Nombres premiers

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Nombres premiers
I.Nombres premiers
Définition 1
Un nombre entier naturel pest premier s’il possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-
même.
Exemple
l2 est premier car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 2.
l0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs positifs.
l1 n’est pas premier car il ne possède qu’un diviseur positif, lui-même.
lLes nombres premiers inférieurs à 50 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Remarque
äUn entier supérieur à 2 qui n’est pas premier est dit entier composé.
äSi pest un nombre premier et nun entier, ou bien pdivise nou bien pest premier avec n
puisqu’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.
Théorème 1
lTout entier naturel supérieur ou égal à 2 admet un diviseur premier.
lTout entier naturel supérieur ou égal à 2, non premier, admet un diviseur premier pinférieur
ou égal à pn.
Démonstration
Soit nun entier naturel, n≥2. Si nest premier, il est un diviseur premier de lui-même.
Si nn’est pas premier, il admet un diviseur positif autre que 1 et lui-même. L’ensemble E des diviseurs positifs, autres que 1 et n, est donc un ensemble
d’entiers naturels non vide. Il a donc un plus petit élément que l’on note p.
Si pn’était pas premier, il existerait un diviseur propre dde pqui serait plus petit que p; comme ddiviserait pet pdivise nalors ddiviserait n.dserait
donc un élément de E plus petit que p, ce qui est absurde.
Donc pest premier et divise n. Il existe par conséquent qentier tel que n=pq avec <q<n. Donc qest un diviseur propre de net par conséquent
p≤q. On en déduit que p2≤pq soit p2≤net donc p≤pn.
Propriété 1 : Test de primalité
Soit nun entier supérieur à 2.
Si nn’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à pnalors nest un nombre
premier.
Démonstration
Si nn’est pas premier, il admet un diviseur premier inférieur ou égal à pnd’après le théorème 1.
La propriété 1 est donc la contraposée de cette proposition.
Exemple Pour n=97, pn≈9,8. Or 97 n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 donc 97 est
un nombre premier.
Théorème 2
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration
Activité 3 p 50
Exercices no1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 p 64 - 66
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II.Décomposition en facteurs premiers
Théorème 3
Tout entier naturel nsupérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
On écrira n=pα1
1pα2 2. .. pαk
koù p1,p2, .. ., pksont des nombres premiers deux à deux distincts et
α1,α2,...,αksont des entiers naturels non nuls.
Démonstration
lExistence
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 2. On sait d’après le théorème 1 qu’il admet un diviseur premier p1. Alors n=p1n1où 1 ≤n1≤n.
Si n1=1 alors n=p1et la propriété est démontrée.
Si n16=1, alors n1admet un divieurs premier p2et on a donc n=p1p2n2où 1 ≤n2≤n1.
On continue de la même manière tant que le quotient niest supérieur à 1.
On forme ainisi une liste d’entiers n1,n2,... strictement décroissante et minorée par 1. Elle est donc finie, c’est-à-dire qu’à un certain rang, on a nm=1
et donc n=p1p2moù les pisont des nombres premiers, pas nécessairement distincts.
En regroupant les facteurs égaux entre eux, on obtient l’écriture pα1
1pα2 2. .. pαk
k.
lUnicité
Admise. Elle peut se démontrer avec le théorème de Gauss.
Théorème 4
Si l’entier naturel nsupérieur ou égal à 2 admet pour décomposition en produit de facteurs premiers
n=pα1
1pα2 2. .. pαk
k, les diviseurs positifs de nsont les entiers pr1
1pr2 2. .. prk
koù r1,r2,...,rksont des
entiers tels que 0 ≤ri≤αipour 1 ≤i≤k.
Exemple
24 =23×3 donc 24 a pour diviseurs les entiers 2α×3βavec 0 ≤α≤3 et 0 ≤β≤1.
On peut lister tous les diviseurs de 24 à l’aide de l’arbre ci-dessous.
23
31...23×31=24
30...23×30=8
22
31...22×31=12
30...22×30=4
21
31...21×31=6
30...21×30=2
20
31...20×31=3
30...20×30=1
Cet arbre a 4 ×2 branches donc 24 a 8 diviseurs.
En reprenant le dénombrement effectué sur l’exemple précédent, on obtient de façon générale le
nombre de diviseurs d’un entier n≥2.
Propriété 2
Si un entier n,n≥2 admet la décomposition en produit de facteurs premiers n=pα1
1pα2 2. .. pαk
k,n
admet (α1+1)(α2+2) ×···×(αk+1) diviseurs positifs.
Exercices no20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34 - 35 - 36 - 37
38 - 39 - 40 p 66 - 67
Exercices no64 - 66 - 67 - 71 - 72 - 73 - 76 - 77 - 80 - 81 - 82 p 70 - 75
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