cours : calcul littéral Fiches exercices 1 /4 Collège Roland Dorgelès

5ème cours : calcul littéral
1° Expressions littérales
► Une expression littérale est une expression dans
laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des
lettres.
Exemple
On note P le périmètre d’un rectangle de longueur a et de
largueur b.
Ecrire trois expressions littérales de P.
► On peut supprimer le signe × de la multiplication :
▪ devant une lettre
▪ devant une parenthèse.
Exemple
Supprimer le signe × dans les expressions suivantes :
5×a
7 × (a + b)
5× 2 × a
5× a + 7× b
5 × a ×7× b
► Attention on ne peut pas supprimer le signe de la
multiplication devant un nombre
Exemple
Supprimer le single de la multiplication dans :
a×5
7×5
(a+b)×5
► Le cas de 1 et de 0 :
1 × a = a et 0 × a = 0
Réponse
P = a ×2 + b×2
ou
P = (a +b) × 2
ou
P=a+b+a+b
Réponse
5 × a = 5a
7 × (a + b) = 7(a+b)
5× 2 × a = 10a
5 × a + 7 × b = 5a + 7b
5 × a × 7 × b = 5 × 7 × a× b = 35ab
Réponse
a×5 = 5 a
[on écrit a × 5 = 5× a = 5a]
7×5 = 35
(a+b) ×5 = 5(a+b)
Réponse
2× a + 1× b + 0×c = 2a + b
3×c - 1×d - 0×e = 3c - d
Exemple
Supprimer le signe ×
2× a + 1×b + 0×c
3×c - 1×d - 0×e
►Le carré et le cube
a × a se note a² et se lit a au carré
a × a × a se note a3 et se lit a au cube.
Exemple
Ecrire sans le signe ×
5×a×2×a
a×a + b×b
Fiches exercices 1 /4
Collège Roland Dorgelès
Réponse
5 × a × 2 × a = 5 × 2× a × a = 10a²
a×a + b×b = a² + b²
5ème cours : calcul littéral
2° Distributivité
► Les égalités suivantes sont vraies quel que soient les
nombres a, b et c
a×(b + c) = a×b + a×c
a×(b - c) = a×b - a×c
(b + c)×a = b×a + c×a
(b - c)×a = b×a - c×a
On dit que la multiplication est distributive par rapport à
l’addition et à la soustraction.
Exemple
Exemple
Recopier et compléter
5× (a + b) = … × … + … × …
(m - p) ×7 = … × … - … × …
8×a – 8×b = …. × ( …. + …)
2×a + 7×a = (… + …) × …
Exemple
Recopier et compléter
5× (a + b) = … × … + … × …
(m - p) ×7 = … × … - … × …
8×a – 8×b = …. × ( …. + …)
2×a + 7×a = (… + …) × …
► Développer un produit a × (b + c) c’est le
transformer en une somme a × b + a × c
13× (7 + 6) = 13×7 + 13× 6
5× (12 – 7) = 5×12 - 5× 7
(7- 3) × 32 = 7 × 32 - 3 × 32
5 × (a + 4) = 5×a + 5× 4
2× (x -1) = 2×x -2×1
(b + 3)×7 = b×7 + 3×7
produit
somme
a × (b + c) = a × b + a × c
Exemple
Développer les produits suivants
13× (7 + 6)
5× (12 – 7)
5× (a + 4)
2 × (x-1)
(7- 3) × 32
(b + 3) × 7
► Factoriser une somme a × b + a × c c’est la
transformer en un produit a × (b + c)
somme
produit
a × b + a × c = a × (b + c)
a est le facteur commun aux deux termes a × b et a × c
Exemple
Souligner le facteur commun puis factoriser.
17× 5 + 17 × 8
19×12 - 19 × 2 3×15 + 4×15
7×b + 7×c
10×x - 10×3
2×a + 3×a
7×b - 3× b
Fiches exercices 2 /4
Réponse
Collège Roland Dorgelès
Réponse :
17× 5 + 17 × 8 = 17 × (5+8)
19×12 - 19 × 2 = 19 × (12 - 2)
3×15 + 4 × 15 = (3 + 4) ×15
7× b +7×c = 7 × (b + c)
10×x - 10×3 = 10 × (x -3)
2×a + 3×a = (2 + 3) × a
7×b - 3× b = (7 – 3) × b
5ème cours : calcul littéral
3° Egalités entre deux expressions littérales
► Pour tester une égalité entre deux expressions
littérales on calcule séparément chacune des deux
expressions en remplaçant les lettres par des nombres,
on compare et on conclue.
