1.4 Soit n un entier impair. Considérons n nombres consécutifs a, a

1.4 Soit nun entier impair.
Considérons nnombres consécutifs a, a + 1, a + 2, a + 3,...,a+n−1.
Calculons leur somme :
a+ (a+ 1) + (a+ 2) + (a+ 3) + ...(a+n−1) =
(a+a+a+...+a
|{z }
nfois
) + (1 + 2 + 3 + ...+n−1) =
n a +(n−1) n
2=na+n−1 2
Puisque nest impair, n−1est pair, si bien que n−1
2est entier.
Par suite, a+n−1
2∈Z, ce qui signifie que la somme des nnombres consécutifs
est bien un multiple de n.
Le résultat n’est plus valable si nest pair.
Par exemple, la somme des 2nombres consécutifs 3et 4n’est pas un multiple
de 2.
Théorie des nombres : divisibilité dans ZCorrigé 1.4