Chapitre II : Espaces probabilisés 1 Notions d`événements

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Finance / Licence de Gestion
MATH201 : Probabilités
Chapitre II : Espaces probabilisés
1 Notions d’événements
1.1 Expérience aléatoire, univers associé
Définition 1. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne dépend que du
hasard.
Exemples 1
1. On lance une pièce de monnaie. Le résultat « PILE » ou « FACE » ne dépend que du hasard
(du moins en théorie).
2. On lance un dé, l’apparition de l’une des six faces ne dépend que du hasard.
3. On tire cinq cartes (on parle de « main ») d’un jeu de 32 cartes ...
Définition 2. On appelle univers associé à une expérience aléatoire, l’ensemble (noté Ω) de tous
les résultats possibles. Les éléments de l’univers s’appellent les éventualités.
Exercice 1
1. On lance une pièce de monnaie : définir l’univers Ω.
2. On lance un dé : définir l’univers Ω.
3. On tire simultanément cinq cartes d’un jeu de 32 cartes ... quel est le cardinal de l’univers ?
Remarque : Il est parfois délicat de déterminer l’univers associé à une expérience aléatoire : il
faut s’attacher à obtenir l’univers permettant de décrire toutes les éventualités.
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J. Stéphan - Université de Cergy-Pontoise - UFR Économie & Gestion

1.1 Expérience aléatoire, univers associé 2
Exemple 2 Par exemple, si on lance trois fois de suite un dé, les éventualités sont des 3-listes
d’éléments pris dans {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Ici Card(Ω) = 63= 216. Si on lance cette fois trois dés
identiques, on a deux choix possibles pour modéliser cette expérience : soit on tient compte de
l’ordre de lancer des trois dés, soit on lance simultanément les trois dés. L’Univers associé n’est
alors plus le même.
Définition 3. Un événement lié à une expérience aléatoire Eest un sous-ensemble (ou
une partie) de son univers Ω.
Un événement élémentaire est un événement composé d’un seul élément.
Définition 4. Soit Tl’ensemble des événements associés à une expérience aléatoire :
1. Soient Aet Bdeux événements de T. On dit que l’événement Aentraîne l’événement B,
si Aest inclus dans B
2. Soient Aet Bdeux événements de T. On dit que les événements Aet Bsont incompatibles
si A∩B=∅.
Notations Vocabulaire ensembliste Vocabulaire probabiliste Exemple : on lance un dé
∅Ensemble vide événement impossible « obtenir un nombre négatif »
Ωensemble total événement certain Ω = {1,2,3,4,5,6}
ωélément de Ωévénement élémentaire « obtenir la face 2»
Asous-ensemble de Ωévénement « obtenir un nombre pair »
B⊂A B est inclus dans A B implique AA=« obtenir un nombre pair »
B= « obtenir un multiple de 4 »
A∪BUnion de Aet B A ou B
A=« obtenir un nombre pair »
B= « obtenir un multiple de 3»
A∪B={2,3,4,6}
A∩BIntersection de Aet B A et B A ∩B={6}
AComplémentaire de Aévénement contraire de A A =« obtenir un nombre impair »
A∩B=∅Aet Bdisjoints Aet Bincompatibles A=« Obtenir un nombre pair »
B= « Obtenir un multiple de 5 »
A∩B=∅
A∪B= Ω Aet Bcomplémentaires Aet Bcontraires A=« obtenir un nombre pair » B= « obtenir un nombre impair »
On peut étendre ces définitions à un nombre fini d’événements :
Si A1, A2, A3,· · · , Ansont névénements d’un univers Ω:
n
\
i= 1
Ai=A1∩A2∩A3∩ · · · ∩ Anest l’ensemble des ωqui appartiennent à chacun des Ai
(i∈[1; n]). C’est l’événement « réalisation de chacun des Ai(i∈[[1, n]]) ».
De même
n
[
i= 1
Ai=A1∪A2∪A3∪ · · · ∪ Anest l’ensemble des ωqui appartiennent à au moins
l’un des Ai. C’est l’événement « réalisation d’au moins l’un des Ai(i∈[[1, n]]) ».
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1.1 Expérience aléatoire, univers associé 3
Enfin , il sera parfois nécessaire d’étendre ces définitions à une réunion (ou une intersection)
d’une suite infinie dénombrable (i.e. indexée par N)d’événements : soit (An)(n∈N)une suite
d’événements d’un même univers Ω.
\
n∈N
An=
+∞
\
n= 0
An= { réalisation de tous les An,n∈N}.
[
n∈N
An=
+∞
[
n= 0
An= { réalisation de l’un au moins des An,n∈N}.
Définition 5. Un ensemble Eest dit dénombrable (ou infini dénombrable) lorsque ses éléments
peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée (ou indicée) par les entiers
de N.
Exemples 3
N,Zet Qsont dénombrables, mais également l’ensemble des couples
{(i, j)/i ∈Net j∈N}=N2. Mais Rn’est pas dénombrable (admis).
Définition 6. On appelle système complet d’événements toute partition dénombrable de Ω
formée d’éléments de Tc-a-d tout ensemble dénombrable d’événements non-impossibles, deux à
deux incompatibles et dont l’union dénombrable est l’événement certain.