Exemple
A = 3x + 4
B = 10 + 2x
Tester l’égalité A = B pour x = 5 ? pour x = 6 ?
► On peut avoir une égalité entre deux expressions
littérales quelle que soient les valeurs des lettres.
Exemple
A = 8(x +1) + 2x + 12
B = 10(x + 2)
A-t- on l’égalité A = B quelle que soient les valeurs du
nombre x ?
Réponse
Pour x = 5
D’une part : 3x + 4 = 3×5 + 4 = 15 + 4 = 19
D’autre part : 10 + 2x = 10+ 2×5 = 10+10 = 20
On n’a pas l’égalité A = B pour x = 5.
Pour x = 6
D’une part : 3x + 4 = 3×6 + 4 = 18 + 4 = 22
D’autre part : 10 + 2x = 10+ 2×6 = 10+12 = 22
On a l’égalité A = B pour x = 6.
Réponse
D’une part
A = 8(x +1) + 2x + 12
A = 8×x + 8×1 + 2x +12
A = 8×x + 2×x + 8+12
A = (8+2) ×x + 20
A = 10x + 20
D’autre part
B = 10(x + 2)
B = 10×x +10×2
B = 10x +20
A = 10x +20 et B = 10x + 20
Donc, A = B quelle que soient les valeurs du nombre x
► Attention à la rédaction : pour comparer deux
expressions numériques il faut calculer séparément
chacune des expressions.
Exemple
A-t-on l’égalité a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c= 5 ?
Voici la réponse sur la copie d’un élève et le
commentaire du professeur.
Réponse
Pour a = 3, b = 4 et c = 5
D’une part :
A = a² + b²
A = 3×3+ 4×4
A = 9+16
A = 25
D’autre part
B = c²
B = 5×5
B = 25
Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5
Pour a = 3, b = 4 et c = 5
a² + b² = c²
Très mal rédigé
3×3 + 4×4 = 5×5
9 + 16 = 25
25 = 25
Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5.
Rédiger convenablement la réponse à la question posée.
Fiches exercices 3 /4
Collège Roland Dorgelès
Ou encore :
D’une part,
a² + b² = 3×3+ 4×4 = 9+16 = 25
D’autre part,
c² = 5×5 = 25
Donc, a² + b² = c² pour a = 3, b = 4 et c = 5.
5ème cours : calcul littéral
4° Application de la distributivité
► Certains calculs sont parfois plus faciles à trouver à
l’aide de la distributivité.
Exemple
A = 31,4 × 75 + 31,4×25
B = 13 × 99
Calculer A et B astucieusement sans poser les opérations
► La distributivité peut résoudre certains problèmes.
Exemple
Le tubes ci-dessous ont la même hauteur h et ont une
base carré de côté respectivement 3 cm, 4 cm et 5 cm.
Réponse
A = 31,4 × 75 + 31,4×25
A = 31,4 × (75+ 25)
A = 31,4 × 100
A = 3140
B = 13 × 99
B = 13× (100 – 1)
B = 13×100 - 13×1
B = 1300 -13
B = 1287
Réponse
Le volume d’un parallélépipède rectangle de dimensions
a cm, b cm et c cm est V = a × b × c
D’une part
Le volume du grand tube est
V1 = 5×5× h = 25h
D’autre part
La somme des volumes des deux autres tubes est
V2 = 3×3×h + 4×4× h
V2 = 9 ×h + 16×h
V2 = (9+16) × h
V2 = 25h
Donc, le volume du grand tube est égal à la somme des
deux autres volumes.
Le volume du grand tube est-il égal à la somme des deux
autres volumes ?
Exemple
La figure ci-dessus est formée de deux cercles de rayon 3
cm et 4 cm.
Calculer le périmètre et l’aire de cette figure en fonction
de π
Fiches exercices 4 /4
Collège Roland Dorgelès
Réponse
Le périmètre d’un cercle de rayon R est 2×π×R ou 2πR
L’aire d’un cercle de rayon R est π×R×R ou πR²
Le périmètre de la figure est
P = 2×π×3 + 2×π×4
P = 6×π + 8×π
P = (6+8) ×π
P = 14π
L’aire de la figure est
A = π×3×3 + π×4×4
A= 9×π + 16×π
A = (6+16) ×π
A = 25π