Evolution d`une population - Académie de Nancy-Metz

Fiche professeur
Evolution d’une population
1. Niveau
Terminale S
2. Situation-problème proposée
Comment peut-on modéliser l’évolution d’une population ? De Malthus à Verhulst.
3. Support utilisé
Tableur et grapheur.
4. Contenu mathématique
Fonction exponentielle.
Equations différentielles.
5. Compétences mises en œuvre
5.1Compétences mathématiques
Ø Résoudre une équation différentielle y ' = ky .
Ø Utiliser la méthode d’Euler.
Ø Résoudre une équation différentielle plus complexe par un changement de variable.
Ø Etudier et représenter une fonction avec exponentielle.
5.2Compétences TICE
Ø Ecrire une formule de calcul et la reproduire.
Ø Représenter un nuage de points avec un tableur.
Ø Faire varier un paramètre.
Ø Tracer une courbe avec un grapheur.
6. Stratégie pédagogique
Cette activité peut être animée en séances de travaux pratiques, les élèves travaillant avec un ordinateur
pour les parties TICE. Elle peut aussi être partiellement réalisée en travail en temps libre, en devoir
maison.
Une correction et une synthèse des démonstrations sont présentées par le professeur.
7. Place de l’activité dans la progression des apprentissages
Cette activité présente un exemple intéressant de modélisation et d’utilisation d’une équation
différentielle en SVT. Elle fera suite au travail de cours sur la fonction exp et sur les équations
différentielles. Elle peut être proposée en trois parties indépendantes et répartie sur plusieurs moments de
l’année : 1. Le modèle de Malthus. 2. Le modèle de Verhulst. 3 .Les exemples tirés de la biologie.
Fiche professeur
Modélisation de l’évolution d’une population.


Soit P(t) l’effectif d’une population à l’instant t, t appartenant à l’intervalle 0 ; +∞ .


A. Loi de Malthus.
Si l’on suppose que pour une petite durée dt , la variation dP de P est proportionnelle à dt et à P , on
a alors : dP = kPdt ou dP = kP .
dt
1. Démontrer que dans ces conditions P(t) = P(0)ekt .
2. Quel est le sens de variation de P si k >0, si k <0 ? Quelle est dans chacun de ces cas la
limite de P(t) lorsque t tend vers + ∞ ?
3. Tracer la courbe représentative de P en prenant P(0)=1 et pour les valeurs suivantes de k :
k=0,1 ; k=1,5 et k=-0.2.
4. Pourquoi ce modèle d’évolution d’une population n’est-il pas pertinent pour t grand ?
* La croissance des populations de type exponentielle suppose que rien ne limite la croissance. Elle est
toujours vraie sur un petit intervalle de temps, mais elle est irréaliste à long terme, car le milieu ne peut
supporter un nombre d’individus supérieur à un certain seuil.
B. Equation logistique de Verhulst.
Le mathématicien belge Verhulst propose, vers 1840, le modèle suivant d’évolution d’une population :
dP =aP(m− P) ( a et m sont des constantes positives.)
dt
1. Déterminer les solutions constantes de cette équation différentielle.
2. Déterminer le signe de P'(0) selon que 0<P(0)<m ou m<P(0). Dans la suite on ne
cherchera que les solutions telles que P(t)>0 pour tout t.
3. Par la méthode d’Euler tracer une courbe approchée de la solution de cette équation
différentielle dans les cas suivants :
a) a=0,1 ; m=1 et P(0)=2.
b) a=0,1 ; m=2 et P(0)=1.
Tableur
4. Résolution de l’équation différentielle P' = aP(m− P) . On définit la fonction y telle que
y(t) =
1 .
P(t)
a. Montrer que y est solution de l’équation différentielle y = a−amy .
Résoudre celle-ci.
m− P(0)
m
b. En déduire que P(t) =
où C =
.
1+Ce − amt
P(0)
5. Etudier et représenter la fonction P ainsi définie dans les deux cas suivants :
a) a=0,1 ; m=1 et P(0)=2.
b) a=0,1 ; m=2 et P(0)=1.
Graphes
6. Comparer les résultats obtenus dans les questions 3 et 5. A votre avis que représente le
paramètre m de l’équation logistique ? Et le paramètre a ?
Fiche professeur
C. Exemples en écologie fondamentale et appliquée
Premier exemple
Croissance d'une population de tribolium confusum
2000
1800
nomgre d'insectes
1600
1400
64 grammes de farine
1200
valeurs expérimentales
1000
16 grammes de farine
800
valeurs expérimentales
600
400
200
0
0
25
50
75
100
125
150
175
200
jours
1°) Pour 64 grammes de farine on a relevé expérimentalement les données suivantes :
jours
population
0
10
30
165
40
320
60
1100
80
1450
100
1760
120
1600
130
1750
150
1650
1750
Et on a modélisé la croissance de la population par la fonction f : t a
.
1 + 165e −0,09 t
Avec un grapheur représenter dans un même repère les données expérimentales et la fonction f. Ce
modèle vous parait-il pertinent ? Quel est le nombre maximum d’insectes que l’on peut prévoir selon ce
modèle ?
2°) Pour 16 grammes de farine on a relevé expérimentalement les données suivantes :
0
10
30
100
40
200
60
510
80
540
100
560
120
590
130
620
150
595
Déterminer une fonction P modélisant de façon satisfaisante l’évolution de cette population d’insectes.
Graphes
Fiche professeur
600
Une bonne modélisation peut être : P : t a
.
1 + 59e −0, 0875 t
Deuxième exemple
Croissance de la population de moutons en Tasmanie
9000
nombre de moutons en milliers
8000
7000
6000
5000
courbe réelle
4000
courbe théorique
3000
2000
1000
0
1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940
années