Propriétés 1. L’union et l’intersection d’événements possèdent les propriétés suivantes : Soient
A,Bet Ctrois événements d’un univers Ω:
1. Associativité : A∪B∪C=A∪B∪C
(Respectivement : A∩B∩C=A∩B∩C)
2. Commutativité : A∪B=B∪A(Respectivement : A∩B=B∩A)
3. Distributivité : A∩B∪C=A∩B∪A∩C
et A∪B∩C=A∪B∩A∪C.
4. Lois de Morgan : soit (An)(n∈N)une suite d’événements de Ω:
\
n∈N
An=[
n∈N
Anet [
n∈N
An=\
n∈N
An
Exercice 2 Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. On effectue des tirages
successifs d’une boule dans cette urne que l’on remet après avoir noté la couleur, jusqu’à ce que
l’on obtienne la boule noire.
On note : Al’événement : « On effectue un nombre fini de tirages »,
Fnl’événement : « le jeu s’arrête au nième tirage » (n∈N∗)
Bi: « on tire une boule blanche au iième tirage » (i∈N∗)
1. Soit n∈N∗, exprimer l’événement Fnen fonction des événements Bi, i ∈[[1, n]]
2. Exprimer l’événement Aen fonction des événements Fn, n ∈N∗.
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1.2 Tribu, espace probabilisé 4
1.2 Tribu, espace probabilisé
Définition 7. Soit Ωun ensemble quelconque, Une Tribu (notée T) ou σ−algèbre est un
sous-ensemble de P(Ω) vérifiant les propriétés suivantes :
1. ∅∈T
2. ∀A∈ T , A ∈ T
3. Pour toute suite (An)d’éléments de T,
+∞
[
n=0
An∈ T . (stabilité par union dénombrable)
Exemple fondamental : L’ensemble des parties P(Ω) est une tribu sur Ω.
Exemple 4 On considère l’univers Ω = {a;b;c}. Une tribu de P(Ω) est par exemple : T=
n∅; Ω; {a};{b;c}o
Théorème 1. Soit Tune tribu sur Ω.ona:
I. Ω∈ T .
II. Pour toute suite (Bn)n∈Nd’éléments de T,
+∞
\
n= 0
Bn∈ T . (stabilité par intersection dénom-
brable)
III. ∀A∈ T ,∀B∈ T , A ∩B∈ T .
IV. ∀A∈ T ,∀B∈ T , A∆B= (A∩B)∪(B∩A)∈ T . (Différence symétrique)
Définition 8. Un espace probabilisable associé à une expérience aléatoire Eest la donnée du
couple (Ω,T)ou Ωest l’univers associé à Eet Tune tribu des événements liés à E.
Remarque : On peut montrer (mais on l’admettra ici) que si Ωest fini ou infini dénombrable
et si les événements élémentaires ωisont dans la tribu T, alors T=P(Ω). On suppose que cette
situation sera toujours le cas dans les exemples et exercices traités (sauf aux chapitres 5 et 6).
Exercice 3 On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. On note Fil’événement « on
obtient FACE au iième lancer », pour i∈ {1,2,3}. Décrire à l’aide des Fiet des connecteurs les
événements suivants :
1. A=« On obtient au moins une fois FACE ».
2. B=« On obtient au moins deux fois PILE ».
3. C=« On obtient FACE exactement deux fois ».
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1.2 Tribu, espace probabilisé 5
4. D=« On obtient PILE au cours d’au moins un des deux premiers lancers ».
Exercice 4 On lance deux dés (un rouge et un vert), pour (i, j)∈[[1,6]]2, on note Ai=« Le
chiffre iapparaît sur la face du dé rouge » et Bj=« Le chiffre japparaît sur la face du dé vert ».
1. Décrire l’événement X:« La somme des points obtenus est égale à 10 ».
2. Décrire l’événement Y:« la somme des points obtenus est supérieure strictement à 3 ».
Définition 9. Soit Ωun ensemble et Tune tribu d’événements sur Ω.
On appelle probabilité définie sur l’espace probabilisable (Ω,T)toute application Pde Tdans
[0,1] vérifiant les deux axiomes :
1) P(Ω) = 1
2) Pour toute suite (Ai)i∈Nd’événements de Tdeux à deux incompatibles (ou disjoints) :
P[
j∈N
Aj=
+∞
X
j=0
P(Aj). (Axiome de σ-additivité).
Le triplet (Ω,T,P) s’appelle espace probabilisé.
Remarque : On a en effet besoin de cette propriété de σ−additivité, car on peut être amené
dans certains exercices à répéter un nombres de fois indéfini une expérience aléatoire (voir exemple
du « temps d’attente du premier succès »)
Théorème 2. Soit (Ω,T,P) un espace probabilisé : Pour tous Aet Bde T:
I. P(∅) = 0.
II. Additivité :
(a) Si A∩B=∅,P(A∪B) = P(A) + P(B).
(b) Soient (Ai)1≤i≤nune famille d’éléments de Tdeux à deux disjoints : Pn
[
i=1
Ai=
n
X
i=1
P(Ai)
III. P(A)=1−P(A).
IV. P(A∩B) = P(A)−P(A∩B).
En particulier, si B⊂Aalors P(A∩B) = P(A)−P(B).
V. Si B⊂Aalors P(B)≤P(A).
VI. P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Théorème 3. Formule du crible (ou de Poincaré)
Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé. Pour toute famille (Ai)1≤i≤3d’événements, on a :
P(A1∪A2∪A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
−P(A1∩A2)−P(A1∩A3)−P(A2∩A3)
+P(A1∩A2∩A3)
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