document élève - Académie de Nancy-Metz

Modélisation de l’évolution d’une population.


Soit P(t) l’effectif d’une population à l’instant t, t appartenant à l’intervalle 0 ;   .


A. Loi de Malthus.
Si l’on suppose que pour une petite durée dt , la variation dP de P est proportionnelle à dt et à P , on
a alors : dP  kPdt ou dP  kP .
dt
1. Démontrer que dans ces conditions P(t)  P(0)ekt .
2. Quel est le sens de variation de P si k >0, si k <0 ? Quelle est dans chacun de ces cas la
limite de P(t) lorsque t tend vers +  ?
3. Tracer la courbe représentative de P en prenant P(0)=1 et pour les valeurs suivantes de k :
k=0,1 ; k=1,5 et k=-0.2.
4. Pourquoi ce modèle d’évolution d’une population n’est-il pas pertinent pour t grand ? *
B. Equation logistique de Verhulst.
Le mathématicien belge Verhulst propose, vers 1840, le modèle suivant d’évolution d’une
dP aP(mP) ( a et m sont des constantes positives.)
population :
dt
1. Déterminer les solutions constantes de cette équation différentielle.
2. Déterminer le signe de P'(0) selon que 0<P(0)<m ou m<P(0). Dans la suite on ne
cherchera que les solutions telles que P(t)>0 pour tout t.
3. Par la méthode d’Euler tracer une courbe approchée de la solution de cette équation
différentielle dans les cas suivants :
a) a=0,1 ; m=1 et P(0)=2.
b) a=0,1 ; m=2 et P(0)=1.
4. Résolution de l’équation différentielle P'  aP(m P) . On définit la fonction y telle que
y(t) 
1 .
P(t)
a. Montrer que y est solution de l’équation différentielle y  aamy .
Résoudre celle-ci.
m P(0)
m
b. En déduire que P(t) 
où C 
.

amt
P(0)
1Ce
5. Etudier et représenter la fonction P ainsi définie dans les deux cas suivants :
a) a=0,1 ; m=1 et P(0)=2.
b) a=0,1 ; m=2 et P(0)=1.
6. Comparer les résultats obtenus dans les questions 3 et 5. A votre avis que représente le
paramètre m de l’équation logistique ? Et le paramètre a ?
C. Exemples en écologie fondamentale et appliquée
Croissance d'une population de tribolium confusum
2000
1800
nomgre d'insectes
1600
1400
64 grammes de farine
1200
valeurs expérimentales
1000
16 grammes de farine
800
valeurs expérimentales
600
400
200
0
0
25
50
75
100
125
150
175
200
jours
1°) Pour 64 grammes de farine on a relevé expérimentalement les données suivantes :
jours
population
0
10
30
165
40
320
60
1100
80
1450
100
1760
120
1600
130
1750
150
1650
1750
Et on a modélisé la croissance de la population par la fonction f : t 
.
1  165e 0, 09t
Avec un grapheur représenter dans un même repère les données expérimentales et la fonction f. Ce
modèle vous parait-il pertinent ? Quel est le nombre maximum d’insectes que l’on peut prévoir selon ce
modèle ?
2°) Pour 16 grammes de farine on a relevé expérimentalement les données suivantes :
0
10
30
100
40
200
60
510
80
540
100
560
120
590
130
620
150
595
Déterminer une fonction P modélisant de façon satisfaisante l’évolution de cette population d’insectes.
Croissance de la population de moutons en Tasmanie
nombre de moutons en milliers
9000
8000
7000
6000
5000
courbe réelle
4000
courbe théorique
3000
2000
1000
0
1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940
années