 >10).
☞Exercices 1,2,4,5,8,10,13 p 64
1

1.3 Test de primalité, crible d’Eratosthène
Algorithme de test de primalité
Début
Lire N
p←− 2
Tant que p6√Nfaire
R←− Reste (N/p)
Si R= 0 alors
Écrire "N n’est pas premier"
p←− N
Sinon p←− p+ 1
Fsi
Ftq
Si p6=Nalors écrire "p est premier"
FIN
☞Activité 40 page 67 (sur T.I avec amélioration de l’algo)
On peut améliorer cet algorithme en limitant le nombre de tests comme suit :
Début
D←− 1
R←− 1
Lire N
Tant que N
2est entier faire :
Afficher "Erreur ce nombre est pair, rentrer un nombre impair"
Lire N
Ftq
Tant que R6= 0 et D2≤Nfaire :
D←− D+ 2
Reste R←− N
D
Ftq
Si D2> N :
Alors afficher "Ce nombre est premier"
Sinon afficher "Un diviseur de Nest D
Fsi
FIN
2

Le crible d’Eratosthène (IIIè siècle avant J.C) permet de déterminer par exclusion tous
les nombres premiers inférieurs à un entier ndonné.
Voici un exemple avec n= 100 (en bleu les nombres premiers) :
12345678 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
1.4 Une infinité de nombres premiers
L’exemple du crible précédent montre que les nombres premiers se raréfient. En effet, plus
un nombre est grand et plus les candidats diviseurs de ce nombre sont nombreux donc moins il
a de chances d’être premier. De nombreuses recherches sur la répartition des nombres premiers
sont encore effectuées aujourd’hui. En 1896 a été démontré le théorème des nombres premiers
qui affirme que π(x)∼x
ln xoù π(x)représente le nombre de nombres premiers inférieurs à
x. Cela veut dire que ce nombre π(x)se comporte comme la fonction x7−→ x
ln xen l’infini
(tracer sa courbe sur calculatrice). Mais ceci est compliqué, et largement hors-programme !
Par contre :
Théorème 1 Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration :
Supposons le contraire et appelons ple plus grand des nombres premiers. Formons le nombre
p′=p! + 1 = p×(p−1) ×(p−2) × ··· × 2×1 + 1.
Soit p0un diviseur premier de p′(on sait qu’il existe).
p0|p!puisque p! = p×(p−1) ×(p−2) × ··· × (p0+ 1) ×p0×(p0−1) × ·· · × 2×1.
Donc, puisque p0|p!et p0|p′alors p0|p′−p! = 1.
On en déduit que les seuls diviseurs de p′sont 1et lui-même. De plus, p′> p par construction.
Notre hypothèse de départ était fausse.
2 Divisibilité et nombre premier
Le théorème de Gauss permet d’écrire le résultat suivant :
Propriété 2 :
Soit pun nombre premier et aet bdeux entiers.
Si p|ab alors p|aou p|b.
3

Démonstration :
En effet, supposons p|ab. Si p|a, la propriété est vraie. Si pne divise pas aalors pet asont
premiers entre eux (les seuls diviseurs de psont 1et p). Donc p|bd’après le théorème de
Gauss.
Conséquences :
•Si ppremier divise une puissance akalors p|adonc pk|ak.
•Si ppremier divise un produit de facteurs premiers, alors pest l’un de ces facteurs premiers.
3 Décomposition en produit de facteurs premiers
Le théorème qui suit est parfois appelé "Théorème fondamental de l’arithmétique" :
Théorème 2 Tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2se décompose en produit de facteurs
premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près des facteurs.
On note n=pα1
1×pα2 2×···×pαr
roù p1, p2,...,prsont des nombres premiers et α1, α2,...αr
des entiers naturels non nuls.
Démonstration :
Existence :
Si nest premier, le théorème est vérifié.
Supposons donc nnon premier (on dit aussi que nest composé).
Le plus petit diviseur de nest premier (voir propriété 1).
On le nomme p1et on définit l’entier n1=n
p1
< n.
Si n1est premier, la propriété est établie puisque n=n1×p1.
Sinon, on réitère le processus en définissant n2=n1
p2
< n1où p2est premier.
On a donc n=n1×p1=n2×p2×p1
On construit ainsi une suite d’entiers naturels (nk)strictement décroissante.
Cette suite est donc finie et son dernier terme nrest premier.
En regroupant les facteurs égaux, on obtient n=pα1
1×pα2 2× ··· × pαr
r.
Unicité :
L’unicité se démontre par récurrence :
Si n= 2, l’unicité est claire.
Supposons que la décomposition est unique pour tout entier naturel strictement inférieur à n.
On va alors montrer l’hérédité c’est-à-dire l’unicité de la décomposition pour n.
Supposons donc que nadmette deux décompositions :
n=pα1
1×pα2 2× ··· × pαr
r=qβ1
1×qβ2
2× ··· × qβs
s
p1divise donc un produit de facteurs premiers. D’après la conséquence de la propriété 2, il
existe 1≤i≤stel que p1=qiet α1=βi.
Soit n1=n
p1
. On a donc :
n1=pα2
2×pα3 3×. . . pαr
r=qβ1 1×qβ2 2× ··· × qβi−1
i−1×qβi+1 i+1 ×qβs
s
On a donc deux décompositions distinctes pour n1ce qui contredit l’hypothèse de récurrence.
nadmet donc une décomposition unique.
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Exemple 2 :
16758 2
8379 3
2793 3
931 7
133 7
19 19
1
16758 = 2 ×32×72×19
Corollaire 1 Soit n=pα1
1×pα2 2× ··· × pαr
r.
Alors les diviseurs de nsont les pβ1
1×pβ2
2× ··· × pβr
roù 0≤βi≤αipour tout 1≤i≤r.
Exemple 3 :
On a 300 = 22×3×52.
Les diviseurs de 300 sont donc de la forme 2i×3j×5kavec i= 0; 1; 2,j= 0; 1 et k= 0; 1; 2.
Il y en a donc 3×2×3.300 a18 diviseurs.
☞Exercices 15, 16, 20, 21(unicité invoquée), 25a, 26b, 29 page 65
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