Fiche d`exercices : récurrences élémentaires

Fiche d’exercices : récurrences élémentaires
Exercice 1)
1) Montrer que les propriétés suivantes sont héréditaires
a) Pour tout entier n,
4
3 1
n
−
est un multiple de 5.
b) Pour tout entier n,
4
3 1
n
+
est un multiple de 5.
c) Pour tout entier n,
10 1
n
+
est un multiple de 9.
d) Pour tout entier n,
10 1
n
−
est un multiple de 9.
2) Quelles sont, parmi les propriétés précédentes, celles qui sont vraies pour tout entier n ?
Exercice 2)
Montrer que pour tout entier n,
3
n n
−
est un multiple de 3.
Exercice 3)
Montrer que pour tout entier n :
1)
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 ... 6
n n n
n
+ +
+ + + =
2)
2 2
3 3 3
( 1)
1 2 ... 4
n n
n+ + + + =
3)
( 1)( 2)
1 2 2 3 ... ( 1)
6
n n n
n n
+ +
× + × + + + =
Exercice 4)
On appelle U la suite définie par
0 1
0, 3 2
n n
u u u
+
= = +
. Montrer que pour tout n
0
n
u
≥
.
Exercice 5)
Pour chacune des suites suivantes, calculer ses premiers termes, puis conjecturez-en une
expression du treme général, et prouvez cette conjecture par récurrence.
a)
0 1
0,
n n
u u u n
+
= = +
b)
0 1
1, 1
n
n
n
u
u u
u
+
= =
+
c)
1 1
1 1
,
3 3
n n
n
u u u
+
+
= =
Exercice 6
Montrer que, pour tout entier n ? 5,
2 1 2
n
n
+ <
. En déduire que
2
2
n
n
<
.
Exercice 7
On définit une suite par
1
15
n n
u u
+
= +
. Montrer que si
0
[0;4]
u
∈
alors pour tout n :
[0;5]
n
u
∈
, et que si
0
[5;10]
u
∈
alors pour tout n :
[4;10]
n
u
∈