Questions du jeudi #2 Culture Math
Puissances de 2
Question
Les six derniers chiffres d’une puissance de 2 sont tous des 6 et des 9. Pouvez-vous les
déterminer exactement ?
Réponse
La clef de la question provient des critères de divisibilité. Le plus facile de tous ces critères
est celui de divisibilité par 2 : on sait tous que les nombres pairs sont ceux sont le dernier
chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. Rappelons la preuve de ce critère :
Tout nombre s’écrit n=10a +b, où best son dernier chiffre. Comme 10n est nécessai-
rement pair, nest pair si et seulement si bl’est.
On voit donc que le cœur de la preuve du critère de divisibilité est le fait que 10 soit pair.
Cela permet de généraliser le critère pour reconnaître les multiples de 4, de 8 ou de toute
puissance de 2. En effet, 10 n’est pas un multiple de 4, mais 100 =4×25 l’est. Comme tout
entier s’écrit n=100a +b, où best obtenu en ne gardant que les deux derniers chiffres, on
obtient que nest un multiple de 4 si et seulement si bl’est.
De manière générale, si eest un entier, 10e=2e×5eest un multiple de 2edonc n=10ea+b
est un multiple de 2esi et seulement si bl’est. Autrement dit, un nombre nest un multiple de
2esi et seulement si le nombre formé des ederniers chiffres de nl’est. On retrouve bien ainsi les
critères de divisibilité par 21=2et 22=2.
Retournons à notre problème. On ne sait pas quelle puissance de 2 a uniquement des 6
et des 9 comme derniers chiffres 1mais on sait déjà que cette puissance de 2 sera divisible
par 26=64 (en effet, les puissances de 2 non divisibles par 26=64 sont 21=2,22=4,
23=8,24=16 et 25=32, qui ne vérifient pas la propriété voulue 2). Or, d’après le critère
de divisibilité, le fait d’être divisible par 64 se lit sur les six derniers chiffres.
Parmi les 64 nombres à 6 chiffres s’écrivant uniquement avec des 6 et des 9, il s’agit donc
de déterminer lesquels sont divisibles par 64. On peut cependant y aller petit à petit, en
évitant de tester un à un les 64 possibilités :
– Le nombre inconnu n=______ est pair donc son dernier chiffre doit être 6 :
n=_____6.
– Les deux derniers chiffres _6de ndoivent maintenant former un multiple de 4. C’est
le cas de 96 mais pas de 66 : n=____96.
1. À vrai dire, on ne sait même pas si une telle puissance de 2 existe. Mais l’énoncé semble l’indiquer,
faisons-lui confiance.
2. L’énoncé est un peu ambigu : les six derniers chiffres de 6996, par exemple, sont-ils tous des 6 ou des 9,
ou doit-on également compter les deux zéros à gauche des chiffres significatifs ? Heureusement, l’ambiguïté n’est
pas gênante pour les puissances de 2 : celles qui ont moins de 6 chiffres (1, 2, . . . , 65 536) ont toutes un chiffre
significatif différent de 6 ou 9.
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