I. EXPRESSIONS LITTÉRALES ET PROGRAMMES DE CALCULS

CALCUL LITTÉRAL (1)
I. EXPRESSIONS LITTÉRALES ET PROGRAMMES DE CALCULS
Tout programme de calcul peut se traduire par une expression littérale.
Exemple :
1)
2)
3)
4)
L’expression littérale associée à ce programme de calcul est :
Je choisis un nombre
Je le multiplie par 5
5x−2×3
Je soustrais 2 au produit obtenu
Je multiplie la différence obtenue par 3
Réciproquement, toute expression littérale peut se traduire par un programme de calcul
Exemple :
1) Je choisis un nombre
L’expression littérale x 23x peut se
traduire par le programme de calculs suivant : 2) Je calcule le carré de ce nombre
3) J'ajoute le triple du nombre de départ
Il faut savoir calculer la valeur d’une expression littérale pour une valeur donnée de la lettre.
Exemple : Calculer 3x57x – 9 pour x=10
3×105 7×10 – 9=35×61=2135
Il faut comprendre l’expression « exprimer une grandeur en fonction d’une autre »
Exemple : Exprimer en fonction de la longueur d le périmètre du rectangle ABDC :
Périmètre :
P=3d23d255
P=6d14
II. DU CALCUL LITTÉRAL POUR QUOI FAIRE ?
Pour simplifier certains calculs (en particulier lorsqu’ils sont répétitifs)
Exemple : Calculer le périmètre du quadrilatère ABCD pour toutes les valeurs de d entre 5 et 10.
L’unité est le cm.
p=2d45d17dd6
p=15d11
Si d= 5 cm alors p=15×511
donc p=86 cm
Si d= 6 cm alors p=15×611
donc p=101 cm
Pour résoudre certains problèmes qu’on ne sait pas résoudre autrement.
On ne peut pas remonter ce programme de calcul car
Ex : « J’ai pensé un nombre, je l’ai multiplié par 4,
il faut connaître le nombre de départ (dernière étape)
j’ai soustrait 5 au produit obtenu, j’ai multiplié la
donc on va écrire la formule associée à ce programme
différence obtenue par 3 et enfin j’ai soustrait à ce
et la simplifiée pour pouvoir remonter.
produit le double du nombre choisi au départ.
4x5×3−2x=12x15−2x=10x15
J’ai alors obtenu 100 comme résultat.
A quel nombre ai-je pensé ? »
Le programme ci-dessus revient à multiplier le nombre de départ par 10 puis ajouter 15, donc pour remonter
ce programme simplifié, il faut soustraire 15 puis diviser par 10 : 100−15÷10=8,5
Pour prouver certaines propriétés générales.
Pour prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres,
il suffit de le prouver par un calcul littéral
Exemple :
Jean utilise le programme de calcul suivant : « Il choisit un nombre, il ajoute 1 au double du nombre choisi,
il triple la somme obtenue et enfin ajoute 1 au produit obtenu ».
Claire utilise le programme suivant : « Elle choisit un nombre, elle ajoute 2 au triple du nombre choisi puis
elle double la somme obtenue ».
Est-il vrai que si Jean et Claire choisissent le même nombre ils obtiendront le même résultat ? Justifier.
Expression littérale associée au programme de calcul de Jean :
2x1×31=6x31=6x4
Expression littérale associée au programme de calcul de Claire :
3x2 times2=6x4
Les deux programmes sont associés à des expressions littérales égales donc Jean et Claire trouveront toujours
des résultats égaux s’ils choisissent le même nombre de départ.
III. EXPRESSION LITTÉRALES ÉGALES :
Deux expressions littérales sont égales lorsqu’elles donnent des résultats égaux
quel que soit la valeur choisie pour la lettre.
Comment prouver que deux expressions littérales sont égales ?
C’est souvent la distributivité qui donne la réponse.
Exemple 1 : Prouver que 4x3x=7x .
On part de l'une des expressions littérales, on effectue les calculs et on obtient la deuxième expression littérale.
Preuve : 4x3x= 43×x=7x
Exemple 2 : Prouver que 37x−24x=55x−24 .
On calcule séparément les deux expressions littérales et on obtient la même expression simplifiée.
Preuve : d'une part 37x−24x=3×7x−3×24x
=21x−64x
=25x−6
d'autre part 55x−24=5×5x−5×24
=25x−104
=25x−6
Les deux expressions littérales sont égales, donc l’égalité demandée a bien été prouvée.
Comment prouver que deux expressions littérales ne sont pas égales ?
Un contre-exemple suffit à prouver qu’une propriété générale est fausse.
Exemple : Prouver que l’égalité 53x=8x est une égalité fausse
Si x=2 ,d'une part 53x=53×2=11
, et d'autre part 8x=8×2=16
Les deux résultats sont différents donc l’égalité littérale est fausse.
Attention : ceci ne signifie pas que les résultats obtenus pour une même valeur de x sont toujours différents.
Par exemple, si x=1 , d'une part 53x=53×1=8 et d'autre part 8x=8×1=8
les deux expressions donnent le même résultat.
IV. RÈGLES DE SIMPLIFICATION ET DE CALCULS SUR LES EXPRESSIONS LITTÉRALES :
On n’écrit pas le signe × lorsqu’il n’y a pas risque de confusion.
Exemple : a×b=ab
7×5×x−3=75x−3
x×7=7x
Contre-exemple : si on calcule 7x pour x=2 il faut écrire 7×2 et non 7 2 !
Distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction :
Si a, b et c sont trois nombres, alors :
abac=a  bc 
ab−ac=a  b−c 
Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs et les associer comme on veut.
Exemple : 5x×3=5×x×3=5×3×x=15 x
4x×6x=4×x×6×x=4×6×x×x=24 x2
Autres règles : si a est un nombre : 1×a =a et 0×a=0
V. SUPPRESSION DES PARENTHÈSES :
On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition ou la soustraction.
Exemple :
2x−35x4=2x−35x4=7x1
2x−3−5x4=2x−3−5x−4=−3x−7
2x−35x−4=2x−35x−4=7x−7
2x−3−5x−4=2x−3−5x4=−3x1