CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPLEXES A.Coco Forme

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CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPLEXES
- Forme algébrique et calculs
- Résolution d’équations du second degré
- Représentation géométrique : Affixe d’un point, d’un vecteur
A.Coco
I. Un nouvel ensemble de nombres :
Grâce à l’activité 1 réalisée vendredi 2 septembre, vous avez compris qu’il existe un ensemble de
nombre noté ……….. dont les éléments sont appelés les ………………………………………
Les nombres réels sont des nombres complexes.
Inclusion des ensembles de nombres :
C contient un nombre noté i tel que i 2 = - 1.
Notation due à Euler.
Les règles de calculs dans C sont les même que dans IR.
Définition :
Soit x et y deux réels.
Tout nombre complexe z peut s’écrire d’une manière unique sous la forme x + i y
x est appelé ……………………, noté …… et y est appelé ………………………, noté …
Remarques et questions :
Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
 La somme/ la différence/ le produit/le quotient de deux complexes est un nombre complexe.
Prouvez-le pour la somme, la différence et le produit dans votre cahier avec: z = a+ib et z’= a’+ib’.
 Quelle condition pour qu’un nombre complexe soit un réel pur ?
 Quelle condition pour qu’un nombre complexe soit un imaginaire pur ?
Dans le reste du cours, x et y sont deux réels.

II. Conjugué d’un nombre complexe, découvert grâce à l’Activité 1 et 2
Définition : Soit z = x + i y un complexe.
On appelle conjugué de z et on le note…….. le nombre complexe : ………..
Propriétés de calculs avec les conjugués :
Si z est un réel alors
zz
Si z est un imaginaire
pur alors
z  z'  z  z'

Prouvez ces propriétés dans votre cahier ;-).
zz'  z z'
1 1

z z
zn  z
z
z

z' z'
n

III. Equation du second
degré (Cardan, Bombelli,Tartaglia. XVI ième )
Soient a, b et c des réels.


TYPE : z2 = a admet toujours des solutions dans C.
Si a > 0 , les solutions sont :
Si a < 0 , les solutions sont :
TYPE : az2 + bz + c = 0 avec a ≠0
Si ∆ > 0 , l’équation admet deux solutions réelles :
On peut factoriser le polynôme dans IR ainsi : az2 + bz + c =
et
Si ∆ = 0 , l’équation admet une solution réelle :
On peut factoriser le polynôme dans IR ainsi : az2 + bz + c =
Si ∆ > 0 , l’équation admet deux solutions complexes :
et
On peut factoriser le polynôme dans C ainsi : az2 + bz + c =
III. Représentation géométrique
(voir Activité 2)
1. Le plan d’Argand ( Suisse XVIIIième ) ou Argand
Cauchy.
On ne peut pas ordonner les nombres complexes sur
un axe gradué.
Pour les représenter on utilise un plan muni d’un
repére orthonormé (O ; u, v) orienté dans le sens
direct et nommé le plan complexe ou plan d’Argand.
La partie réelle est sur l’axe des abscisses.
La partie imaginaire est sur l’axe des ordonnées.
2. Affixe d’un point
A tout nombre complexe z = a + ib, on associe le point M ( a ; b).
On dit : M est le point image de z et z est l’affixe de M, on note M (z)
3. Milieu d’un segment.
Soient A le d’affixe zA = xA+ i yA et B d’affixe zB = xB+ i yB.
Le milieu du segment [AB] a pour affixe :
zA  zB
2

4. Affixe d’un vecteur
Définition : A tout nombre complexe z = x + i y avec x et y des
x 
réels. On associe le vecteur V  .
y 
On dit : V est le vecteur image du complexe z
et z est l’affixe de V . on note V z.


Les propriétés :

Vecteur AB :

Soient A le d’affixe zA = xA+ i yA et B d’affixe zB = xB+ i yB Alors l’affixe de AB est ABz B  z A 


Lien point et vecteur de même affixe :
Le point M a pour affixe z si et seulement si le vecteur OM a pour affixe z.
Propriétés de calculs avec les affixes de vecteurs :
Soient les vecteurs W (z) et W '(z')
1- W W ' a pour affixe :


2- pour tout réel k, k W a pour affixe :

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